第2课时 函数的最值
课后训练巩固提升
A组
1.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e)内的最大值为( )
A.1-e B.-1
C.-e D.0
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1.
令f'(x)=0,解得x=1.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(1,e)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
故x=1是函数f(x)的极大值点,也是最大值点.
f(x)max=f(1)=-1.
故选B.
答案:B
2.函数y=( )
A.有最大值2,无最小值
B.无最大值,有最小值-2
C.最大值为2,最小值为-2
D.无最值
解析:y'=.
令y'=0,解得x=1或x=-1,当-1
0,函数y在区间(-1,1)上单调递增;
当x<-1或x>1时,y'<0,函数y在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减.
因此函数y在x=-1处取得极小值-2,在x=1处取得极大值2,且当x→-∞时,y→0,当x→+∞时,y→0.作出函数的大致图象(图略),结合图象可知y=的最大值为2,最小值为-2.故选C.
答案:C
3.函数y=xex的最小值是( )
A.-1 B.-e
C.- D.不存在
解析:y'=ex+xex.
令y'=0,解得x=-1,由函数的单调性,知x=-1是函数的唯一极小值点,即为最小值点.
所以当x=-1时,ymin=-.故选C.
答案:C
4.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是( )
①f(x)>0的解集是{x|0②f(-)是极小值,f()是极大值;
③f(x)没有最小值,也没有最大值.
A.①③ B.①②③
C.② D.①②
解析:由f(x)>0,得0f'(x)=(2-x2)ex.
令f'(x)=0,解得x=±.
由函数的单调性,知当x=-时,f(x)取得极小值,当x=时,f(x)取得极大值,故②正确.
当x→-∞时,f(x)→0;当x→+∞时,f(x)→-∞.
结合函数的单调性与极值作出函数的大致图象如图所示.
所以函数f(x)有最大值无最小值,故③不正确.
答案:D
5.已知函数f(x)=ax3+c,且f'(1)=6,若函数在区间[1,2]上的最大值为20,则c的值为( )
A.1 B.4
C.-1 D.0
解析:由题意得f'(x)=3ax2,f'(1)=3a=6,解得a=2.
当x∈[1,2]时,f'(x)=6x2>0,
故f(x)在区间[1,2]上是增函数,
所以f(x)max=f(2)=2×23+c=20,解得c=4.
答案:B
6.(多选题)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论错误的是( )
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的最小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)内单调递增
D.y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率小于0
解析:由导函数图象可知,f'(-3)=0,
当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,当且仅当x=-1时,f'(x)=0,
∴函数y=f(x)在区间(-∞,-3)上单调递减,在区间(-3,1)内单调递增,从而-3是函数y=f(x)的极小值点,故C正确,A正确;
∵f(x)在区间(-3,1)内单调递增,
∴-1不是函数y=f(x)的最小值点,故B错误;
∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,
∴切线的斜率大于0,故D错误;
综上,选BD.
答案:BD
7.若函数f(x)=x2+x+1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:∵f(x)=x2+x+1,
∴f'(x)=x2-ax+1.
若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,
则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点.
由f'(x)=x2-ax+1=0,得a=x+.
设g(x)=x+,则函数g(x)在区间内单调递减,在区间(1,3)内单调递增,
可得g(x)∈,即2≤a<.
当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,此时函数f(x)单调递增,不符合.
故a≠2.
综上,2答案:C
8.函数f(x)=+x(x∈[1,3])的值域为 .
解析:因为f'(x)=-+1=,所以对x∈[1,3],f'(x)>0恒成立.
故函数f(x)在区间[1,3]上单调递增.
所以函数f(x)的最大值是f(3)=,最小值是f(1)=.
故函数f(x)的值域为.
答案:
9.已知函数f(x)=x3-x2,则f(x)在区间[-1,1]上的最小值是 .
解析:由函数f(x)=x3-x2,得f'(x)=3x2-2x.
令3x2-2x=0,解得x=0或x=.
∵f(0)=0,f=-,f(1)=0,f(-1)=-2,
∴函数f(x)=x3-x2在区间[-1,1]上的最小值为-2.
答案:-2
10.函数f(x)=x+cos x在区间上的最小值为 .
解析:f'(x)=-sin x.
已知x∈,令f'(x)=0,可得x=.
当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
因此函数f(x)在区间上先单调递增后单调递减,则f(x)的最小值在区间端点处取得.
∵f(0)=1,f,
∴f(x)min=f.
答案:
11.已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值c-16.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在区间[-3,3]上的最小值.
解:(1)因为f(x)=ax3+bx+c,所以f'(x)=3ax2+b.
由于函数f(x)在x=2处取得极值c-16,
故有
即
解得
(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,
f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).
令f'(x)=0,解得x=-2或x=2.
当x变化时,f'(x),函数f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16.
由题意知16+c=28,得c=12.
因为f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16=-4,所以函数f(x)在区间[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.
12.已知函数f(x)=ln x+,若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是,求a的值.
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.
令f'(x)=0,解得x=a.
当a≤1时,x∈[1,e],f'(x)≥0,函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=ln 1+a=,解得a=.
由于a= (-∞,1],故舍去.
当1所以f(x)min=f(a)=ln a+,解得a=.
由于a=∈(1,e),故符合题意.
当a≥e时,x∈[1,e],f'(x)≤0,函数f(x)在区间[1,e]上单调递减,所以f(x)min=f(e)=ln e+,解得a=.
由于a= [e,+∞),故舍去.
综上所述,a=.
B组
1.已知函数f(x),g(x)的导函数分别为f'(x),g'(x),且f'(x)A.f(a)-g(a)
B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b)
D.f(b)-g(a)
解析:设F(x)=f(x)-g(x).
∵F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,
∴F(x)在区间[a,b]上是减函数.
∴F(x)在区间[a,b]上的最大值为F(a)=f(a)-g(a).故选A.
答案:A
2.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为( )
A.1 B.
C. D.
解析:因为函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x.
设h(x)=x2-ln x,则h(x)的定义域为(0,+∞),h'(x)=2x-.
令h'(x)==0,解得x=.
因为h(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时有极小值也是最小值,故t=.
故选D.
答案:D
3.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是( )
A.[-5,0) B.(-5,0)
C.[-3,0) D.(-3,0)
解析:f'(x)=x2+2x=x(x+2).
令f'(x)=0,解得x=0或x=-2.
可得f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)内单调递减,故f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=,在x=0处取得极小值f(0)=-.
作出函数f(x)的大致图象如图所示.
令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,
由题意和图象得
解得-3≤a<0,即a∈[-3,0).
故选C.
答案:C
4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列关于函数f(x)的结论正确的是( )
x -1 0 4 5
f(x) 1 2 2 1
A.函数f(x)的极大值点有2个
B.函数f(x)在区间[0,2]上单调递减
C.若x∈[-1,t],f(x)的最大值是2,则t的最大值为4
D.当1解析:由f'(x)的图象知,当-1≤x<0或20,函数f(x)单调递增;当0故当x=0时,函数f(x)取得极大值,当x=4时,函数f(x)取得极大值,即函数f(x)有两个极大值点,故A正确;
函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,故B正确,
作出f(x)的大致图象如图①所示.
①
若x∈[-1,t],f(x)的最大值是2,则t满足0≤t≤5,即t的最大值是5,故C错误,由y=f(x)-a=0,得f(x)=a.
函数f(x)在x=2处取得极小值f(2).
若f(2)≤1,当1②
若1③
故函数y=f(x)-a有4个零点不一定正确,故D错误.故选AB.
答案:AB
5.若函数f(x)=2x3-6x2+m在区间[-2,2]上有最大值3,则f(x)在区间[-2,2]上的最小值为 .
解析:f'(x)=6x2-12x.
令f'(x)=0,解得x=0或x=2.
∵f(-2)=m-40,f(0)=m,f(2)=m-8,
∴f(0)=m为最大值.
由题意知m=3,函数f(x)的最小值为f(-2)=-37.
答案:-37
6.函数y=x3-x2-3x+1,x∈[-2,4]的最大值为 .
解析:已知函数y=x3-x2-3x+1,x∈[-2,4],
则y'=x2-2x-3=(x-3)(x+1),x∈[-2,4].
由函数y的单调性可知,当x=-1时,函数取得极大值;当x=3时,函数取得极小值.
由于f(-1)=--1+3+1=,f(4)=-16-12+1=-,
故函数在区间[-2,4]上的最大值为.
答案:
7.已知函数f(x)=ln x-ax,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1,则a= .
解析:令f'(x)=-a=0,解得x=.
因为a>,所以0<<2.
当00,f(x)在区间上单调递增;当所以f(x)max=f=-ln a-1=-1,解得a=1.
因为a=1>,所以a=1符合.
答案:1
8.设函数f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间(0,1]上的最大值为,求a的值.
解:函数f(x)的定义域为(0,2),f'(x)=+a.
(1)当a=1时,f'(x)=.
令f'(x)=0,解得x=.
当x∈(0,)时,f'(x)>0;
当x∈(,2)时,f'(x)<0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,2).
(2)当x∈(0,1]时,f'(x)=+a>0,
则函数f(x)在区间(0,1]内单调递增,
故函数f(x)在区间(0,1]内的最大值为f(1)=a,
因此a=.
9.已知函数f(x)=ax3-x2+b(x∈R).
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8,求a,b的值;
(2)若a>0,b=2,当x∈[-1,1]时,求f(x)的最小值.
解:(1)f'(x)=3ax2-3x.
由题意得f'(2)=6,f(2)=4,解得a=1,b=2.
(2)f(x)=ax3-x2+2,a>0.
f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1).
令f'(x)=0,解得x=0或x=.
分以下两种情况讨论:
①若>1,即0x (-1,0) 0 (0,1)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
因为f(-1)=-a,f(1)=a+,
所以f(x)min=f(-1)=-a.
②若0<<1,即a>1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-1,0) 0
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因为f(-1)=-a,f=2-,f-f(-1)=2-+a->0,
所以f(x)min=f(-1)=-a.
综上,f(x)min=f(-1)=-a.
10.设a,b∈R,函数f(x)=x3+ax2+bx在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减.
(1)若a=-2,求b的值;
(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的最小值(用b表示).
解:(1)∵函数f(x)=x3+ax2+bx,
∴f'(x)=x2+2ax+b.
∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,
∴f'(1)=1+2a+b=0.
∵a=-2,
∴b=3.
(2)由(1)知f'(1)=1+2a+b=0,即2a=-b-1.
∴f(x)=x3-x2+bx.
∴f'(x)=x2-(b+1)x+b=(x-b)(x-1).
当b≤1时,f'(x)=(x-b)(x-1)>0在区间(1,+∞)上恒成立,此时,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,与题意不符.
当b>1时,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,1) 1 (1,b) b (b,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∵函数f(x)在区间(1,2)上单调递减,
∴b≥2.
当2≤b<4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(b)=-b3+b2;
当b≥4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(4)=-4b.
综上,当2≤b<4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为-b3+b2;
当b≥4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为.(共47张PPT)
第1课时 函数的极值
第五章
5.3.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解函数的极大值、极小值的概念.
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
3.会用导数求函数的极大值、极小值.
4.会根据函数的极值求参数.
5.通过利用导数研究函数的极值,增强直观想象、运算求解与逻辑推理的数学素养.
自主预习 新知导学
一、极值点与极值
【问题思考】
1.如图,观察函数y=f(x)的图象,f(x)在x轴上的点
d,e,f,g,h,i处的函数值与这些点附近的函数值大小
关系是什么 y=f(x)在这些点的导数值是多少 在
这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律
提示:以d,e两点为例,函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比它在点x=d附近其他点的函数值都小,f'(d)=0;而且在点x=d附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似地,函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比它在点x=e附近其他点的函数值都大,f'(e)=0;而且在点x=e附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.
2.填空:
(1)极小值点与极小值:
若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f'(x)<0 ,右侧 f'(x)>0 ,就把 a 叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a) 叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值:
若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f'(x)>0 ,右侧 f'(x)<0 ,就把 b 叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b) 叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.
3.想一想:(1)导数为0的点一定是极值点吗
提示:不一定.如函数f(x)=x3,虽然f'(x)=3x2=0,解得x=0,但是在点x=0的左右两侧恒有f'(x)=3x2>0,即函数f(x)在R上是增函数.故0不是函数f(x)=x3的极值点.
(2)极大值一定比极小值大吗
提示:极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值可能大于另一点的极大值.
4.做一做:函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f'(x)在区间(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)上有极小值点( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:根据极小值的定义,在极小值点的左右两侧,导函数的图象分别在x轴的下方和上方,由题图知,有1个点符合,故选A.
答案:A
二、函数极值的求法
【问题思考】
1.函数的极值与函数的单调性有什么联系
提示:极值点两侧函数的单调性相反,欲研究函数的极值,需先研究函数的单调性.
2.填空:
求函数y=f(x)的极值:
解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧 f'(x)>0 ,右侧 f'(x)<0 ,那么f(x0)是极大值;
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.
3.做一做:函数f(x)=1+3x-x3有( )
A.极小值-1,极大值1 B.极小值-2,极大值3
C.极小值-2,极大值2 D.极小值-1,极大值3
解析:f'(x)=3-3x2,令f'(x)=3-3x2=0,解得x=±1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况
如下表所示.
所以,当x=-1时,函数f(x)有极小值-1;
当x=1时,函数f(x)有极大值3.
答案:D
x (-∞, -1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 极小值 单调 递增 极大值 单调
递减
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数的极大值一定大于极小值.( )
(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( )
(3)可导函数f(x)在区间(a,b)上一定有极值.( )
(4)若可导函数f(x)在区间(a,b)上有极值,则方程f'(x)=0在区间(a,b)上一定有解.( )
(5)函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值的充要条件是f'(x)=3x2+2ax+b=0有解,即Δ≥0.( )
×
×
×
√
×
合作探究 释疑解惑
探究一
求函数的极值
令f'(x)=0,解得x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
因此,当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=3,无极大值.
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 3 单调递增
反思感悟 求解函数的极值和极值点的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求方程f'(x)=0的根;
(3)用方程f'(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列表格;
(4)由f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
【例2】 已知a>0,函数f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x).求函数f(x)的极值点和极值.
①若00,则函数f(x)单调递增;
当x∈(a,1)时,f'(x)<0,则函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,则函数f(x)单调递增.
此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,
所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增,此时f(x)无极值点,故无极值.
③若a>1,则当x∈(0,1)时,f'(x)>0,则函数f(x)单调递增;
当x∈(1,a)时,f'(x)<0,则函数f(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,则函数f(x)单调递增.
此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,
反思感悟 求含参数函数的极值注意事项
(1)分类讨论,根据参数的取值范围,讨论函数的单调性;
(2)在某区间上的单调函数不存在极值.
【变式训练1】 设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f'(x),且f'(2)=15.
(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
解:(1)∵f'(x)=3x2+2ax-9,且f'(2)=15,
∴12+4a-9=15,解得a=3.
∴f(x)=x3+3x2-9x,∴f'(x)=3x2+6x-9.
∵f(0)=0,f'(0)=-9,
∴函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=-9x.
(2)令f'(x)=0,得x=-3或x=1.
当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:
因此,当x=-3时,f(x)有极大值27;当x=1时,f(x)有极小值-5.
【变式训练2】 已知函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a≤0.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.
设g(x)=2ax2+ax-a+1.
①当a=0时,g(x)=1,此时f'(x)>0,函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增,无极值点.
②当a<0时,Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8)>0,
设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
所以函数有一个极值点.
综上,当a<0时,函数f(x)有一个极值点;
当a=0时,函数f(x)无极值点.
探究二
已知函数极值求参数
解:(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,
∴f'(x)=3x2+2ax+b.
反思感悟 已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点:
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
【变式训练3】 已知函数f(x)=ax5-bx3+c(a>0)在x=±1处有极值,且极大值为4,极小值为0,试确定a,b,c的值.
解:函数f(x)的导数f'(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b).
由题意知,x=±1是方程f'(x)=0的根,故5a=3b,于是f'(x)=5ax2(x2-1).
令f'(x)=0,解得x=0或x=1或x=-1.
已知a>0,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 无极值 单调递减 极小值 单调递增
已知5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.
探究三
函数极值的综合应用
【例4】 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2.
(1)若f(x)在x=1处有极值-1,求b,c的值;
(2)在(1)的条件下,若函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
解:(1)∵f(x)=x3+bx2+cx+2,
∴f'(x)=3x2+2bx+c.
由已知得f'(1)=0,f(1)=-1,
经验证,b=1,c=-5符合题意.
(2)由(1)知f(x)=x3+x2-5x+2,f'(x)=3x2+2x-5.
令f'(x)=0,解得x=- ,或x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
当x=1时,函数取得极小值,且极小值为f(1)=-1.
函数f(x)=x3+x2-5x+2的大致图象如图所示.
本例中的条件恰有三个不同的交点变为恰有一个交点,此时实数k的取值范围是什么
反思感悟 1.方程根的问题可以转化为相应函数的图象问题,一般地,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标.
2.事实上利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
【变式训练4】 已知a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a.
(1)求函数f(x)的极值,并画出其大致图象;
(2)当a为何值时,方程f(x)=0恰有两个实数根
解:(1)由f(x)=-x3+3x+a,得f'(x)=-3x2+3,
令f'(x)=0,得x=1或x=-1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示.
由表可知函数f(x)的极小值为f(-1)=a-2,极大值为f(1)=a+2.
由函数f(x)的单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象,如图所示.
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 a-2 单调递增 a+2 单调递减
(2)结合图象,当极大值a+2=0时,极小值a-2<0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰有两个实数根,所以a=-2满足条件;
当极小值a-2=0时,极大值a+2>0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰有两个实数根,所以a=2满足条件.
综上,当a=±2时,方程恰有两个实数根.
【易错辨析】
对函数取极值的充要条件把握不准致错
【典例】 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求f(2)的值.
错解:f'(x)=3x2+2ax+b.
当a=4,b=-11时,f(2)=18.
当a=-3,b=3时,f(2)=11.
故f(2)=11或18.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:应注意f'(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.如函数f(x)=x3,f'(x)=3x2,尽管f'(0)=0,但由于f(x)在R上是增函数,故f(x)在x=0处不存在极值.
正解:f'(x)=3x2+2ax+b.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
显然函数f(x)在x=1处取极小值10,与题意相符,此时f(2)=18.
当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)没有极值,与题意不符.因此f(2)=18.
防范措施 在根据函数的极值条件求参数的值的问题中,应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验,检验每一组解对应的函数在该点处是否取得极值,从而进行取舍.
【变式训练】 已知f(x)=x3+ax2+bx+b2,当x=-1时,有极值8,则a+b= .
解析:由f(x)=x3+ax2+bx+b2,得f'(x)=3x2+2ax+b.
当a=3,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,
故f(x)在R上为增函数,从而f(x)无极值,应舍去.
随堂练习
1.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)
( )
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
解析:由导数与函数极值的关系知,f'(x0)=0,而且在点x0的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x)在x=x0处取得极大值;若在点x0的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x)在x=x0处取得极小值,设y=f'(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值.
答案:C
2.若函数f(x)=x3-3x+m的极小值为-1,则函数f(x)的极大值为( )
A.3 B.-1
C. D.2
解析:函数f(x)=x3-3x+m,则f'(x)=3x2-3.
令f'(x)=0,解得x=-1或x=1.
由函数f(x)的单调性,得当x=-1时,f(x)取得极大值;当x=1时,f(x)取得极小值.
由题意知f(1)=1-3+m=-1,解得m=1,所以函数的极大值为f(-1)=-1+3+1=3.故选A.
答案:A
3.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a= .
4.设方程x3-3x=k有3个不等的实根,则实数k的取值范围是 .
解析:设f(x)=x3-3x-k,则f'(x)=3x2-3.
令f'(x)=0,得x=±1,由函数f(x)的单调性,得f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值,且f(1)=-2-k,f(-1)=2-k.由题意知f(x)的图象与x轴有3个交点,
答案:(-2,2)
解:函数f(x)的定义域为R.
令f'(x)=0,得x=-1或x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 极小值 单调 递增 极大值 单调
递减
本 课 结 束5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
课后训练巩固提升
A组
1.设函数f(x)=+ln x,则( )
A.x=为f(x)的极大值点
B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-.
令f'(x)=0,解得x=2.
当0当x>2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
故x=2为f(x)的极小值点.
答案:D
2.已知函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为( )
A.1,-3 B.1,3
C.-1,3 D.-1,-3
解析:f'(x)=3ax2+b.
由题意知f'(1)=0,f(1)=-2,即解得a=1,b=-3.
经检验,符合题意.
答案:A
3.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个单调递增区间是( )
A.(2,3) B.(3,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,3)
解析:f'(x)=6x2+2ax+36.
由题意知f'(2)=0,解得a=-15,经检验,符合题意.
令f'(x)=6x2-30x+36>0,解得x>3或x<2.
所以函数f(x)的一个单调递增区间是(3,+∞).
答案:B
4.若函数f(x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)上有极小值,则( )
A.0C.b>0 D.b<
解析:f'(x)=3x2-3b,若f(x)在区间(0,1)上有极小值,则解得0答案:A
5.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则f(x)( )
A.在区间,(1,e)内均有零点
B.在区间,(1,e)内均无零点
C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
解析:f'(x)=.
当0由于f+1>0,f(1)=,f(e)=-1<0,故函数f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点.故选D.
答案:D
6.函数f(x)=2x3-15x2+36x-24的极小值为 .
解析:f'(x)=6x2-30x+36=6(x2-5x+6)=6(x-2)(x-3).
令f'(x)=0,解得x=2或x=3.
当x<2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当23时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
所以当x=3时,函数f(x)有极小值,极小值为f(3)=2×33-15×32+36×3-24=3.
答案:3
7.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f'(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.则下列说法不正确的是 .(填序号)
①当x=时,函数f(x)取得极小值;
②f(x)有两个极值点;
③当x=2时,函数取得极小值;
④当x=1时,函数取得极大值.
解析:由图象可知,x=1,2是函数的两个极值点,故②正确;由于当x∈(-∞,1)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;当x∈(1,2)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,故x=1是极大值点,x=2是极小值点,故③④正确.
答案:①
8.若函数f(x)=ax2+bx在x=处有极值,则b的值为 .
解析:f'(x)=2ax+b,∵函数f(x)在x=处有极值,
∴f'=2a·+b=0,解得b=-2.
经检验,符合题意.
答案:-2
9.已知函数f(x)=ex-2x+2a,a∈R,求f(x)的单调区间与极值.
解:f(x)=ex-2x+2a,则f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-2.
令f'(x)=0,解得x=ln 2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 2(1-ln 2+a) 单调递增
故函数f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞),且函数f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)=2(1-ln 2+a),无极大值.
10.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
解:(1)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f'(0)=4,即b=4,a+b-4=4.
解得a=4,b=4.
(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).
令f'(x)=0,解得x=-ln 2或x=-2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,-ln 2) -ln 2 (-ln 2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
11.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值;
(2)试判断在x=±1时函数取得极小值还是极大值,并说明理由.
解:(1)f'(x)=3ax2+2bx+c.
由已知得f'(-1)=f'(1)=0,即3a+2b+c=0,①
3a-2b+c=0.②
因为f(1)=-1,所以a+b+c=-1.③
联立①②③,解得a=,b=0,c=-.
经检验,符合题意.
(2)由(1)知f(x)=x3-x,则f'(x)=x2-(x-1)(x+1).
令f'(x)=0,得x=-1或x=1.
当x<-1或x>1时,f'(x)>0;当-1故当x=-1时,函数f(x)取得极大值f(-1)=1;
当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=-1.
12.已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0),若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
解:因为f'(x)=3x2-3a,且f(x)在x=-1处取得极值,所以f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,解得a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f'(x)=3x2-3.
令f'(x)=0,解得x=-1或x=1.
当x<-1时,f'(x)>0;
当-1当x>1时,f'(x)>0.
由f(x)的单调性可知,函数f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
作出f(x)的大致图象如图所示.
已知直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
B组
1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是( )
解析:由题意可得f'(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,此时xf'(x)>0.故排除B,D.
当x∈(-2,+∞)时,f'(x)>0,所以当x∈(-2,0)时,xf'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0.故选C.
答案:C
2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( )
A.(-1,2) B.(-3,6)
C.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
解析:f'(x)=3x2+2ax+a+6.
∵函数f(x)有极大值与极小值,
∴f'(x)=0有两个不等实根.
∴Δ=4a2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.
答案:C
3.若函数y=ex+ax,a∈R有大于零的极值点,则( )
A.a<-1 B.a>-1
C.a<- D.a>-
解析:∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.
由题意知y'=ex+a=0有大于0的实根.
∴a=-ex,其中x>0.∴a<-1.
答案:A
4.已知函数f(x)=ex(sin x-cos x),x∈(0,2 021π),则函数f(x)的极大值之和为( )
A. B.
C. D.
解析:f'(x)=2exsin x.
令f'(x)=0,即sin x=0,得x=kπ(k∈Z).
当2kπ0,函数f(x)单调递增;当2kπ+π∴当x=(2k+1)π时,f(x)取得极大值.
∵x∈(0,2 021π),∴0<(2k+1)π<2 021π.
∴0≤k<1 010,k∈Z.
∴f(x)的极大值之和为S=f(π)+f(3π)+f(5π)+…+f(2 019π)
=eπ+e3π+e5π+…+e2 019π=.故选B.
答案:B
5.(多选题)如果函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,那么以下关于函数y=f(x)的判断正确的是( )
A.在区间(2,4)内单调递减 B.在区间(2,3)内单调递增
C.x=-3是极小值点 D.x=4是极大值点
解析:当x∈(2,4)时,f'(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(2,4)内单调递增,故A不正确,B正确;
由题图知,当x=-3时,函数f'(x)取得极小值,但是函数y=f(x)没有取得极小值,故C错误;
当x=4时,f'(x)=0;当20,f(x)单调递增;当x>4时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
因此,x=4是函数y=f(x)的极大值点.故D正确.
综上,选BD.
答案:BD
6.若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a= .
解析:f'(x)=.
由题意知f'(1)=0,即1+2-a=0,解得a=3.
经验证,当a=3时,f(x)在x=1处取得极值.
答案:3
7.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围为 .
解析:f'(x)=3x2+2x-a.
函数f(x)在区间(-1,1)内恰有一个极值点,即f'(x)=0在区间(-1,1)内恰有一个根.
又f'(x)=3x2+2x-a的图象的对称轴为x=-,所以解得1≤a<5.
故实数a的取值范围为[1,5).
答案:[1,5)
8.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是 .
解析:令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1.
根据函数f(x)的单调性,可得函数f(x)的极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.
作出函数f(x)的大致图象如图所示,
观察知,当-2答案:(-2,2)
9.若函数f(x)=x3+x2-3x-a有两个零点,则实数a= .
解析:f'(x)=x2+2x-3=(x-1)(x+3).
令f'(x)=0,解得x=1或x=-3.
由f(x)的单调性可知,当x=-3时,函数f(x)取得极大值f(-3)=9-a;当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=--a.
因为函数f(x)有2个零点,即f(x)的图象与x轴有2个交点,且当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞.
所以9-a=0或--a=0,解得a=9或a=-.
答案:9或-
10.已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解:(1)由f(x)=x-1+,得f'(x)=1-.
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,
∴f'(1)=0,即1-=0,解得a=e.
(2)由(1)知,f'(x)=1-,
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为R上的单调递增函数,故函数f(x)无极值.
②当a>0时,令f'(x)=0,即ex=a,得x=ln a.
当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.
11.函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x+y-11=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)的图象与y=f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围.
解:(1)f'(x)=3ax2-12ax+3b.
由题意得f'(2)=-3,且f(2)=5,
即解得a=1,b=3.
所以f(x)=x3-6x2+9x+3.
(2)由(1)知f(x)=x3-6x2+9x+3,f'(x)=3x2-12x+9,从而y=f'(x)+5x+m=(3x2-12x+9)+5x+m=x2+x+3+m.
由题意得方程x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根,
即函数g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点.
g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),
令g'(x)=0,解得x=或x=4.
当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:
x 4 (4,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) 单调递增 -m 单调递减 -16-m 单调递增
故函数g(x)的极大值为g-m,极小值为g(4)=-16-m.
由y=f(x)的图象与y=f'(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,即函数g(x)的图象与x轴有三个不同的交点,
得解得-16故实数m的取值范围为.(共39张PPT)
第2课时 函数的最值
第五章
5.3.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解函数的最值的概念.
2.了解函数的最值与极值的区别与联系.
3.会用导数求在给定区间上函数的最值.
4.通过利用导数研究函数的最值,进一步提升直观想象、逻辑推理与运算求解的数学素养.
自主预习 新知导学
一、函数f(x)在区间[a,b]上的最值
【问题思考】
1.如图,观察函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,你能找出f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值吗
提示:能,函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(x3),最大值是f(b).
2.填空:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
二、求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上最值的步骤
【问题思考】
1.函数y=f(x),x∈[a,b]的图象如图所示.
(1)观察函数y=f(x)的图象,试找出它的极大值、极小值.
提示:极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4).
(2)结合图象判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否存在最大值、最小值 若存在,分别是多少
提示:存在,函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(x3).
(3)函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值或最小值一定是某极值吗
提示:不一定,也可能是区间端点的函数值.
(4)怎样确定函数f(x)在区间[a,b]上的最小值和最大值
提示:比较极值与区间端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值.
2.填空:
求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3.想一想:如果函数y=f(x)在开区间(a,b)上只有一个极值,且为极小值,那么函数在开区间(a,b)上有最值吗
提示:有最小值,无最大值.设x0是函数的极小值点,则函数f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,故函数f(x)在x0处取得最小值.
4.做一做:函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[-2,1]上的最大值、最小值分别是
( )
A.12,-8 B.1,-8
C.12,-15 D.5,-16
解析:y'=6x2-6x-12,
令y'=0,解得x=-1或x=2(舍去).
当x=-2时,y=1;当x=-1时,y=12;
当x=1时,y=-8,所以ymax=12,ymin=-8.故选A.
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)闭区间上的函数一定有最值.( )
(2)函数的极值只能在区间内取得,而函数的最值可以在区间端点处取得.( )
(3)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值.( )
×
√
×
合作探究 释疑解惑
探究一
求函数在闭区间上的最值
【例1】 求函数f(x)=-x4+2x2+3在区间[-3,2]上的最大值与最小值.
解:因为f(x)=-x4+2x2+3,
所以f'(x)=-4x3+4x.
令f'(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=0或x=1.
在区间[-3,2]上,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示.
x -3 (-3,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
f'(x) + 0 - 0 + 0 -
f(x) -60 单调 递增 极大 值4 单调 递减 极小 值3 单调 递增 极大 值4 单调 递减 -5
所以,函数f(x)在区间[-3,2]上的最大值是4,最小值是-60.
把本例中“区间[-3,2]”改为“区间[0,2]”求相应问题.
解:令f'(x)=0,解得x=-1(舍去)或x=0或x=1.
在区间[0,2]上,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示.
x 0 (0,1) 1 (1,2) 2
f'(x) + 0 -
f(x) 3 单调递增 极大值4 单调递减 -5
所以函数f(x)在区间[0,2]上的最大值是4,最小值是-5.
反思感悟 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点:
(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内;
(2)研究函数的单调性,正确确定函数的极值和端点函数值;
(3)比较函数的极值与端点函数值大小,确定最值.
【变式训练1】 求函数f(x)=e-x-ex在区间[0,a]上的最大值与最小值,其中a>0,且为常数.
当x∈[0,a]时,f'(x)<0恒成立,
则函数f(x)在区间[0,a]上单调递减.
故当x=a时,f(x)有最小值f(a)=e-a-ea.
当x=0时,f(x)有最大值f(0)=0.
探究二
含参数的函数的求最值问题
【例2】 已知函数f(x)=(x-k)ex,k为常数.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
解:(1)函数f(x)的定义域为R.
由f(x)=(x-k)ex,得f'(x)=(x-k+1)ex.
令f'(x)=0,解得x=k-1.
当x变化时,f(x)与f'(x)的
变化情况如下表:
所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 -ek-1 单调递增
(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当0当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以函数f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
综上可知,当k≤1时,f(x)min=f(0)=-k;
当1当k≥2时,f(x)min=f(1)=(1-k)e.
反思感悟 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的思路
判断函数在区间[a,b]上的单调性,若函数在区间[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a),f(b)一个为最大值,一个为最小值.若函数在区间[a,b]上不单调,一般先求f(x)在区间[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的即为最大值,最小的即为最小值.
探究三
由函数的最值求参数的值或取值范围
【例3】 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在区间[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
解:存在.显然a≠0,f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4).
令f'(x)=0,解得x=0或x=4(舍去).
若a>0,在区间[-1,2]上当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=0时,函数f(x)取得最大值3,
即f(0)=b=3.
又因为f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,
所以f(-1)>f(2),
所以当x=2时,函数f(x)取得最小值-29,
即f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.
若a<0,在区间[-1,2]上当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=0时,函数f(x)取得最小值-29,
即f(0)=b=-29.
又因为f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,
所以f(2)>f(-1).
所以当x=2时,函数f(x)取得最大值3,
即f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.
综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
反思感悟 已知函数的最值求参数值(取值范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
【变式训练3】 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
解:(1)∵f'(x)=-3x2+6x+9.
令f'(x)<0,解得x<-1或x>3.
∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴f(2)>f(-2).
由(1)知f'(x)=-3x2+6x+9,令f'(x)=0,
解得x=-1或x=3(舍去).
∵当x∈[-2,-1)时,f'(x)<0,
∴函数f(x)在区间[-2,-1)上单调递减.
又当x∈(-1,2]时,f'(x)>0,
∴函数f(x)在区间(-1,2]上单调递增.
∴f(2)和f(-1)分别是函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.
于是f(2)=22+a=20,解得a=-2.
∴f(x)=-x3+3x2+9x-2.
∴f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
【易错辨析】
求最值时忽视“端点值”而致错
【典例】 已知函数f(x)=(x2+1)(x+a)(a∈R),且f'(-1)=0,则函数y=f(x)在区间 上的最大值为 ,最小值为 .
错解:f(x)=x3+ax2+x+a,f'(x)=3x2+2ax+1.
f'(-1)=3-2a+1=0,解得a=2.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
正解:f(x)=x3+ax2+x+a,f'(x)=3x2+2ax+1.
f'(-1)=3-2a+1=0,可得a=2.
防范措施 求函数的最值时,若函数的定义域是闭区间,则需比较极值点处的函数值与端点处的函数值的大小;如本例中需比较极值与端点处函数值的大小才能确定出最值.若函数的定义域是开区间,且只有一个极值点,则该极值点就是最值点.
【变式训练】 函数y=x+2cos x在区间 上取得最大值时,x的值为
( )
答案:B
随堂练习
解析:函数y的定义域为(0,+∞).
当x∈(0,e)时,y'>0,则函数y在区间(0,e)上单调递增;
当x∈(e,+∞)时,y'<0,则函数y在区间(e,+∞)上单调递减.
所以,当x=e时,函数y取得极大值也是最大值 ,故选A.
答案:A
2.若函数f(x)=x3-x2-x+a在区间[0,2]上的最大值是3,则a等于( )
A.3 B.1
C.2 D.-1
解析:f'(x)=3x2-2x-1,令f'(x)=0,
解得x=- (舍去)或x=1.
因为f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,
所以f(2)最大,即a+2=3,解得a=1.
答案:B
3.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是 .
答案:(-4,-2)
4.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m∈[-1,1],则f(m)的最小值为 .
解析:f'(x)=-3x2+2ax.
由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,
即-3×4+2a×2=0,解得a=3.
故f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x.
f'(0)=0,且函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,
所以当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
答案:-4
5.已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.求a的值.
解:函数f(x)的定义域为(-a,+∞).
令f'(x)=0,解得x=1-a>-a.
当-a当x>1-a时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(1-a,+∞)上单调递增.
因此函数f(x)在x=1-a处取得极小值,也是最小值.
由题意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.
本 课 结 束