2022年山西省普通高中学业水平考试数学模拟试题
一、单选题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分)
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：
①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知向量，若，则实数（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
4．已知，，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，已知，，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．复平面内复数对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如果点M(sin θ，cos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．设，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．函数的定义域为（ ）．
A． B．
C． D．
11．已知函数，使函数值为5的的值是（ ）
A． B．2或或
C．2或 D．2或
12．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
13．若，且.则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
14．已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分)
16．已知向量，且，则=_________．
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则最大内角的余弦值为__________．
18．在中，面积，，，则的长为_____________.
19．设为平面向量.若为单位向量，与的夹角为，则与的数量积为___________.
三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，满分24分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤)
20．如图，在正方体，分别为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与的所成角．
21．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若的图像是由的图像向右平移个单位长度得到的，则当时，求满足的实数的集答案第1页，共2页
答案第1页，共1页2022年山西省普通高中学业水平考试数学模拟试题
一、单选题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分)
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．C
【详解】故选：C
2．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：
①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】对于①，设相交直线m，n确定一个平面γ，因为m，n相交，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，所以有γ∥α，γ∥β，∴α∥β，故①正确；
在长方体中，记平面ABCD为，平面为，直线为，直线为，显然②③不正确．故选：B.
3．已知向量，若，则实数（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
【答案】B
【详解】因为向量，且，
所以，解得：.故选：B
4．已知，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由已知条件得，即，
∵，∴，∴，故选：.
5．若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当时，，所以ACD选项错误.
由于，所以，B选项正确.故选：B
6．在中，已知，，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】解：因为，，所以，
又因，所以.故选：D.
7．复平面内复数对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，对应的点的坐标是.故选：C
8．如果点M(sin θ，cos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】∵M(sin θ，cos θ)位于第二象限，∴∴θ为第四象限角.故选：D.
9．设，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】，设A＝{x|}，B＝{x|}，
∵BA，∴“”是“”的充分不必要条件，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
10．函数的定义域为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
列出关于x的不等式组即可求得函数的定义域.
【详解】
要是函数有意义，必须，解之得
则函数的定义域为
故选：D
11．已知函数，使函数值为5的的值是（ ）
A． B．2或或
C．2或 D．2或
【答案】D
【详解】当时，，解得．当时，，解得．故选：D.
12．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：定义域为，又，
所以，
所以为奇函数，函数图形关于原点对称，故排除B、D，
又，故排除C，故选：A
13．若，且.则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立.故选：D.
14．已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知的定义域为R，且，得为奇函数，且，且在上单调递增．由得，即．解得．故选：B．
15．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，在中，，则m，
在中，，则m，
在中，，由余弦定理得：，
即，解得m，即有，
所以他的步行速度为.故选：D
所以.故答案为：
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分)
16．已知向量，且，则=_________．
【答案】
【详解】由于，所以，
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则最大内角的余弦值为__________．
【答案】
【详解】由，可得，所以最大内角为C，
设，则，所以.
故答案为：.
18．在中，面积，，，则的长为_____________.
【答案】或
【详解】由三角形的面积公式可得，则，
所以，.当时，由余弦定理可得.当时，由余弦定理可得.故答案为：或.
19．设为平面向量.若为单位向量，与的夹角为，则与的数量积为___________.
【答案】
【详解】,,,,
故答案为：
三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，满分24分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤)
20．如图，在正方体，分别为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与的所成角．
【答案】 (1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取的中点分别为，连接，如下图所示：
因为E,F分别为线段的中点．
所以在三角形中，且，
又且，所以且，
同理在三角形中，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
(2)解：连接，
在三角形中，，由（1）可知，，即，
所以为异面直线与的所成角．
在三角形中，，所以三角形为等边三角形，
所以.
21．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若的图像是由的图像向右平移个单位长度得到的，则当时，求满足的实数的集合
【答案】(1)，；
(2)或.
【解析】(1)令，则，
∴的单调递增区间为，；
(2)由题可知，
由，得，
由，得，
由正弦函数的图像与性质可知，
则，即所求实数的取值集合为或.
试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页
答案第1页，共1页
