4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 教案

两角和与差的正弦、正切公式及其应用
【第一课时】
【教学目标】
1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．
2．能利用公式解决简单的化简求值问题．
【教学重难点】
利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.
【教学过程】
一、问题导入
怎样借助30°，45°的三角函数值求出sin75°，sin15°的值？
二、新知探究
1．利用公式化简求值
【例1】（1）＝( )
A．－ B．－
C． D．
（2）求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；
（3）求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值．
[思路探究]（1）化简求值应注意公式的逆用．
（2）（3）对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
（1）C [
＝
＝
＝＝sin 30°＝.]
（2）解：原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°
＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1．
（3）sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)·
cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.
【教师小结】
（一）对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去，求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．
（二）在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
2．给值(式)求值
【例2】设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
[思路探究]应用公式 注意角的范围 求出所给角的正弦值．
[解]因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝，因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
1．(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．
[解] sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝×－×＋×＋×＝－－－＝－1．
2．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？
[解] 因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝.
因为β为第三象限，所以cos β＝－.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＋＝0.
【教师小结】
（1）当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
（3）角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．
三、课堂总结
1．两角和与差的正弦公式的结构特点
(1)公式中的α，β均为任意角．
(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．
(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
2．两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
3．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.
四、课堂检测
1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [∵cos α＝－，α为第三象限角，∴sin α＝－，由两角和的正弦公式得sin ＝sin αcos ＋cos α·sin ＝×＋×＝－.]
2．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．
C．[－1,1] D．
B [f(x)＝sin x－cos
＝sin x－cos x＋sin x
＝sin x－cos x＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．
故选B．]
3．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________.
[原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝
sin(25°＋35°)＝sin 60°＝.]
4．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
[解] ∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，∴α－β＝－.
【第二课时】
【教学目标】
1．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2．掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．
【教学重难点】
利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.
【教学过程】
一、问题导入
怎样借助30°，45°的三角函数值求出tan75°，tan15°的值？
二、新知探究
1．利用公式化简求值
【例1】求下列各式的值：
（1）tan 15°；（2）；
（3）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如（1）)及公式的逆用(如（2）)与活用(如（3）)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．
[解]（1）tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝＝2－.
（2）＝
＝
＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1．
（3）∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
【教师小结】
（1）公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
（2）一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
2．条件求值(角)问题
【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
（1）求tan(α＋β)的值；（2）求α＋2β的值．
[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．
[解]由条件得
cos α＝，cos β＝，
∵α，β为锐角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴tan α＝7，tan β＝.
（1）tan(α＋β)＝＝＝－3．
（2）tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
【教师小结】
（一）通过先求角的某个三角函数值来求角．
（二）选取函数时，应遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
（三）给值求角的一般步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角．
3．公式的变形应用
[探究问题]
（1）判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？
[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．
（2）在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？
[提示]根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C．
【例3】已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．
[思路探究]→→
→.
[解]由tan A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)
＝＝＝－.
而0°＜A＜180°，
∴A＝120°.
由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝，
而0°＜C＜180°，
∴C＝30°，
∴B＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－tan Btan C＝－，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？
[解] 由tan A＝tan [π－(B＋C)]
＝－tan (B＋C)＝
＝＝.
又0°由tan C＝tan [π－(A＋B)]
＝＝＝.
又0°所以C＝60°，所以B＝60°.
所以△ABC是等边三角形．
【教师小结】
公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用
1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，
如＝tan ；
＝tan .
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
三、课堂总结
1．公式T(α±β)的适用范围和结构特征
(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
2．两角和与差的正切公式的变形
变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)；
tan α tan β＝1－等.
四、课堂检测
1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan＝( )
A． B．－
C．5 D．－5
A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝，故tan＝＝＝，选A．]
2．tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)等于( )
A． B．1
C． D．
B [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1．]
3．计算＝________.
1 [＝
＝tan 45°＝1．]
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan的值．
[解] ∵α＋＝(α＋β)－，
∴tan＝tan
＝＝
＝.
4/10