函数导函数和函数零点问题的类型与解法 学案

函数导函数和函数零点问题的类型与解法
函数导函数和函数零点问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，都有可能涉及函数导函数和函数零点问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能是函数的大题；难度为中，高档。纵观近几年高考试卷，归结起来函数导函数和函数零点问题主要包括：①运用函数导函数确定函数零点（或证明与函数零点相关）的问题；②已知函数零点，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（取值范围）的问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数导函数和函数零点问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=（x-1）-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中任选一个，证明：函数f(x)有一个零点。
①2a；②0【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②参数分类讨论的原则与基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤运用函数导函数确定函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，运用参数分类讨论的原则与基本方法和函数导函数判断函数单调性的基本方法，分别考虑①a0，②0时，函数f(x)的单调性；（2）根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，结合问题条件就可证明函数f(x)有一个零点。
【详细解答】（1）(x)= +（x-1）-2ax= x-2ax=x（-2a），①a0时，（-2a）>0在R上恒成立，x（-，0）时，(x)<0，x（0，+）时，(x)>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；②00，x（ln2a，0）时，(x)<0，x（0，+）时，(x)>0，函数f(x)在（ln2a，0）上单调递减，在（-，ln2a），（0，+）上单调递增；③a=时，(x) 0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；④a>时，x（-，0）时，(x)>0，x（0，
ln2a）时，(x)<0，x（ln2a，+）时，(x)>0，函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，
在（-，0），（ln2a，+）上单调递增，综上所述，当a0时，函数f(x)在（-，0）上
单调递减，在（0，+）上单调递增；当0时，
函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，在（-，0），（ln2a，+）上单调递增；（2）若选择
①2a的条件，证明：2a，1<2a，b>1，由（1）知，
函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，在（-，0），（ln2a，+）上单调递增，f(-b)=(-b-1) -a-b<0，f(0)=（0-1）1-0+b=b-1>0，函数f(x)在（-b，0）上有一个零点， f(ln2a)
=2a（ln2a-1）-a(ln2a) +b>2a（ln2a-1）-a(ln2a) +2a=2aln2a- a(ln2a) = aln2a（2-ln2a）0，函数f(x)在（0，+）上没有零点，综上所述，函数f(x)有一个零点。若选择②00，函数f(x)在（0，2）上有一个零点，②当b<0时，设函数g（x）=-x-1，（x）=-1，x（-，0）时， (x)<0，x（0，+）时， (x)>0，函数g（x）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，
= g（0）=1-0-1=0， g（x）0在R上恒成立，x+1，f(x)=（x-1）-a+b
（x-1）（x+1）-a+b=（1-a）+b-1，当x>时，（1-a）+b-1>0，取=1+
，显然f()>0，f(0)=（0-1）1-0+b=-1+b<0，函数f(x)在（0，1+）上有一个零点， f(ln2a)=2a（ln2a-1）-a(ln2a) +b2a（ln2a-1）-a(ln2a) +2a=2aln2a- a(ln2a) = aln2a（2-ln2a）<0， 函数f(x)在（-，0）上没有零点，综上所述，函数f(x)有一个零点。
2、设函数f(x)=axlnx-x+ ，a 0（2019成都市高三零诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）当a＞0时，函数f(x)恰有两个零点，（＜），证明7+＞7a。
（文）若存在x∈（1，e］，使+＞0成立，求a的取值范围。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与基本求法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤确定函数零点的基本方法；⑥运用导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数导函数的基本方法求出函数（x）含参数a的解析式，根据参数分类讨论的原则与基本方法，结合问题条件分别对参数a的不同取值判断函数的单调性就可得出结果；（2）（理）当a＞0时，根据函数零点的性质，结合问题条件得到关于，的方程组，从而得到关于，的等式，代入原不等式，令t=(0【详细解答】（1）（x）=alnx+a-1，①当a>0时，令（x）=0得，x=，（x）<0在（0，）上恒成立，（x）>0在（，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；②当a<0时，令（x）=0得，x=，（x）>0在（0，）上恒成立，（x）<0在（，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，综上所述，当a>0时，函数f(x) 在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；当a<0时，函数f(x) 在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；（2）（理）当a＞0时，函数f(x)恰有两个零点，（＜），aln-+=0，且aln-+=0， aln= ，且aln=，aln=-=，0<＜，0<<1， ln<0，a=，7+＞7a，7+＞，<，<，令t=(02lnt<，设g(t)= 2lnt-，（t）=-=>0在（0，1）
上恒成立，函数g(t) 在（0，1）上单调递增，< g(1)=0-0=0，当0alnx-1++＞0成立，存在x∈（1，e］，使alnx-1+ ＞0成立, x∈（1，e］，
lnx>0, 存在x∈（1，e］，使a ＞成立,设g(x)= ，（x）
==，令h(x)= ，（x）=-1+=<0
在（1，e］上恒成立，函数h(x) 在（1，e］上单调递减， < h(1)=-1+0+1=0，（x）<0在（1，e］上恒成立，函数g(x) 在（1，e］上单调递减，=g(e)
= ，a>，即：若存在x∈（1，e］，使+＞0成立，则实数a的取值范围是（，+）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用函数导函数确定函数零点（或证明与函数零点相关）的问题，解答这类问题需要理解函数的零点的定义，掌握求函数零点的基本方法，注意函数图像与X轴的交点与函数的零点之间的内在联系；
（2）求解运用函数导函数确定函数零点（证明与函数零点相关）问题基本方法是：①构造一个新函数；②运用函数导函数判断新函数的单调性；③运用函数导函数求出新函数的极值（或最值）；④结合新函数图像，根据函数的零点与函数图像与X轴交点之间的关系求出函数零点（或证明与函数零点相关的问题）。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知a>0，且a1，函数f(x)= （x>0）。
（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围。
的位置关系，并说明理由。
（文）设函数f(x)= +ax-3lnx+1，其中a>0。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若y=f(x)的图像与X轴没有公共点，求a的取值范围（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③函数零点的定义与性质；④运用函数导函数确定函数零点的基本方法。
【解题思路】（理）（1）当a=2时，根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）由曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，函数g(x)= f(x)-1有且仅有两个零点，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，就可求出a的取值范围。（文）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数f(x)的单调性；（2）由y=f(x)的图像与X轴没有公共点， 函数 f(x)没有零点，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，就可求出a的取值范围。
【详细解答】（理）（1）当a=2时，函数f(x)= （x>0），（x）=
=，令（x）=0解得x=0或x=，x（0，）时，（x）>0，
x（，+ ）时，（x）<0，函数f(x)在（0，）上单调递增，在（，+ ）上单调递减；（2）曲线y=f(x)与直线y=1在（0，+ ）上有且仅有两个交点，方程=在（0，+ ）上有且仅有两个根，方程alnx=xlna在（0，+ ）上有且仅有两个根，方程=在（0，+ ）上有且仅有两个根，设函数g(x)= ，（x）=，令（x）=0解得x=e，当x（0，e）时，（x）>0，x（e，+ ）时，（x）<0，函数g(x)在（0，e）上单调递增，在（e，+ ）上单调递减，
= g(e)= ， g(x)=- ，g(1)=0， g(x)==0，0<<，a>1且ae，
若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，则实数a的取值范围是（1，e）（e，+ ）。
（文）（1） （x）=2x+a-==，令（x）=0解得x=-或x=，-（0，+ ），当x（0，）时，（x）<0，x（，+ ）时，（x）>0，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+ ）上单调递增；（2） y=f(x)的图像与X轴没有公共点， 函数 f(x)没有零点， 由（1）知，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+ ）上单调递增， = f()=1+1-3lna+1
=3（1-lna），1-lna =1+lna>0在（0，+ ）上恒成立， a>，即若y=f(x)的图像与X轴没有公共点，则实数a的取值范围为（，+ ）。
2、已知函数f(x)=x+ -(a-1)lnx-2，其中aR。
（1）若函数f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
（2）（理）讨论函数f(x)在区间[1，]上零点的个数。（文）讨论函数f(x)在区间[1，e]上零点的个数（2021成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②判定函数在某点存在极值的基本方法；③求还是极值的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，运用判断函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法得到关于a的方程组，求解方程组就可求出a的值；（2）（理）根据函数零点的性质和求函数零点的基本方法，结合问题条件确定函数f(x)在区间[1，]上的零点就可得出函数f(x)在区间[1，]上零点的个数。（文）根据函数零点的性质和求函数零点的基本方法，结合问题条件确定函数f(x)在区间[1，e]上的零点就可得出函数f(x)在区间[1，e]上零点的个数。
【详细解答】（1）(x)=1--=，①当 a0时，(x) 0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上单调递增，显然函数f(x)没有极值点，与题意不符合；②当a>0时，令(x)=0解得：x=-1或x=a，-1（0，+），x（0，a）时，(x)<0，当x（a，+）时，(x)>0，函数f(x)在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，x=a是函数f(x)的极小值点， f(a)=a+1-(a-1)lna-2=（a-1）(1-lna)=0，
a=1或a=e；（2）（理）①当 a1时，(x) 0在[1，]上恒成立，函数f(x) 在[1，]上单调递增， f(1)=1+a-0-2=a-1<0，f()=+-2（a-1）-2=+-2a=+a
（-2）>0，函数f(x)在[1，]上有唯一一个零点；②当10，函数f(x)在[1，]上没有零点；若a=e，f(a) =a+1-(a-1)lna-2=（a-1）(1-lna)=0，函数f(x)在[1，]上有一个零点；若e0，f(a)=a+1-(a-1)lna-2=（a-1）(1-lna)<0，f() =+-2（a-1）-2=
+-2a=+a（-2），当a（-2）<-，即-，即e0，函数f(x)在[1，]上有两个零点；③当a时，(x) 0在[1，]上恒成立，函数f(x)在[1，]上单调递减， f(1)=1+a-0-2=a-1>0，f()=+-2（a
-1）-2=+-2a=+a（-2）<0，函数f(x)在[1，]上有一个零点，综上所述，当1在[1，]上有一个零点；当e+a-0-2=a-10，f(e)=e +-（a-1）-2=e+-a-1=e+a（-1）-1>0，函数f(x)在[1，e]上有一个零点；②当10， 函数f(x)在[1，e]上没有零点；③当ae时，(x) 0在[1，e]上恒成立，函数f(x) 在[1，e]上单调递减， f(1)=1+a-0-2=a-1>0，f(e) =e+-（a-1）-2= e+a（-1）-10，函数f(x)在[1，e]上有一个零点，综上所述，当 a1或ae时，函数f(x)在[1，e]上有一个零点；当13、（理）已知函数f(x)= -2a-2ax，其中a>0。
（1）当a=1时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值。
（文）已知函数f(x)=a--1，其中a>0。
（1）当a=2时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值（2020成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②函数在某点导数的定义与几何意义；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）（理）运用函数在某点导数的求法和求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合问题条件就可求出曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；（文）运用函数在某点导数的求法和求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合问题条件就可求出曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；（2）（理）利用确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的方程，求解方程就可求出实数a的值。（文）利用确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的方程，求解方程就可求出实数a的值。
【详细解答】（1）（理）当a=1时， f(x)= -2-2x，(x)=2-2-2=2（--1），
(0)=2（1-1-1）=-2， f(0)=1-2-0=-1，曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为：
y+1=-2(x-0)，2x+y+1=0；（文）当a=2时， f(x)= 2--1，(x)=2-=，(0)=21-1=1， f(0)= 21-0-1=1，曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为：y-1=(x-0)，x-y+1=0；（2）（理）(x)=2-2a-2a=2（-a-a），令t=，t（0，+），(t)=2（-at-a）， a>0，存在唯一的（0，+），使()=0，即存在R，使=，且()=0，当x（-，）时，(x)<0，当x（，+）时，(x)>0，函数f(x)在（-，）上单调递减，在（，+）上单调递增，当x -时，-2a 0，-2ax +， f(x) +，当x +时，（-4a ）+， f(x) +，函数f(x)有唯一零点，=f ()=-2a-2a=0，且()=2-2 a-2a=0，+2-1=0，设g(x)= +2x-1， (x)= +2>0在R上恒成立，函数g(x)在R上单调递增， g(0)= 1+0-1=0，方程+2-1=0有唯一解=0，2-2
a-2a=0，a=，当函数f(x)有唯一零点时，实数a=。（文）函数f(x)有唯一零点，
方程+ =a有唯一一解，设g(x)= + ，（x）=-+=，令h(x)=1-2x-，(x)=-2-<0在R是恒成立，函数h(x)在R上单调递减，h(0)
=1-0-1=0，当x(-，0)时，（x）>0，当x(0，+)时，（x）<0，函数g(x)在(-，0)上单调递增，在(0，+)上单调递减，= g(0)=1+0=1，当x(-，0)时， g(x)(-，1]，当x(0，+)时， g(x)(-，1]， a>0，当方程+ =a有唯一一解时，a=1，当函数f(x)有唯一零点时，实数a的值为1。
4、（理）设函数f(x)= +bx+c，曲线y= f(x)在点（，f（））处的切线与Y轴垂直。
（1）求b；
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1。
（文）已知函数f(x)= -kx+ 。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有三个零点，求k的取值范围（2020全国高考新课标III）。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②函数在某点导数的定义与几何意义；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④参数分类讨论的原则与基本方法；⑤函数零点的定义与性质；⑥求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）（理）运用函数在某点导数的求法和函数在某点导数的几何意义，结合问题条件得到关于参数b的方程，求解方程就可求出b的值；（文）运用求函数导函数的基本方法求出函数f(x)的导函数（x）含参数k的解析式，根据参数分类讨论的原则与基本方法分别判断函数f(x)的单调性就可得出结果；（2）（理）由（1）得到函数f(x)含参数c的解析式，从而得到导函数（x）的解析式，根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到参数c的取值范围，利用参数分类讨论的原则与基本方法分别求出函数f(x)的两点就可证明结论。（文）由（1）知函数f(x)有三个零点，k>0，利用函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于参数k的不等式组，求解不等式组就可求出实数k的取值范围。
【详细解答】（1）（理）（x）=3+b，（）=3+b=+b，曲线y= f(x)在点（，f（））处的切线与Y轴垂直，（）=+b=0，即b=-；（文）（x）=3-k，①当k0时，（x）0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；②当k>0时，令（x）=0得：x=-或x=，（x）>0在（-，-），（，+）上恒成立，（x）<0在（-，）上恒成立，函数f(x)在（-，-），（，+）上单调递增，在（-，）上单调递减，综上所述，当k0时，函数f(x)在R上单调递增；当k>0时，函数f(x)在（-，-），（，+）上单调递增，在（-，）上单调递减。（2）由（1）得：f(x)= -x+c，（x）=3-，令（x）=0解得：x=-或x=，函数（x），f(x)随自变量x的变化情况如表所示， f（1）=1-+c=+c，f（-）=- + +c=+c， f（-1）=-1++c=-+c，f（）= -+c=-+c，当c<-时，函数f(x) 只有大于1的零点，当c>时，函数f(x)只有小于-1的零点，函
数f(x)有一个绝对值不大于1的零点，-c，①当c=时， f(x) = -x+=（x+1），函数f(x)有-1和两个零点；②当-=+c<，- =-+c<0， 函数f(x)有三个不 （x） >0 =0 <0 =0 >0
同的零点，，，且-1< f(x) +c -+c
<-，-<<，<<1；③当c=-时， f(x)= -x-=（x-1），函数f(x)有1和-两个零点，综上所述，若函数f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则函数f(x)所有零点的绝对值都不大于1。（文）由（1）知函数f(x)有三个零点，必有k>0，函数（x），f(x)随自变量x的变化情况如表所示， f（-）=-++=，
f（）= x （-，-）-（-，）（，+）
-+ （x） >0 =0 <0 =0 >0
=， f(x)
>0①，且<0②，联立①②解得：05、已知函数f(x)=（2-a）x-2(1+lnx)+a。
（1）当a=1时，求f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)在区间（0，）上无零点，求a的最小值（2016福州模拟）
【解析】
【考点】①函数导函数的求导公式及运用；②函数导函数求导法则及运用；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤确定函数零点的基本方法；⑥参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数导函数的公式和法则函数f(x)当a=1时的导函数（x），根据用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）根据函数零点的性质，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式求出参数a的取值范围，从而求出参数a的最小值。
【详细解答】（1）当a=1时，f(x)=x-2lnx-1，（x）=1- = ，令（x）=0解得：
x=2，当x∈（0，2）时，（x）＜0，当x∈［2，+）时，（x）＞0，函数f(x)在区间（0，2）上单调递减，在区间［2，+）上单调递增；（2）（x）=2-a- =,令（x）=0解得：x= ，①当＜0，即a＞2时，（x）＜0在（0，）上恒成立，函数f(x) 在（0，）上单调递减，当x∈（0，）时，f(x)＞f()=1-a
-2+ln2+a=a+2ln2-1＞1+ln2-1＞ln2＞0，函数f(x)在区间（0，）上无零点；②当a=2时，函数f(x)=-2lnx，（x）=-＜0在（0，）上恒成立，函数f(x) 在（0，）上单调递减， f()=2ln2＞0，函数f(x)在区间（0，）上无零点；③当a＜2时，函数f(x)=（2-a）（x-1）-2lnx，设函数g(x)= （2-a）（x-1），函数h(x)= 2lnx，函数g(x)，h(x)在（0，）上单调递增，g(0) =-(2-a)(-1)= a-2，h()=-2ln2，若a-2 -2ln2，即a 2-2ln2时，函数f(x)在区间（0，）上无零点，综上所述，若函数f(x)在区间（0，）上无零点，则实数a的取值范围是［2-2ln2，+），即a的最小值是2-2ln2。
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知函数零点，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要理解函数的零点的定义，掌握求函数零点的基本方法，注意函数图像与X轴的交点与函数的零点之间的内在联系；
（2）求解已知函数零点，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题基本方法是：①构造一个新函数；②运用函数导函数判断新函数的单调性；③运用函数导函数求出新函数的极值（或最值）；④结合新函数图像，根据函数的零点与函数图像与X轴交点之间的关系得到关于参数的方程（或方程组），不等式（或不等式组）；⑤求解方程（或方程组），不等式（或不等式组）求出函数解析式中参数的值（或取值范围）。