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图形的旋转
教学内容
1、性质；
2、对角互补模型；
3、奔驰模型；
4、辅助线；
5、作图．
教学过程
考点一:性质
角．
诊断．（2021春 罗湖区校级期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠ADO的度数为（ ）
A．30° B．60° C．75° D．80°
【解答】解：由题意得∠AOD＝30°，OA＝OD，
∴．
故选：C．
内化1-1．（2019春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C旋转，使点A的对应点A'在AB边上，则此时∠ACA′＝ ．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵将△ABC绕点C旋转，使点A的对应点A'在AB边上，
∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
故答案为：60°．
内化1-2．（2020春 龙岗区期中）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，
故选：B．
内化1-3．（2021春 宝安区期中）如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠E的度数为（ ）
A．50° B．75° C．65° D．60°
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD＝150°，AD＝AB，∠E＝∠ACB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝15°，
∴∠E＝∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣100°﹣15°＝65°，
故选：C．
边．
诊断1．（2019春 福田区期末）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝2，∠B＝60°，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．4﹣
【解答】解：∵AC＝2，∠B＝60°，∠BAC＝90°∴AB＝2，BC＝2AB＝4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，∴AD＝AB，且∠B＝60°
∴△ADB是等边三角形∴BD＝AB＝2，∴CD＝BC﹣BD＝4﹣2＝2
故选：C．
内化1-1．（2021春 南山区期中）如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【解答】解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，∴△EBD≌△ABC，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，∴∠EAD＝90°，
∵AE＝AB＝5，AD＝4，
∴DE＝＝＝，
∴AC＝DE＝，
故选：D．
内化1-2．（2018春 罗湖区期中）如图所示，在△ABC中，∠C等于90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为 ．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，
∴AE＝AC＝6，DE＝BC＝8，
∴BE＝AB﹣AE＝4，
∴在Rt△DEB中，BD＝＝＝4，
故答案为：4．
内化1-3．（2016春 宝安区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，现将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度是（ ）
A．2 B． C．2 D．3
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴BC＝AC＝，
∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，
∴∠ACA′＝∠BCB′，CA＝CA′，CB＝CB′，
∵∠BAC＝60°，CA＝CA′，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴BB′＝CB＝．
故选：B．
（★）解三角形求边．
诊断2．（2019春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B＝ ．
【解答】解：如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′是等边三角形，∴AB＝BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′＝∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝，
∴AB＝＝2，
∴BD＝2×＝，
C′D＝×2＝1，
∴BC′＝BD﹣C′D＝﹣1．
故答案为：﹣1．
内化2-1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 ．
【解答】解：连接CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠BCA＝∠BAC＝45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE
又∵旋转角为60°
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形
∴AC＝CE＝AE＝4
在△ABE与△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE （SSS）
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°
∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°
∴∠AFB＝∠AFE＝90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AF＝＝2
又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，可得FE＝AF＝2
∴BE＝BF+FE＝2+2
故答案为2+2
考点二:对角互补模型
诊断．（2021春 龙华区期中）如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBE＝S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，∴①正确；
∵△BOD≌△COE，∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC，故②正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，
∴S△ODE＝×OE×OE＝OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；故③错误；∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝2+1＝3，
故④正确．
故选：C．
内化1-1．（2021 罗湖区校级模拟）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（ ）
①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是等边△ABC的内心和外心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，①正确；
∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××62＝3，③错误；
作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝ OE OE＝OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝6+3＝9，④正确．
故选：B．
内化1-2．（2020秋 罗湖区校级期末）在 Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF＝AB，②AE2+BF2＝EF2，
③S四边形CEDF＝S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：连接CD，∵AC＝BC，点D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD＝AB．∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°．
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵∠EDC+∠FDC＝∠GDH＝90°，∴∠ADE＝CDF．
在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE＝S△CDF．
∵AC＝BC，∴AC﹣AE＝BC﹣CF，∴CE＝BF．
∵AC＝AE+CE，∴AC＝AE+BF．
∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝AB，∴AE+BF＝AB．
∵DE＝DF，∠GDH＝90°，∴△DEF始终为等腰直角三角形．
∵CE2+CF2＝EF2，∴AE2+BF2＝EF2．
∵S四边形CEDF＝S△EDC+S△EDF，
∴S四边形CEDF＝S△EDC+S△ADE＝S△ABC．
∴正确的有①②③④．
故选D．
考点三:奔驰模型
诊断．（2021春 福田区校级期中）如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（ ）
A．150° B．135° C．120° D．165°
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，如图，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故选：A．
内化1-1．（2018春 坪山区期末）如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝3，PC＝，将△APB绕点A逆时针旋转后与△AQC重合．求：
（1）线段PQ的长；
（2）∠APC的度数．
【解答】解：（1）∵△APB绕点A旋转与△AQC重合∴AQ＝AP＝1，∠QAP＝∠CAB＝90°．
在Rt△APQ中，由勾股定理得：PQ＝＝＝．
（2）∵∠QAP＝90°，AQ＝AP，∴∠APQ＝45°．
∵△APB绕点A旋转与△AQC重合，∴CQ＝BP＝3．
∵在△CPQ中PQ＝，CQ＝3，CP＝，∴CP2+PQ2＝（）2+（）2＝9，CQ2＝32＝9．
∴CP2+PQ2＝CQ2．∴∠CPQ＝90°．
∴∠APC＝∠CPQ+∠APQ＝135°．
内化1-2．（2021春 光明区期中）如图，点D为等边三角形ABC内的一点，DA＝10，DB＝8，DC＝6，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为10；②△ACD'绕点A顺时针旋转60°会和△ABD重合；③CD⊥CD'；④S四边形ADCD′＝24+25，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①连接DD′，如图，
∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°，
∴△ADD′为等边三角形，∴DD′＝10，所以①正确；
②∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，
∴△ACD'绕点A顺时针旋转60°会和△ABD重合，所以②正确；
③由②可知；D′C＝DB＝8，∵DC＝6，在△DD′C中，∵62+82＝102，∴DC2+D′C2＝DD′2，
∴△DD′C为直角三角形，∴∠DCD′＝90°，即CD⊥CD′，
所以③正确；
④S四边形ADCD＝S△ADD′+S△D′DC＝×102+×6×8＝24+25，
所以④正确．
故选：D．
考点四:（★）辅助线
诊断．（2021春 罗湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为 ．
【解答】解：作CD⊥AB于D，连接BB'，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝，∴由面积知CD＝，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝，
∵AC＝CA'，CD⊥AA'，∴AA'＝2AD＝，∴BA'＝AB﹣AA'＝5﹣＝，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，
∴∠ACA'＝∠BCB'，CA＝CA'，CB＝CB'，∴∠CBB'＝∠CAA'，∴∠A'BB'＝90°，
由勾股定理得，BB'＝＝，∴BB'＝．故答案为：．
内化1-1．（2021春 宝安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，将线段CA绕点C顺时针旋转30°至CA′，过点A′作A′E⊥BC，垂足为E，若AB＝8，CE＝5，则BC的长为 ．
【解答】解：过C作CF⊥AB，F为垂足，
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，又∵∠ABC＝30°，∴∠ACE＝30°+∠A，
又∵∠ACE＝30°+∠A′CE，∴∠A＝∠A′CE，
在△AFC与△CEA′中，，∴△AFC≌△CEA′（AAS），
∴AF＝CE＝5，在Rt△BFC中，cos30°＝＝＝，
∴BC＝＝＝2．故答案为2．
内化1-2．（2021春 宝安区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为 ．
【解答】解：延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，如图，
∵∠CAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．
∵BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，∴△BCC'为等边三角形，∴BC＝BC'，∠CBC'＝60°，
∵∠DBA﹣∠ABC＝∠CBC'﹣∠ABC，即∠DBC＝∠ABC'．
在△DBC和△ABC'中，，∴△DBC≌△ABC'（SAS）．
∴S△DBC＝S△C'AB，
过点B作BE⊥AD于点E，
∴BE＝AB sin60°＝10×＝5，DC＝AD﹣AC＝10﹣6＝4，
∴S△DBC＝＝＝10，
∴S△C'AB＝10．
故答案为：10．
内化1-3．（2021春 龙岗区期末）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为 ．
【解答】解：如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．
∵AB＝AC，∠BAC＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°，
∵∠TDE＝∠B+∠DEB＝∠TDF+∠EDF，∠EDF＝∠B＝15°，
∴∠TDF＝∠BED，
∵DT＝EB，DF＝DE，
∴△TDF≌△BED（SAS），
∴BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，
∵∠TFC＝∠TAF+∠ATF＝45°，TM⊥FM，
∴TM＝FM＝2，
在Rt△ATM中，∵∠TAM＝30°，
∴AT＝2TM＝4，
∴BE＝DT＝AD+AT＝1+4，
故答案为1+4．
考点五:作图
诊断．（2021春 南山区期末）如图所示，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 ；
（2）将△A1B1C1绕点（0，﹣1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）观察图形发现，△A2B2C2是由△ABC绕点 顺时针旋转 度得到的．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，A1（﹣3，4）；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）如图，△A2B2C2是由△ABC绕点（2，﹣4）顺时针旋转90度得到的．
故答案为：（1）（﹣3，4）；（3）（2，﹣4），90．
内化1-1．（2021春 光明区期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（4，2），C（1，3）．
（1）将△ABC向右、向下分别平移1个单位长度和5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（1，﹣4），点C1的坐标为（2，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
内化1-2．（2021春 南山区期中）如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2．
（3）求△A2B2C2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A2B2C2的面积＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×1＝．
内化1-3．（2021春 罗湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）△ABC关于原点O的对称图形为△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积是 ；
（3）若点P为y轴上一动点，则PA+PC的最小值为 ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积＝×3×2＝3．
故答案为：3．
（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C交Y轴于点P，此时PA+PC的值最小，最小值＝CA′＝＝2．
故答案为：2．
挑战过关
一．选择题（共2小题）
1．（2019春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【解答】解：由题意得：AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C；∵CC′∥AB，且∠BAC＝75°，∴∠ACC′＝∠AC′C＝∠BAC＝75°，∴∠CAC′＝180°﹣2×75°＝30°；由题意知：∠BAB′＝∠CAC′＝30°，
故选：A．
2．（2020春 福田区期中）已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．不能确定
【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵点D是AC边的中点，∴CD＝4，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ＝30°，∴CQ＝CD＝2，∴DQ＝＝2，
∴DQ的最小值是2，
方法二：∵将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，∴△ABP≌△ACQ，
取AB的中点G，连接PG，则PG＝DQ，则当GP垂直BC时，GP最短，
∵∠B＝60°，∠BPG＝90°，∴∠BGP＝30°，
∴PB＝BG＝AB＝2，
∴DQ＝PG＝2，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
3．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠AA′B′＝20°，则∠B的度数为 °．
【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴AC＝A′C，∠ACA′＝90°，∠B＝∠A′B′C，
∴∠CAA′＝45°，
∵∠AA′B′＝20°，
∴∠A′B′C＝∠CAA′+∠AA′B＝65°，
∴∠B＝65°．
答案为：65．
4．（2019春 罗湖区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 ．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故答案为：3．
5．（2016春 福田区期末）如图所示，长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到长方形CEFG，连接DG交EF于H，连接AF交DG于点M，若AB＝4，BC＝1，则AM＝ ．
【解答】解：如图，连接AC、CF．∵长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到长方形CEFG，
∴DC＝GC，AC＝FC，∠ACF＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形．
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝1，∴AC＝＝，∴FC＝AC＝．
在Rt△CAF中，由勾股定理得，AF＝＝．∵DC＝GC，∠DCG＝90°，∴∠DGC＝45°，
∴∠FGH＝90°﹣∠DGC＝45°，∴△FHG是等腰直角三角形，∴FH＝FG，
∵FG＝AD，∴FH＝AD．
在△ADM与△FHM中，，∴△ADM≌△FHM，∴AM＝FM，
∵AM+FM＝AF＝，∴AM＝．故答案为．
6．（2021春 福田区校级期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，则S△AOC+S△AOB＝ ．
【解答】解：如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，点O旋转至O′，
由旋转的性质可得△AOO′是边长为3的等边三角形，△COO′是三边分别为3、4、5的直角三角形，
故S△AOC+S△AOB＝S四边形AOCO′＝S△AOO′+S△COO′＝+＝6+．
故答案为：6+．
7．（2021春 宝安区校级月考）如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝60°，在边AC上方作等边△ACD，则BD的长为 ．
【解答】解：如图，以AB为边，在AB的左侧作等边△ABE，连接EC，作EF⊥CB交CB的延长线于F．
∵△ABE，△ACD都是等边三角形，
∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°，
∴∠EAC＝∠BAD，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴EC＝BD，
∵∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
在Rt△EFB中，∵∠F＝90°，BE＝AB＝4，∠BEF＝30°，
∴BF＝BE＝2，EF＝BF＝2，
在Rt△ECF中，∵∠F＝90°，CF＝BF+BC＝2+5＝7，EF＝2，
∴EC＝＝＝，
故答案为．
三．解答题（共1小题）
8．（2017春 罗湖区期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．
（2）解：当α＝150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，
∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣150°﹣110°﹣60°＝40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．
∵∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）＝50°，
∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠OAD＝＝120°﹣，
∴190°﹣α＝120°﹣，解得α＝140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
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图形的旋转
教学内容
1、性质；
2、对角互补模型；
3、奔驰模型；
4、辅助线；
5、作图．
教学过程
考点一:性质
角．
诊断．（2021春 罗湖区校级期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠ADO的度数为（ ）
A．30° B．60° C．75° D．80°
内化1-1．（2019春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C旋转，使点A的对应点A'在AB边上，则此时∠ACA′＝ ．
内化1-2．（2020春 龙岗区期中）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
内化1-3．（2021春 宝安区期中）如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则∠E的度数为（ ）
A．50° B．75° C．65° D．60°
边．
诊断1．（2019春 福田区期末）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝2，∠B＝60°，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．4﹣
内化1-1．（2021春 南山区期中）如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
内化1-2．（2018春 罗湖区期中）如图所示，在△ABC中，∠C等于90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为 ．
内化1-3．（2016春 宝安区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，现将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度是（ ）
A．2 B． C．2 D．3
（★）解三角形求边．
诊断2．（2019春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B＝ ．
内化2-1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 ．
考点二:对角互补模型
诊断．（2021春 龙华区期中）如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBE＝S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
内化1-1．（2021 罗湖区校级模拟）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（ ）
①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
内化1-2．（2020秋 罗湖区校级期末）在 Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF＝AB，②AE2+BF2＝EF2，
③S四边形CEDF＝S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
考点三:奔驰模型
诊断．（2021春 福田区校级期中）如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（ ）
A．150° B．135° C．120° D．165°
内化1-1．（2018春 坪山区期末）如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝3，PC＝，将△APB绕点A逆时针旋转后与△AQC重合．求：
（1）线段PQ的长；
（2）∠APC的度数．
内化1-2．（2021春 光明区期中）如图，点D为等边三角形ABC内的一点，DA＝10，DB＝8，DC＝6，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为10；②△ACD'绕点A顺时针旋转60°会和△ABD重合；③CD⊥CD'；④S四边形ADCD′＝24+25，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点四:（★）辅助线
诊断．（2021春 罗湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为 ．
内化1-1．（2021春 宝安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，将线段CA绕点C顺时针旋转30°至CA′，过点A′作A′E⊥BC，垂足为E，若AB＝8，CE＝5，则BC的长为 ．
内化1-2．（2021春 宝安区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为 ．
内化1-3．（2021春 龙岗区期末）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为 ．
考点五:作图
诊断．（2021春 南山区期末）如图所示，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 ；
（2）将△A1B1C1绕点（0，﹣1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）观察图形发现，△A2B2C2是由△ABC绕点 顺时针旋转 度得到的．
内化1-1．（2021春 光明区期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（4，2），C（1，3）．
（1）将△ABC向右、向下分别平移1个单位长度和5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．
内化1-2．（2021春 南山区期中）如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2．
（3）求△A2B2C2的面积．
内化1-3．（2021春 罗湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）△ABC关于原点O的对称图形为△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积是 ；
（3）若点P为y轴上一动点，则PA+PC的最小值为 ．
挑战过关
一．选择题（共2小题）
1．（2019春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
2．（2020春 福田区期中）已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．不能确定
二．填空题（共5小题）
3．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠AA′B′＝20°，则∠B的度数为 °．
4．（2019春 罗湖区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 ．
5．（2016春 福田区期末）如图所示，长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到长方形CEFG，连接DG交EF于H，连接AF交DG于点M，若AB＝4，BC＝1，则AM＝ ．
6．（2021春 福田区校级期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，则S△AOC+S△AOB＝ ．
7．（2021春 宝安区校级月考）如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝60°，在边AC上方作等边△ACD，则BD的长为 ．
三．解答题（共1小题）
8．（2017春 罗湖区期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
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