数学北师大版（2019）必修第二册 2.3..1向量的数乘运算232向量的数乘与向量共线的关系 课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
2.3.1　向量的数乘运算
2.3.2　向量的数乘与向量共线的关系
课标阐释
1.理解向量数乘运算的定义及几何意义.(数学抽象、直观想象)
2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握共线向量的基本定理,会判断或证明两个向量共线.(逻辑推理)
4.了解直线的方向向量的概念,会运用直线的方向向量的知识证明三点共线.(数学抽象、逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差 这说明声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍.
若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于数,则有v1=880 000v2.对于880 000v2,我们规定是一个向量,其方向与v2相同,其长度为v2长度的880 000倍.这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘.
那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢
激趣诱思
知识点拨
一、向量的数乘运算
1.向量的数乘的概念
实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:
(1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;
当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;
当λ=0时,0a=0.
(2)|λa|=|λ||a|.
这种运算称为向量的数乘.
激趣诱思
知识点拨
2.向量的数乘的几何意义
如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.
3.单位向量
激趣诱思
知识点拨
微思考
数乘向量与数乘数有什么区别
提示前者结果是一个向量,后者结果是一个数.
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)实数λ与向量a,则λ+a与λ-a的和是向量.(　　)
(2)对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反.(　　)
(3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.(　　)
答案(1)×　(2)√　(3)√
激趣诱思
知识点拨
二、数乘运算的运算律
1.数乘运算的运算律
设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:
(1)(λ+μ)a=λa+μa;
(2)λ(μa)=(λμ)a;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).
若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
2.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
激趣诱思
知识点拨
答案B
激趣诱思
知识点拨
答案C
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微探究
根据共线向量定理,对于非零向量a,b,如何确定实数λ,使得a=λb
微思考
共线向量定理中为什么要规定b≠0
提示(1)若将条件b≠0去掉,即当b=0时,显然a与b共线;
(2)若a≠0,则不存在实数λ,使a=λb;
(3)若a=0,则对任意实数λ,都有a=λb.
激趣诱思
知识点拨
四、直线的向量表示
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
数乘向量的定义及几何意义
例1(1)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(　　)
A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a
(2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是(　　)
答案(1)C　(2)B
探究一
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探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 对向量数乘运算的三点说明
(1)λa中的实数λ叫作向量a的系数.
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.
(3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0.
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探究四
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向量的线性运算
例2(1)计算下列各式:
①3(a-2b+c)-(2c+b-a);
(2)设x,y是未知向量.
①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;
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探究一
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反思感悟 1.向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
2.向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
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变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a=　　　　　,b=　　　　　.
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共线向量定理及其应用
角度1　向量共线的判定
例3判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).
(1)a=5e1,b=-10e1;
(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.
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解(1)因为b=-2a,
所以a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
所以(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
因为e1与e2是两个非零不共线向量,
所以1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
反思感悟 向量共线的判定一般是用其判定定理,即给定一个非零向量b,若存在唯一一个实数λ,使得a=λb,则任意向量a与非零向量b共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.
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变式训练3已知向量e1、e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2,求证:a∥b.
证明若e1=e2=0,则a=b=0,
所以a与b共线,即a∥b;
若e1,e2中至少有一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R),且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,所以a∥e1,b∥e1.
因为e1≠0,所以a∥b.
综上可知,a∥b.
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角度2　用已知向量表示未知向量
答案C
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反思感悟 用已知向量来表示所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理、相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
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角度3　证明三点共线问题
探究一
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角度4　求参问题
答案A
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答案C
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向量线性运算的综合应用
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答案D
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答案C
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角度2　解决三角形的四心问题
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答案B
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反思感悟 1.三角形的内心:三角形内切圆的圆心、三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等.
2.三角形的外心:三角形外接圆的圆心、三角形三条边的中垂线的交点,外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,
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答案B
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1.4(a-b)-3(a+b)-b=(　　)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
解析原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
答案D
A.a+b B.a-b
C.3b-2a D.2a-3b
答案C
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A.A、B、C三点共线 B.A、B、D三点共线
C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线
答案B
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