函数导函数和不等式问题的类型与解法 学案

函数导函数和不等式问题的类型与解法
函数导函数和不等式问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，都有可能涉及函数导函数和不等式的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能是函数的大题；难度为中，高档。纵观近几年高考试卷，归结起来函数导函数和不等式问题主要包括：①运用函数导函数证明不等式在某区间上恒成立；②已知不等式在某区间上恒成立，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数导函数和不等式问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（理）设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=x f(x)的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g(x)= ，证明：g(x)<1。
（文）已知函数f(x)= - +ax+1。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）求曲线y= f(x)过坐标原点的切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④函数极值的定义与性质；⑤运用函数导函数求函数极值的基本方法；⑥用函数导函数证明不等式的基本方法；⑦求曲线过某点的切线方程的基本方法；⑧求直线与曲线公共点的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数 ，运用函数极值的性质和求函数极值的基本方法得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）根据函数f(x)=ln(1-x)，知x（-，1），得到函数x f(x)<0在（-，1）上恒成立，从而得到g(x)= <1，x+ f(x)> x f(x)，构造函数G（x）= x+ f(x)>-x f(x)，运用函数导函数证明不等式的基本方法就可证明：g(x)<1。（文）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数 (x)，运用参数的分类法则与基本方法和函数导函数判断函数单调性的基本方法就可判断函数的单调性；（2）根据求曲线过某点的切线方程的基本方法求出先求出曲线y= f(x)过坐标原点的切线方程，运用函数导函数求直线与曲线的公共点的基本方法就可求出切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标。
【详细解答】（理）（1）= ln(a-x)- ，x=0是函数y=x f(x)的极值点，
=ln(a-0)-0=lna=0，即a=1；（2）由函数f(x)=ln(1-x)，知x（-，1），①当01， ln(1-x)>0， x f(x)<0，函数x f(x)<0在（-，1）上恒成立，g(x)= <1，x+ f(x)> x f(x)，设函数G（x）= x+ ln(1-x)- x ln(1-x)，x（-，0）（0，1），（x）=1-- ln(1-x)+ =-ln(1-x)， x（-，0）时，（x）<0，x（0，1）时，（x）>0，函数G（x）在（-，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，当x（-，1）（0，1）时，> G（0）=0+0-0=0， g(x)= <1。（文）（1） (x)=3-2x+a，
①当=4-12a0，即a时， (x)0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；②当=4-12a>0，即a<时， x（-，）（，+）时， (x)
>0，x（，）时， (x)<0，函数f(x)在（，）上单调递减，在（-，），（，+）上单调递增；综上所述，
当a时，函数f(x)在R上单调递增；当a<时，函数f(x)在（，）上单调递减，在（-，），（，+）上单调递增；（2） f(0)=0-0+0+1=1
0，原点不在曲线y= f(x)上，设曲线y= f(x)切线的切点为（，f()）， ()=3
-2+a，曲线y= f(x)在点（，f()）处的切线方程为y-(-+a+1)=( 3-2+a)
x-( 3-2+a) ，即y=( 3-2+a)x-2++1，切线过原点，0=-2++1，
=1，曲线y= f(x)过坐标原点的切线方程为y=(1+a)x，f(x)= - +ax+1=(1+a)x得：
- -x+1=0，x=-1或x=1， f(-1)=-1-1-a+1=-1-a，f(1)=1-1+a+1=1+a，曲线y= f(x)过坐标原点的切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标为（-1，-1-a）或（1，1+a）。
2、已知函数f(x)=x(1-lnx)（2021全国高考新高考I卷）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数（x），
运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得到函数f(x)的单调性；（2）根据blna-a
lnb=a-b，-ln=-ln，构造函数g(x)=f(x)-f(2-x)，x（0，1），运用函数导函数判断函数单调性的基本方法判断函数g(x)在（0，1）上单调递增，从而得到g(x)< g(1)，证明：+>2；利用（1）的结论证明：+【详细解答】（1）（x）=1- lnx-1=- lnx，令（x）=0解得：x=1，x（0，1）时，（x）>0，x（1，+）时，（x）<0，函数f(x) 在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；（2） blna-alnb=a-b，-ln=-ln，设=，=，由a，b为两个不相等的正数知，不妨设<，0<<1<+=-lnx(2-x)>0在（0，1）上恒成立，函数g(x)在（0，1）上单调递增， g(x)< g(1)，
= f(1)-f(1)=0， g() =f()-f(2-)<0， f(2-)> f()=f()，函数f(x)在（1，+）上单调递减，2-<，+>2；①当e-1时，0<<1，+<1+e-1=e，即+x(e-x) （0，e-1）时，x(e-x)单调递减，函数G(x)在（e-1，e）上先增后减， G(x)<
max[G(e-1)，G(e)]， G(e-1)=（e-1）[1-ln(e-1)]-1<0，ln<-1显然成立，
G(x)<0在（e-1，e）上恒成立， G()<0， f()-f(e-)<0， f()函数f(x) 在（0，1）上单调递增，< e-，即+3、已知函数f(x)=（a-1）lnx+x+，aR，(x)为函数f(x)的导函数（2020成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）当a<-1时，证明：x（1，+），f(x)>-a- 。（文）当a=2时，证明： f(x)-
(x) x+对任意的x[1,2]都成立。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）运用函数导函数的定义与求法求出函数的导函数，根据参数的分类法则和方法分别确定导函数在（0，+）的正负，运用导函数与函数的单调性的定理判断函数的单调性；（2）（理）运用（1）的结论，先求出函数f(x) 在（1，+）上的最小值，结合问题条件得到关于a的不等式，证明不等式在在（1，+）上恒成立就可得到结论。（文）构造函数g(x)，证明函数g(x) 0在给定区间上恒成立，从而得到结论。
【详细解答】（1）（x）=+1-==，①当a0时，x+a>0， x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数f(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；②当-a<1，即-10，x（-a，1）时，（x）<0，函数f(x) 在（0，-a），（1，+）上单调递增，在（-a，1）上单调递减；③当-a>1，即a<-1时， x（0，1）（-a，+）时，（x）>0，x（1，-a）时，（x）<0， 函数f(x)在（0，1），（-a，+）上单增，在（1，-a）上单减，综上所述，当a0时，函数f(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当-1-a- 恒成立， +（a-1）ln(-a) -1>0恒成立， a<-1，+（a-1）ln(-a) -1>0， ln(-a) <-a-1，设g(x)=lnx-x+1 (x（1，+）)， （x）=--1=，x（1，+）时，（x）<0恒成立，函数g(x)在（1，+）上单调递减，-a- 恒成立。（文）当a=2时， f(x)- （x）x+在x[1，2]上恒成立， lnx+x+--1+x+在x[1，2]上恒成立， lnx--1+0在x[1，2]上恒成立，设g(x)= lnx--1+，（x）=+-= ， 当x [1，）时，（x）<0，当x （，2]时，（x）>0， 函数g(x) 在[1，）上单调递减，在（，2] 上单调递增， g(1)=0-1-1+2=0，g(2)= ln2--1+= ln2-1<0，当x[1，2]时，= g(1)=0-1-1+2=0，当x[1，2]时，函数g(x) 0恒成立，当a=2时， f(x)- （x）x+在x[1，2]上恒成立。
4、（理））已知函数f(x)=a ，其中a，mR。
（1）当a=m=1时，设g(x)= f(x)-lnx，求函数g(x)的单调区间；
（2）当a=4，m=2时，证明：f(x)>x(1+lnx)。
（文）已知函数f(x)= -lnx，其中mR。
（1）当m=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当m=2时，证明：f(x)>0（2020成都市高三三诊）。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法；④基本不等式及运用。
【解题思路】（1）运用函数导函数的定义与求法求出函数的导函数，结合问题条件就可求出函数g(x)（或函数f(x)）的单调区间；（2）（理）构造函数g(x)= f(x)-x(1+lnx)，运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法判断函数g(x)在（0，+）上的单调性，证明函数g(x)在（0，+）上的最小值大于零就可证明结论。（文）运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件证明函数f(x) >0在（0，+）上恒成立就可证明结论。
【详细解答】（1）（理）当a=m=1时，g(x)= f(x)-lnx =-lnx，（x）=-=，函数（x）在（0，+）上单调递增，（1）=1-1=0，（x）<0在（0，1）上恒成立，（x）>0在（1，+）上恒成立，即：函数g(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（文）当m=1时，函数f(x)= -lnx=-lnx，（x）=-=，函数（x）在（0，+）上单调递增，（1）=1-1=0，（x）<0在（0，1）上恒成立，（x）>0在（1，+）上恒成立，即：函数f(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（2）（理）当a=4，m=2时，f(x)= 4， f(x)>x(1+lnx)，4
- x(1+lnx)>0，设,h(x)= x-1-lnx，（x）=1-=，令（x）=0得：x=1，（x）<0在（0，1）上恒成立，（x）>0在（1，+）上恒成立，即：函数h(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，= h(1)=1-1-0=0， x-1-lnx 0，即
x 1+lnx在（0，+）上恒成立，x(1+lnx)在（0，+）上恒成立，当且仅当x=1时等号成立，设函数g(x)=ln4-ln=x-2+ln4-2lnx, （x）=1-=，令（x）=0得：x=2，（x）<0在（0，2）上恒成立，（x）>0在（2，+）上恒成立，即：函数g(x) 在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，= g(2)=0+ln4-2ln2=0， x-2+ln4-2lnx 0，即ln4-ln0在（0，+）上恒成立，当且仅当x=2时等号成立， 当a=4，m=2时，f(x)>x(1+lnx)。（文）当m=2时，函数f(x)= -lnx= -lnx=
- lnx，（x）=-，（1）=-1=<0，（2）=1-=>0，存在（1，2），使（）=0，（x）<0在（0，）上恒成立，（x）>0在（，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，
= f()=-ln=-2+， （1，2）, -2+>2-2>0，
>0，当m=2时，f(x)>0。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用函数导函数证明不等式在某区间上恒成立的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用函数导函数证明不等式在某区间上恒成立的基本方法；
（2）运用函数导函数证明不等式在某区间上恒成立的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别判断新函数在给定区间上的单调性；③运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明新函数的最大值（或最小值）小于等于零（或大于等于零）在某区间上恒成立；④由③判断不等式在某区间上恒成立；⑤综合得出证明的结论。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= x+ax，aR。
（1）设f(x)的导函数为(x)，试讨论(x)的零点个数；
（2）设g(x)=alnx+alnx+(a-1)x，当x（1，+）时，若f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= （x-1）lnx。
（1）判断函数f(x)的单调性；
（2）设g(x)=-a+（a-1）x+1，aR，当x[，]时，讨论函数f(x) 与g(x)图像的公共点个数（2021成都市高三零诊）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数零点的定义与性质；③运用函数导函数证明不等式的基本方法；④处理不等式在某区间恒成立问题的基本方法；⑤处理函数在某区间上零点问题的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数零点的性质就可得出函数(x)零点的个数；（2）根据运用函数导函数证明不等式和处理不等式在某区间恒成立问题的基本方法，结合问题条件得到关于自变量x的新函数，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出新函数的最值就可得出实数a的取值范围。（文）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可判断函数f(x)的单调性；（2）根据函数零点的性质和处理函数在某区间上零点问题的基本方法，结合问题条件就可得出函数f(x) 与g(x)图像的公共点个数。
【详细解答】（理）（1）(x)=+x+a=(x+1）+a，函数(x)零点的个数方程(x+1）
=-a的根的个数，设h (x)= (x+1），（x）=(x+1）+=(x+2），令（x）=0解得x=-2，x（-，-2）时，（x）<0，x（-2，+）时，（x>0， 函数h (x)在（-，-2）上单调递减，在（-2，+）上单调递增，= h (-2)=- ， h (-1)=0，
x（-，-1）时，h (x)<0，x（-1，+）时，h (x)>0，当x -时，h (x) 0，x +时，h (x) +，①当-a0或-a=- ，即a0或a=时，函数h (x)的图像与直线y=-a只有一个公共点；②当- <-a<0，即0（alnx）+alnx恒成立，设u(x)= x+x，当x（1，+）时，f(x) g(x)恒成立，当x（1，+）时，u(x) u(alnx)恒成立，（x）=+x+1=(x+1）+1，设G（x）=(x+1）+1，（x）=(x+1）+=(x+2），令（x）=0解得x=-2，x（-，-2）时，（x）<0，x（-2，+）时，（x>0， 函数,G (x)在（-，-2）上单调递减，在（-2，+）上单调递增，（x）（-2）=1->0，函数u(x)在R上单调递增， u(x) u(alnx)， x alnx，设M（x）= x - alnx， （x）=1- = ，①当a 1时，（x）>0在（1，+）上恒成立，函数M（x）在（1，+）上单调递增， M（x）=1-0=1>0， x alnx在（1，+）上恒成立；②当a>1时，令（x）=0解得x=a， x（1，a）时， (x)<0，当x（a，+）时， (x)>0，函数M(x)在（1，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，= M（a）=a-alna0，解得10在（0，+）上恒成立， 函数h (x)在（0，+）上单调递增， h (1)= ln1+1-1=0， x（0，1）时，(x)= h (x)<0，x（1，+）时，(x)= h (x)>0，函数f(x)= （x-1）lnx x在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（2）当x[，]时，函数f(x)
与g(x)图像的公共点个数，当x[，]时，函数F（x）= f(x)- g(x)= （x-1）lnx+ a-
（a-1）x-1=（x-1）(lnx+ax+1)零点的个数，显然x=1是方程（x-1）(lnx+ax+1)=0在区间[
，]上的一个零点，设函数G（x）= lnx+ax+1，令G（x）=0得：-a= ，，函数G（x）在[，]上零点的个数，函数u(x)= 的图像与直线y=-a在[，]上交点的个数，（x）==，x[，1）时，（x>0，x（1，]时，（x）<0，函数,u (x)在[，1）上单调递增，在（1，]上单调递减，= u(1) =1， u() =（-2+1）=-，u() ==，①当-a=1即a=-1时，函数u(x)= 的图像与直线y=-a在[，]上只有1个公共点；②当-a>1或-a<-，即a<-1或a>时，函数u(x)= 的图像与直线y=-a在[，]上没有公共点；③当-a<1即-1时，函数f(x) 与g(x)图像在[，]上只有1个公共点，当-12、已知函数f(x)=（x-2）- +ax，aR（2021成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）若不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。（文）当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数（x），运
用参数的分类法则与方法和导函数判断函数的单调性的基本方法分别判断函数的单调性；
（2）（理）根据不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，（2x-1）-ax+a >0恒成立，（2x-1）>a(x-) 恒成立，运用函数导函数处理不等式问题的基本方法分别对x<1，x=1和x>1三种情况求出实数a的取值范围就可得出实数a的取值范围。（文）根据当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，当x<1时，不等式（2x-1）-ax+a>0恒成立，当x<1时，不等式【详细解答】（1）（x）=+（x-2）-ax+a=（x-1）-a（x-1）=（x-1）（-a），
①当a0时，-a>0在R上恒成立，x（-，1）时，（x）<0，x（1，+）时，
（x）>0，函数f(x) 在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；②当00，x（lna，1）时，（x）<0，函数f(x) 在（lna，1）上单调递减，在（-，lna），（1，+）上单调递增；⑧当a=e时，（x）0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；④当a>e时，x（-，1）（lna，+）时，（x）>0，x（1,lna）时，（x）<0，函数f(x) 在（1,lna）上单调递减，在（-，1），（lna，+）上单调递增；综上所述，当a0时，函数f(x) 在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当0e时，函数f(x) 在（1,lna）上单调递减，在（-，1），（lna，+）上单调递增；（2）（理）根据不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，（2x-1）-ax+a >0恒成立，（2x-1）>a(x-) 恒成立，①当x（-，1）时，（2x-1）>a(x-) 恒成立，不等式0，x（0，1）时，（x）<0，函数g(x) 在（-，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
=g（0）=1，a>1；②当x=1时，（2x-1）>a(x-) 恒成立，e>0在R上
恒成立，a=R；③当x（1，+）时，（2x-1）>a(x-) 恒成立，不等式>a在（1，+）上恒成立，设G（x）=，（x）=，令（x）=0解得：x=0或x=，0（1，+），x（1，）时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数G(x) 在（，+）上单调递增，在（1，）上单调递减，
G()=4，a<4，综上所述，若不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，则实数a的取值范围是（1，4）。（文）根据当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，当x<1时，不等式（2x-1）-ax+a>0恒成立，当x<1时，不等式0，x（0，1）时，（x）<0，函数g(x) 在（-，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，=g（0）=1，a>1，若当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，则实数a的取值范围是（1，+）。
3、（理）已知函数f(x)=sin xsin2x。
（1）讨论函数f(x)在区间（0，）的单调性；
（2）证明：| f(x)| ；
（3）设n，证明：sin x sin 2x sin 4x------ sin x。
（文）已知函数f(x)=2lnx+1。
（1）若f(x)2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0，讨论函数g(x)= 的单调性（2020全国高考新课标II）。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法；④不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法；⑤参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】（1）（理）运用函数导函数的基本求法求出函数f(x)的导函数，根据运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法，结合问题条件就可判断函数f(x)在区间（0，）的单调性；（文）构造函数g(x)= f(x)-2x-c，运用函数导函数的基本求法求出函数g(x)的导函数，根据用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法得到关于参数c的不等式，利用不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法就可求出c的取值范围；（2）（理）运用函数导函数求函数值域的基本方法求出函数f(x)的值域，从而证明结论；（文）求出函数g(x)的导函数，根据参数分类讨论的原则与基本方法，运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法分别判断函数g(x)在定义域上的单调性，就可得出函数g(x)的单调性；（3）（理）由（2）得：f(x)=sin xsin2x，从而得到sin 2xsin4x=sin 2xsinx，----- sin xsin x，运用叠乘法就可证明结论。
【详细解答】（1）（理）f(x)=sin xsin2x=2xcosx，（x）=2sin x（3x- sin x）=-8 sin xsin(x+) sin(x-)，当x(0，)时，（x）>0，当x(，)时，（x）<0，当x(，)时，（x）>0，函数f(x)在(0，)，(，)上单调递增，在(，)上单调递减；（文）设函数g(x)= f(x)-2x-c=2lnx-2x+1-c，
（x）=-2=，当x(0，1)时，（x）>0，当x(1，+)时，（x）<0，
函数g(x)在(0，1)上单调递增，在 (1，+)上单调递减，= g(1)=0-2+1-c=-1-c，
g(x) 0在（0，+）上恒成立，-1-c0，c-1，若函数f(x)2x+c，则实数c的取值范围是[-1，+）；（2）（理）（x）=4xx=4x
=，当且仅当1-x=3x，即cosx=时，等号成立，| f(x)| ；（文）函数g(x)=
=，（x）=，设h(x)= ，
（x）=-+=，a>0，令（x）=0得：x=a，当x(0，a)时，（x）>0，当x(a，+)时，（x）<0，函数h(x)在(0，a)上单调递增，在 (a，+)上单调递减，= h(a)=2-2lna+2lna-2=0， （x）0在 (0，+)上恒成立，即函数g(x) 在 (0，+)上单调递减。（3）（理）由（2）得：f(x)=sin xsin2x， sin 2xsin4x=sin 2xSinx，----- sin xsin x，sin xsin2x. sin 2xsinx. sin xsin x=sin x. 2x. x -------.x.x ..----. ，x. 2x. x -------.x.x=sinx（sin x. 2x. x -------.x. sin x）sinx， sin x sin 2x sin 4x------ sin x。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知不等式在某区间恒成立，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握已知不等式在某区间恒成立，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法；
（2）求解已知不等式在某区间恒成立，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别判断新函数在给定区间上的单调性；③运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别求出新函数在给定区间上的最大值（或最小值）；③根据新函数在给定区间上的最大值（或最小值）小于等于零（或大于等于零）得到关于参数的方程（或方程组），不等式（或不等式组）；④求解方程（或方程组），不等式（或不等式组）求出函数解析式中参数的值（或取值范围）。