5.2.3 简单复合函数的导数
课后训练巩固提升
A组
1.函数y=loga(2x2-1)的导数是( )
A. B.
C. D.
解析:y'=[loga(2x2-1)]'=·4x=.
答案:A
2.已知函数f(x)=ln(2x+1),则f'(0)=( )
A.0 B.1
C.2 D.
解析:∵f'(x)=[ln(2x+1)]'=·(2x+1)'=,∴f'(0)=2.
答案:C
3.函数y=cos(1+x2)的导数是( )
A.2xsin(1+x2)
B.-sin(1+x2)
C.-2xsin(1+x2)
D.xsin(1+x2)
解析:y'=-sin(1+x2)·(1+x2)'=-2xsin(1+x2).
答案:C
4.函数y=cos 2x+sin 的导数为( )
A.-2sin 2x+ B.2sin 2x+
C.-2sin 2x+ D.2sin 2x-
解析:y'=(cos 2x+sin)'=(cos 2x)'+(sin)'=-sin 2x·(2x)'+cos·()'=-2sin 2x+.
故选A.
答案:A
5.函数f(x)=(1-2x)10在x=0处的导数是( )
A.0 B.1 C.20 D.-20
解析:∵f'(x)=10(1-2x)9·(1-2x)'=-20(1-2x)9,∴f'(0)=-20.
答案:D
6.曲线y=在点(4,e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.4e2 B.2e2 C.e2 D.e2
解析:因为y=,所以y'=.由导数的几何意义知,曲线y=在点(4,e2)处的切线的斜率k=y'|x=4=e2,所以切线方程为y-e2=e2(x-4).
令x=0,则y=-e2;令y=0,则x=2.
故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=×2×|-e2|=e2.
答案:C
7.函数f(x)=e2x-2x,则= .
解析:因为f'(x)=(e2x)'-(2x)'=2e2x-2=2(e2x-1),
所以=2(ex+1).
答案:2(ex+1)
8.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为 .
解析:设切点的坐标为(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),则x0+1=ln(x0+a).①
∵y'=,∴=1.②
由①②,得x0+1=ln 1=0.∴x0=-1.∴a=2.
答案:2
9.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线l:2x-y+3=0的最短距离.
解:作出直线l:2x-y+3=0和曲线y=ln(2x-1)的图象(图略),平移直线l,使之与曲线相切,
则切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离.
y'=(2x-1)'=.
设切点的坐标为P(x0,y0),则=2,解得x0=1,从而y0=ln(2×1-1)=0,即点P(1,0).
曲线y=ln(2x-1)上的点到直线l:2x-y+3=0的最短距离为点P(1,0)到直线l:2x-y+3=0的距离d=.
B组
1.曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A.2e B.e C.2 D.1
解析:设函数f(x)=y=xex-1,则导数f'(x)=ex-1+xex-1=(1+x)ex-1.故f'(1)=2,即曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率k=f'(1)=2.故选C.
答案:C
2.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0,y=x围成的三角形面积为( )
A. B. C. D.1
解析:∵y'=(-2x)'e-2x=-2e-2x,
∴y'|x=0=-2e0=-2.
因此切线方程为y-2=-2(x-0),即y=-2x+2.
建立平面直角坐标系,分别作出三条直线的图象,如图所示.
∵y=-2x+2与y=x的交点坐标为,y=-2x+2与x轴的交点坐标为(1,0),
∴三角形面积S=×1×.故选A.
答案:A
3.若点P是函数y=ex-e-x-3x图象上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析:由导数的几何意义知,切线的斜率k=y'=ex+e-x-3≥2-3=-1,即tan α≥-1,当且仅当x=0时,等号成立.
又因为-≤x≤,所以tan α=k=ex+e-x-3≤-3<0.所以-1≤tan α<0.
因为α∈[0,π),所以α的最小值是.故选B.
答案:B
4.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .
解析:令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0).
因为切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.
因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax.所以f'(0)=ae0=a=2.
答案:2
5.函数f(x)=e-x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 .
解析:f'(x)=-e-x+a,由题意得-e-x+a=2.
由e-x=a-2>0,得a>2.
答案:(2,+∞)
6.已知函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ= .
解析:f'(x)=-sin(x+φ),f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sin.
∵f(x)+f'(x)为奇函数,
∴f(0)+f'(0)=0,即2sin=0.
又φ∈(0,π),∴φ=.
答案:
7.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .
解析:设x>0,则-x<0.因为当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,所以f(-x)=ex-1+x.
又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.所以f'(x)=ex-1+1.所以f'(1)=e1-1+1=2.
所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
答案:2x-y=0
8.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,求实数b的值.
解:设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x1,ln x1+2)和(x2,ln(x2+1)).
切线的斜率分别为y',y',
则切线方程分别为y-ln x1-2=(x-x1),y-ln(x2+1)=(x-x2),
即y=+ln x1+1,y=+ln(x2+1).
这两条直线表示同一条直线y=kx+b,
所以
解得
将x1=代入切线方程y=+ln x1+1,得y=2x+1-ln 2,则b=1-ln 2.
9.已知曲线y=e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且到直线l的距离为,求直线l的方程.
解:∵y'=(e2x)'·cos 3x+e2x·(cos 3x)'=2e2x·cos 3x-3e2x·sin 3x,
∴y'|x=0=2.
∴经过点(0,1)的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.
设直线l的方程为y=2x+b.
由切线与直线l的距离d=,得b=6或b=-4.
∴直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.
10.设函数f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,且为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在点(0,0)处相切,求a,b的值.
解:由曲线y=f(x)过点(0,0),得ln 1+1+b=0,解得b=-1.
由f(x)=ln(x+1)++ax+b,得f'(x)=+a,则f'(0)=1++a=+a,即曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为+a.
由题意得+a=,解得a=0.故a=0,b=-1.(共25张PPT)
5.2.3 简单复合函数的导数
第五章
5.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解并能应用复合函数的求导法则求导.
2.通过复合函数的求导法则的应用,增强运算求解的数学素养.
自主预习 新知导学
一、复合函数的概念
【问题思考】
2.填空:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y= f(g(x)) .
3.做一做:下列函数是复合函数的是( )
解析:f(x)=log4(x+1)是复合函数,它由y=log4u和u=x+1复合而成.
选项A,B,D中的函数不是复合函数.
答案:C
二、复合函数的求导法则
【问题思考】
2.填空:一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx'=yu'·ux' .
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
3.做一做:若f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,则a= .
解析:函数y=f(x)=(2x+a)2可以看作函数y=u2和u=2x+a的复合函数,根据复合函数的求导法则,有yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+a)'=2u×2=4(2x+a)=8x+4a.
由f'(2)=16+4a=20,得a=1.
答案:1
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)=sin(-x)的导数是f'(x)=cos x.( )
(2)函数y=ln(2x)不是复合函数,是对数函数.( )
×
×
×
合作探究 释疑解惑
探究一
复合函数的导数
【例1】 求下列复合函数的导数:
反思感悟 求复合函数的导数的步骤
【变式训练1】 求下列函数的导数.
(1)y=(2x+3)2;
(2)y=sin(πx+φ).
解:(1)函数y=(2x+3)2可以看作函数y=u2和u=2x+3的复合函数,
则yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=2u×2=4(2x+3)=8x+12.
(2)函数y=sin(πx+φ)可以看作函数y=sin u和u=πx+φ的复合函数,
则yx'=yu'·ux'=(sin u)'·(πx+φ)'=cos u×π=πcos(πx+φ).
探究二
复合函数导数的综合应用
求曲线y=e2x+1过点(1,0)的切线方程.
反思感悟 根据导数的运算法则和复合函数求导法则可以求初等函数的导数,从而解决了初等函数的求导问题,进而可以解决与导数有关的实际问题.
【变式训练2】 已知曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为 ,求直线l的方程.
解:因为y'=(esin x)'=cos xesin x,所以y'|x=0=1.
故切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0.
由题意知,直线l与切线平行,设直线l的方程为x-y+c=0.
故直线l的方程为x-y+3=0,x-y-1=0.
【易错辨析】
对复合函数求导不完全而致错
【典例】 求函数y=xe1-2x的导数.
错解1 y'=x'·(e1-2x)'=e1-2x.
错解2 y'=x'·e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解1,求导公式用错;错解2,y=e1-2x是复合函数,应按照复合函数的求导法则进行.
正解:y'=x'·e1-2x+x·(e1-2x)'=e1-2x+x·e1-2x·(1-2x)'=(1-2x)e1-2x.
防范措施 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数,分步计算时,每一步都要明确是对哪个变量求导.
【变式训练】 (1)函数y=cos(2x2+x)的导数是 .
解析:(1)∵y=cos(2x2+x),∴y'=-sin(2x2+x)·(4x+1)=-(4x+1)sin(2x2+x).
随堂练习
1.函数y=cos(-x)的导数是( )
A.cos x B.-cos x
C.-sin x D.sin x
解析:y'=-sin(-x)(-x)'=-sin x.
答案:C
2.已知曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
由题意知y'|x=0=a-1=2,解得a=3.
答案:D
4.曲线y=sin 2x在点M(π,0)处的切线方程是 .
解析:由y'=(sin 2x)'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x,得切线的斜率k=y'|x=π=2.
因为切线过点(π,0),所以切线方程为y=2(x-π),即2x-y-2π=0.
答案:2x-y-2π=0
5.求下列函数的导数:
(3)y=sin 2xcos 3x.
(3)y'=(sin 2x)'·cos 3x+sin 2x·(cos 3x)'=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x.
本 课 结 束
