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变量之间的关系1
教学内容
1、常量与变量；
2、列表法；
3、解析式法．
教学过程
考点一:常量与变量
诊断．（2021春 深圳期中）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
内化1-1．（2021春 龙岗区校级期中）世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（ ）
A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量 B．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量
C．y是自变量，x是因变量 D．x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常量
【解答】解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常数．
故选：D．
内化1-2．在球的体积公式V＝πR3中，下列说法正确的是（ ）
A．V、π、R是变量，为常量 B．V、π是变量，R为常量
C．V、R是变量，、π为常量 D．以上都不对
【解答】解：在球的体积公式V＝πR3中，V，R是变量，，π是常量，
故选：C．
考点二:列表法
诊断．（2021春 福田区期末）某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下表所示：
根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（ ）
A．支撑物的高度为40cm，小车下滑的时间为2.13s
B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小
C．若小车下滑的时间为2s，则支撑物的高度在40cm至50cm之间
D．若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次至少减少0.5s
【解答】解：A、由图表可知，当h＝40cm时，t＝2.13s，故A不符合题意；
B、支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小，故B不符合题意；
C、若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40cm至50cm之间，故C不符合题意；
D、若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次不一定减少0.5s，故D符合题意．
故选：D．
内化1-1．（2021春 龙华区期中）赵先生手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）：
年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24
身高h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4
下列说法中错误的是（ ）
A．赵先生的身高增长速度总体上先快后慢 B．赵先生的身高在21岁以后基本不长了
C．赵先生的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm
D．赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm
【解答】解：A、∵100﹣48＝52，130﹣100＝30，140﹣130＝10，150﹣140＝10，158﹣150＝8，165﹣158＝7，170﹣165＝5，170.4﹣170＝0.4，52＞30＞10＝10＞8＞7＞5＞0.4，
∴赵先生的身高增长速度总体上先快后慢，A正确；
B、∵21岁赵先生的身高为170cm，24岁赵先生的身高为170.4cm，
∴赵先生的身高在21岁以后基本不长了，B正确；
C、∵（150﹣48）÷12＝8.5（cm），∴赵先生的身高从0岁到12岁平均每年增高8.5cm，C错误；
D、∵（170.4﹣48）÷24＝5.1（cm），∴赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm，D正确．
故选：C．
内化1-2．（2019春 龙岗区期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y（元） ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 …
（1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达 人．
【解答】解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量；
故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；
故答案为2000；
（3）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元；
（4）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月利润为5000元时，每月乘车人数为4500人，
故答案为4500．
考点三:解析式法
诊断1．（2021春 龙岗区期末）爸爸决定暑假带小明自驾去珠海长隆海洋王国，龙岗与珠海长隆海洋王国之间的距离大约是210千米，若汽车以平均每小时70千米的速度从龙岗开往珠海长隆海洋王国，则汽车距珠海长隆海洋王国的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系式可表示为 ．
【解答】解：根据题意得：y＝210﹣70x．故答案为：y＝210﹣70x．
内化1-1．（2021春 罗湖区期中）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如表：则蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式 ．
t/分 0 2 4 6 8 10
h/厘米 30 29 28 27 26 25
【解答】解：由表格数据可知，蜡烛每2分钟燃烧1厘米，∴h＝30﹣t．
故答案为：h＝30﹣t．
内化1-2．（2021春 深圳期中）已知某地的地面气温是20℃，如果每升高1000m气温下降6℃，则气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为 ．
【解答】解：∵每升高1000m气温下降6℃，∴每升高1m气温下降0.006℃，
∴气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为t＝﹣0.006h+20，
故答案为：t＝﹣0.006h+20．
内化1-3．（2021春 深圳期中）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x吨，则需要交水费y元，收费标准如表所示：
月用水量x吨 不超过12吨部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分
收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00
（1） 是自变量， 是因变量；
（2）若用水量达到15吨，则需要交水费 元；
（3）用户5月份交水费54元，则所用水为 吨；
（4）请求出：当x＞18时，y与x的关系式．
【解答】解：（1）用水量为自变量，水费为因变量，故答案为：用水量，水费；
（2）2×12+2.5×（15﹣12）＝31.5（元），故答案为：31.5；
（3）根据水费为54元，显然用水量超过18吨了，
根据题意得：2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）＝54，解得：x＝23，故答案为：23；
（4）当x＞18时，y＝2×12+2.5×（18﹣12）+3（x﹣18）＝24+15+3x﹣54＝3x﹣15．
诊断2．（2021春 宝安区期中）长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为 ．
【解答】解：长方形的一边是xcm，则另一边长是（12﹣x）cm．则y＝（12﹣x）x．
故答案是：y＝（12﹣x）x．
内化2-1．（2021春 龙岗区期中）如图，三角形ABC的高AD＝4，BC＝6，点E在BC上运动，若设BE的长为x，三角形ACE的面积为y，则y与x的关系式为 ．
【解答】解：由线段的和差，得CE＝6﹣x，由三角形的面积，得y＝×4×（6﹣x）
化简，得y＝﹣2x+12，故答案为：y＝﹣2x+12．
内化2-2．（2021春 宝安区期中）将长为25cm、宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm，设x张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为 ．
【解答】解：每张纸条的长度是25cm，x张应是25xcm，
由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x张纸条之间有（x﹣1）个粘合，应从总长度中减去．
∴y与x的函数关系式为：y＝25x﹣（x﹣1）×2＝23x+2．
故答案为：y＝23x+2．
内化2-3．（2021春 罗湖区校级期末）如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，请写出y与x的关系式；
（3）当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？
【解答】解：（1）∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，
∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；
（2）由题意可得：y＝122﹣4x2＝144﹣4x2．
（3）由（2）知：y＝144﹣4x2，
当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，x增大，x2也随之增大，﹣4x2则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小，
当x＝1cm时，y有最大值，＝140（cm2）．
当x＝5cm时，y有最小值，y最小＝144﹣4×52＝44（cm2）．
∴当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积由140cm2变到44cm2
挑战过关
一．选择题（共3小题）
1．（2021春 深圳期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系，下列说法不正确的是（ ）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5
A．弹簧不挂重物时的长度为0cm B．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为23.5cm
【解答】解：∵弹簧不挂重物时的长度为20cm，∴选项A不正确；
∵x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，∴选项B正确；
∵20.5﹣20＝0.5（cm），21﹣20.5＝0.5（cm），21.5﹣21＝0.5（cm），22﹣21.5＝0.5（cm），22.5﹣22＝0.5（cm），∴物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5cm，∴选项C正确；
∵22.5+0.5×（7﹣5）＝22.5+1＝23.5（cm）∴所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为23.5cm，
∴选项D正确．故选：A．
2．（2021春 宝安区期中）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
支撑物的高度h（cm） 10 20 30 40 50 60 70 80
小车下滑的时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50
下列说法错误的是（ ）
A．当h＝50cm时，t＝1.89s B．随着h逐渐升高，t逐渐变小
C．h每增加10cm，t减小1.23s D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
【解答】解；A、当h＝50cm时，t＝1.89s，故A正确；
B、随着h逐渐升高，t逐渐变小，故B正确；
C、h每增加10cm，t减小的值不一定，故C错误；
D、随着h逐渐升高，小车的时间减少，小车的速度逐渐加快，故D正确；
故选：C．
3．（2021春 宝安区期中）已知小明从A地到B地，速度为4千米/小时，A、B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（ ）
A．y＝4x B．y＝4x﹣3 C．y＝﹣4x D．y＝﹣4x+3
【解答】解：用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，
则y与x之间的函数表达式是：y＝3﹣4x＝﹣4x+3．故选：D．
二．填空题（共1小题）
4．（2021春 南山区期末）一名老师带领x名学生到青青世界参观，已知成人票每张60元，学生票每张40元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为 ．
【解答】解：由题意，得y＝40x+60，
故答案为：y＝40x+60．
三．解答题（共1小题）
5．（2021春 华龙区期末）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值．
所挂质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧长度y/cm 30 32 34 36 38 40
（1）上表所反映的变化过程中的两个变量， 是自变量， 是因变量；
（2）直接写y与x的关系式；
（3）当弹簧长度为130cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．
【解答】解：（1）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；
故答案为：所挂物体质量，弹簧长度；
（2）由表格可得：当所挂物体重量为1千克时，弹簧长32厘米；当不挂重物时，弹簧长30厘米，
则y与x的关系式为：y＝2x+30；
（3）当弹簧长度为130cm（在弹簧承受范围内）时，
130＝2x+30，
解得x＝50，
答：所挂重物的质量为50kg．
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变量之间的关系1
教学内容
1、常量与变量；
2、列表法；
3、解析式法．
教学过程
考点一:常量与变量
诊断．（2021春 深圳期中）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
内化1-1．（2021春 龙岗区校级期中）世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（ ）
A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量 B．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量
C．y是自变量，x是因变量 D．x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常量
内化1-2．在球的体积公式V＝πR3中，下列说法正确的是（ ）
A．V、π、R是变量，为常量 B．V、π是变量，R为常量
C．V、R是变量，、π为常量 D．以上都不对
考点二:列表法
诊断．（2021春 福田区期末）某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下表所示：
根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（ ）
A．支撑物的高度为40cm，小车下滑的时间为2.13s
B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小
C．若小车下滑的时间为2s，则支撑物的高度在40cm至50cm之间
D．若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次至少减少0.5s
内化1-1．（2021春 龙华区期中）赵先生手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）：
年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24
身高h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4
下列说法中错误的是（ ）
A．赵先生的身高增长速度总体上先快后慢
B．赵先生的身高在21岁以后基本不长了
C．赵先生的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm
D．赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm
内化1-2．（2019春 龙岗区期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y（元） ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 …
（1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达 人．
考点三:解析式法
诊断1．（2021春 龙岗区期末）爸爸决定暑假带小明自驾去珠海长隆海洋王国，龙岗与珠海长隆海洋王国之间的距离大约是210千米，若汽车以平均每小时70千米的速度从龙岗开往珠海长隆海洋王国，则汽车距珠海长隆海洋王国的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系式可表示为 ．
内化1-1．（2021春 罗湖区期中）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如表：则蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式 ．
t/分 0 2 4 6 8 10
h/厘米 30 29 28 27 26 25
内化1-2．（2021春 深圳期中）已知某地的地面气温是20℃，如果每升高1000m气温下降6℃，则气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为 ．
内化1-3．（2021春 深圳期中）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x吨，则需要交水费y元，收费标准如表所示：
月用水量x吨 不超过12吨部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分
收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00
（1） 是自变量， 是因变量；
（2）若用水量达到15吨，则需要交水费 元；
（3）用户5月份交水费54元，则所用水为 吨；
（4）请求出：当x＞18时，y与x的关系式．
诊断2．（2021春 宝安区期中）长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为 ．
内化2-1．（2021春 龙岗区期中）如图，三角形ABC的高AD＝4，BC＝6，点E在BC上运动，若设BE的长为x，三角形ACE的面积为y，则y与x的关系式为 ．
内化2-2．（2021春 宝安区期中）将长为25cm、宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm，设x张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为 ．
内化2-3．（2021春 罗湖区校级期末）如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，请写出y与x的关系式；
（3）当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？
挑战过关
一．选择题（共3小题）
1．（2021春 深圳期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系，下列说法不正确的是（ ）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5
A．弹簧不挂重物时的长度为0cm B．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为23.5cm
2．（2021春 宝安区期中）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
支撑物的高度h（cm） 10 20 30 40 50 60 70 80
小车下滑的时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50
下列说法错误的是（ ）
A．当h＝50cm时，t＝1.89s B．随着h逐渐升高，t逐渐变小
C．h每增加10cm，t减小1.23s D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
3．（2021春 宝安区期中）已知小明从A地到B地，速度为4千米/小时，A、B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（ ）
A．y＝4x B．y＝4x﹣3 C．y＝﹣4x D．y＝﹣4x+3
二．填空题（共1小题）
4．（2021春 南山区期末）一名老师带领x名学生到青青世界参观，已知成人票每张60元，学生票每张40元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为 ．
三．解答题（共1小题）
5．（2021春 华龙区期末）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值．
所挂质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧长度y/cm 30 32 34 36 38 40
（1）上表所反映的变化过程中的两个变量， 是自变量， 是因变量；
（2）直接写y与x的关系式；
（3）当弹簧长度为130cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．
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