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5.3.1 函数的单调性
第五章
5.3
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.会用导数求函数的单调区间.
4.通过研究函数的单调性与导数的关系,提升逻辑推理能力和数学运算的核心素养.
自主预习 新知导学
一、函数的单调性与导数的关系
【问题思考】
① ② ③
(1)结合图象写出以上三个函数的单调区间.
提示:函数y1= 的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞);函数y2=2x在R上单调递增;函数y3=x2的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).
(2)判断以上三个函数的导数在其单调区间上的正负.
提示:当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,y1'=- <0;y2'=2xln 2>0对x∈R恒成立;
当x∈(-∞,0)时,y3'=2x<0,当x∈(0,+∞)时,y3'=2x>0.
2.填空:
(1)一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a,b)内,如果 f'(x)>0 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.
(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系:
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.
3.做一做:已知函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为( )
解析:由函数f(x)的图象可知,
函数f(x)的单调递增区间为(1,4),
单调递减区间为(-∞,1)和(4,+∞).
因此当x∈(1,4)时,f'(x)>0;
当x∈(-∞,1)或x∈(4,+∞)时,f'(x)<0.
故选C.
答案:C
二、利用导数判断函数y=f(x)的单调性的基本步骤
【问题思考】
1.若函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f'(x)>0是否一定成立
提示:不一定,如函数f(x)=x3在R上为增函数,但f'(x)>0不一定成立,因为当x=0时,f'(0)=0.
2.填空:
利用导数判断函数y=f(x)的单调性的基本步骤:
第1步,确定函数的定义域;
第2步,求出导数f'(x)的零点;
第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
3.做一做:函数y=xln x在区间(0,5)内的单调性是( )
A.单调递增
B.单调递减
解析:函数的定义域为(0,+∞).
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在此区间内没有单调性.( )
(2)若函数f(x)在区间(x1,x2)内的导数比在区间(x2,x3)内的导数大,则函数在区间(x1,x2)比在区间(x2,x3)增长得快.( )
(3)函数在某区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝对值越大.
( )
√
×
√
合作探究 释疑解惑
探究一
导数与函数图象的关系
【例1】 函数y=f(x)在定义域 内可导,其图象如图所示.记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式f'(x)<0的解集为 .
1.若本例条件不变,求不等式f'(x)>0的解集.
2.若本例条件不变,求不等式xf'(x)>0的解集.
反思感悟 通过图象研究函数单调性的方法:
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势;
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点,分析导数的正负.
特别提醒:函数的正负与导数的正负没有关系.
【变式训练1】 函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象最有可能的是( )
解析:由y=f'(x)的图象知,当x∈ (-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈ (0,2)时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-∞,0)与(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,故选C.
答案:C
探究二
判断不含参数的函数的单调性
∴f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1).
当x∈(0,+∞)时,由指数函数的性质知e-x>0,e2x>1,
∴f'(x)>0.
【例3】 求函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调区间.
反思感悟 注意对逻辑推理与数学运算素养的提升.
特别提醒:(1)单调区间不能“并”,即不能用“∪”符号连接,只能用“,”或“和”隔开.
(2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示.
【变式训练2】 求函数f(x)=x2e-x的单调区间.
解:函数f(x)=x2e-x的定义域为R.
导数f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2).
令f'(x)=0,由于e-x>0,故解得x=0或x=2.
x=0和x=2把函数定义域划分成三个区间,f'(x)在各区间上的正负,以及f(x)的单调性如下表所示.
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).
探究三
判断含有参数的函数的单调性
【例4】 讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性.
分析:根据判断函数单调性的步骤进行,注意对参数的讨论.
设g(x)=2x2-a,由g(x)=0,得2x2=a.
当a=0时,f'(x)=2x>0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
反思感悟 解含参数的函数的单调性问题常见的分类讨论标准:
(1)方程f'(x)=0是否有根;
(2)若f'(x)=0有根,求出根后判断其是否在定义域内;
(3)若根在定义域内且有两个,比较根的大小分类讨论.
【变式训练3】 已知函数f(x)= x2+aln x(a∈R,a≠0),求f(x)的单调区间.
解:函数f(x)的定义域是(0,+∞).
【易错辨析】
讨论函数的单调性时忽略其定义域
当x∈(-∞,e)时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-∞,e)内单调递减;
当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,则函数f(x)在区间(e,+∞)内单调递增.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:以上错解中忽略了函数的定义域,事实上x的取值范围为x>0,且x≠1.
令f'(x)=0,解得x=e.
当x∈(0,1)∪(1,e)时,f'(x)<0,则函数f(x)单调递减;
当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,则函数f(x)单调递增.
因此,函数f(x)在区间(0,1)和(1,e)上单调递减,在区间(e,+∞)上单调递增.
防范措施 1.在解决函数问题的时候应优先考虑函数的定义域,未考虑定义域就讨论单调性是没有意义的.
2.注意培养逻辑推理能力和数学运算素养.
由f'(x)>0,得x>0;由f'(x)<0,得-1
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-1,0).
随堂练习
1.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列关于函数y=f(x)的单调性的说法中,正确的是( )
A.在区间(x0,x1)上f(x)是常数函数
B.在区间(-∞,x2)上f(x)不是单调函数
C.在区间(x2,x3)上f(x)是常数函数
D.在区间(x2,+∞)上f(x)单调递增
解析:当x∈(-∞,x2)时,f'(x)<0,故f(x)在区间(-∞,x2)上单调递减,故AB错误;当x∈(x2,x3)时,f'(x)=0恒成立,即函数f(x)的变化率为0,故为常数函数,故C正确,D错误.
答案:C
2.函数f(x)=3+xln x的单调递增区间是 .
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数f'(x)=ln x+1,
所以f(x)在R上为增函数.
答案:(-∞,+∞)
本 课 结 束5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
课后训练巩固提升
A组
1.若在区间(a,b)上有f'(x)>0,且f(a)≥0,则在区间(a,b)内有( )
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)=0 D.不能确定
解析:因为f'(x)>0,所以f(x)在区间(a,b)内单调递增,所以f(x)>f(a)≥0.
答案:A
2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
解析:函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)=ex+(x-3)ex=ex(x-2).令f'(x)>0,即(x-2)>0,得x>2.
因此函数f(x)的单调递增区间为(2,+∞).
答案:D
3.已知函数y=x-ln x,则此函数在区间(0,1)内( )
A.单调递增 B.有增有减
C.单调递减 D.不确定
解析:函数y=x-ln x的定义域为(0,+∞),导函数y'=1-.当x∈(0,1)时,y'<0,
则函数y=x-ln x在区间(0,1)内单调递减.
答案:C
4.函数f(x)=2x-sin x在区间(-∞,+∞)上( )
A.是增函数
B.是减函数
C.在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减
D.在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增
解析:函数f(x)的定义域为R,求导得f'(x)=2-cos x>0在(-∞,+∞)上恒成立.故选A.
答案:A
5.已知函数f(x),g(x)满足当x∈R时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,若a>b,则有( )
A.f(a)g(a)=f(b)g(b)
B.f(a)g(a)>f(b)g(b)
C.f(a)g(a)D.f(a)g(a)与f(b)g(b)的大小关系不定
解析:由题意知[f(x)g(x)]'>0,即f(x)g(x)的导数在R上大于0,从而f(x)g(x)在R上是增函数,因为a>b,所以f(a)g(a)>f(b)g(b).
答案:B
6.已知函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为( )
解析:由函数的图象知,当x<0时,函数单调递增,导数应为正;当x>0时,函数先单调递增后单调递减再单调递增,导数应先正后负再正,对照选项,只有D选项符合.
答案:D
7.(多选题)对任意x∈,不等式sin x·f(x)A.f B.f>2cos 1·f(1)
C.fcos 1·f(1) D.f
解析:构造函数g(x)=f(x)cos x,x∈,则g'(x)=cos x·f'(x)-sin x·f(x).
∵sin x·f(x)∴g'(x)=cos x·f'(x)-sin x·f(x)>0.
∴g(x)在区间内单调递增.
由g即,即由g(1)即f>2cos 1·f(1),故B正确.
由g>g,得fcos>fcos,
即f,故A正确.
由g(1)>g,得f(1)cos 1>fcos,
即f(1)cos 1>f,故C正确.故选ABC.
答案:ABC
8.函数f(x)=ln x-x2的单调递增区间是 .
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-x=.
令f'(x)>0,即>0,解得0答案:(0,1)
9.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为 .
解析:函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(-∞,-1)∪(2,+∞).
对y求导数,得y'=.
令y'<0,解得x<-1.所以,函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
10.求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x3-3x+1;
(2)f(x)=x+(b>0).
解:(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-3.
令f'(x)>0,解得x>1或x<-1.
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
令f'(x)<0,解得-1所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,1).
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)='=1-.
令f'(x)>0,即(x+)(x-)>0,解得x>或x<-.
所以函数的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞).
令f'(x)<0,即(x+)(x-)<0,
解得-所以函数的单调递减区间为(-,0)和(0,).
11.已知曲线y=f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解:(1)∵曲线y=f(x)过点P(1,2),
∴f(1)=2,可得a+b=1.①
又曲线在点P(1,2)处的切线斜率为8,∴f'(1)=8.
又f'(x)=3x2+2ax+b,∴2a+b=5.②
解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.
(2)由(1)得f(x)=x3+4x2-3x,函数f(x)的定义域为R,导数f'(x)=3x2+8x-3=(3x-1)(x+3).
令f'(x)>0,可得x<-3或x>;
令f'(x)<0,可得-3故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3)和,单调递减区间为.
B组
1.已知f(x)是定义在R上的函数,它的图象上任意一点P(x0,y0)处的切线方程为y=(+x0-2)x+(y0-+2x0),那么函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(-2,1) B.(-1,2)
C.(-∞,-2) D.(1,+∞)
解析:由图象上任意一点P(x0,y0)处的切线方程为y=(+x0-2)x+(y0-+2x0),知函数f(x)的导数为f'(x)=x2+x-2.
令f'(x)<0,解得-2答案:A
2.已知函数f(x)=x2(x-m),m∈R,若f'(-1)=-1,则函数f(x)的单调递增区间是( )
A. B.
C.,(0,+∞) D.∪(0,+∞)
解析:函数f(x)的定义域为R.
∵f'(x)=3x2-2mx,
∴f'(-1)=3+2m=-1,解得m=-2.
令f'(x)=3x2+4x>0,解得x<-或x>0,
∴函数f(x)的单调递增区间是,(0,+∞).
故选C.
答案:C
3.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则函数y=f(x)的图象可能为( )
解析:由题图可知,当01时,xf'(x)>0,则f'(x)>0,故函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;当-10,则f'(x)<0,故函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减.只有C选项中图象符合,故选C.
答案:C
4.定义在R上的连续函数f(x),若(x-1)f'(x)<0,则下列各选项正确的是( )
A.f(0)+f(2)>2f(1)
B.f(0)+f(2)=2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1)
D.f(0)+f(2)与2f(1)大小不定
解析:当x>1时,f'(x)<0,则f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,所以f(1)>f(2);
当x<1时,f'(x)>0,则f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,所以f(0)因此f(0)+f(2)<2f(1).故选C.
答案:C
5.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )
A.f(x)<0恒成立
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
C.f
D.f
解析:由题图知,导函数f'(x)的图象在x轴下方,即f'(x)<0,故函数f(x)为减函数,并且递减的速度是由快变慢,所以f(x)的大致图象如图所示.
A中,f(x)<0恒成立,没有依据,故A不正确;
B表示(x1-x2)与[f(x1)-f(x2)]异号,即f(x)为减函数.故B正确;
C,D左边为x1,x2中点的函数值,即图中点B的纵坐标,右边为x1,x2函数值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然左边的值小于右边的值,故C不正确,D正确.故选BD.
答案:BD
6.已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增区间是 .
解析:f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.
令f'(x)=xcos x>0,则在区间(-π,π)上的解集为,
故函数f(x)的单调递增区间为.
答案:
7.函数f(x)=,x∈(-1,1),且b>0的单调递减区间为 .
解析:f'(x)=b·=-.
∵x∈(-1,1),∴-<0.
又b>0,∴f'(x)<0.
∴函数f(x)的单调递减区间是(-1,1).
答案:(-1,1)
8.已知函数f(x)=ax4+bx2+c的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
解:(1)∵f(x)=ax4+bx2+c,∴f'(x)=4ax3+2bx.
由题意得f(0)=1,f'(1)=1,f(1)=-1.
∴解得
∴f(x)=x4-x2+1.
(2)由(1)可得f'(x)=10x3-9x.
令10x3-9x>0,解得x>或-故函数f(x)的单调递增区间为.
9.判断函数f(x)=ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性,并求出其单调区间.
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),导数f'(x)=ax+1-.
因为a≥0,所以ax+a+1>0.
所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
故函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
10.已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0),讨论函数f(x)的单调区间.
解:函数f(x)的定义域为R.
对f(x)求导,得f'(x)=-a=1--a.
①当a≥1时,f'(x)<0恒成立,所以,当a∈[1,+∞)时,函数f(x)在R上单调递减.
②当00,解得x>ln ;
令f'(x)<0,解得x所以,当a∈(0,1)时,函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
综上,当a∈[1,+∞)时,函数f(x)在R上单调递减;
当a∈(0,1)时,函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.