2.3.1向量的数乘运算 教案

向量的数乘运算
【教学目标】 【核心素养】
理解向量的数乘运算及其几何意义．(重难点) 通过学习数乘运算及其几何意义，体会数学抽象素养．
【教学过程】
一、基础铺垫
数乘向量及运算律：
（1）向量数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa．它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
（2）向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：
①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．
思考：向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
[提示] 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
二、合作探究
1．向量数乘的定义
【例1】 已知a．b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
（1）2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
（2）－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的倍；
（3）－2a与2a是一对相反向量；
（4）a－b与－(b－a)是一对相反向量．
[解] （1）真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，
且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.
（2）真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，
又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的倍．
（3）真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量，
（4）假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．
【规律方法】
对数乘向量的四点说明
（1）λa的实数λ叫作向量a的系数．
（2）向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．
（3）当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.
（4）向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．
2．向量的线性运算
【例2】 （1）计算下列各式：
①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；
②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
（2）设x，y是未知向量．
①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
②解方程组
[解] （1）①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c．
②原式＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋b
＝0×a＋0×b＝0.
（2）①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，
即8x＝－5a＋3b，所以x＝－a＋b．
②把第一个方程的左、右两边同乘－2，然后与第二个方程相加，
得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b．
代入原来第二个方程得x＝－a＋b．
所以
【规律方法】
1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数．
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的方法求解．
三、课堂总结
实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模长有关．
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）实数λ与向量a的积还是向量．( )
（2）对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．( )
（3）向量－8a的模是向量4a的模的2倍．( )
（4）若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．( )
（5）若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa．( )
[答案] （1）√ （2）√ （3）√ （4）× （5）×
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
A [＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3.
所以A，B，D三点共线．]
3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b．
－ [因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝.
又因为b与a的方向相反，所以a＝－b．]
4．如图所示，已知＝，用，表示.
[解] ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
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