沪科版数学七年级下册 8.3 完全平方公式与平方差公式 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
8.3 完全平方公式与平方差公式
多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
(a+b)(ｍ+ｎ)＝aｍ+aｎ+bｍ+bｎ
(a+b)2=
a2+
ab
+
b2
2
回 顾
自主实验
①现有两个数，不知其大小，请你随意用两个不同的字母来表示这两个数。
②请把这两个数的和与差分别表示出来，这两个式子是多项式还是单项式？
③请将所得的和与差相乘并化简。
④请思考：两个数的和与这两个数的差的乘积等于什么？
两数和
两数差
两数平方差
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
平方差公式
发现规律
下图是一个边长为 a 的大正方形,割去一个边长为b 的小正方形.小明将绿色和黄色两部分拼成一个长方形.
问:小明能拼成功吗
做一做
b
a
a
b
原图实际面积为：________________
长方形的面积为：_________________
b
a
a
b
a-b
b
b
a
b
解决问题
(a+b)(a b)
(a+b)(a b)= a b
a b
b
a
a
b
a+b
a b
a+b
a b
b + b
a+a
a b
平方差公式：
(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积,
等于
这两数的平方差.
公式变形:
a a
b b
a a
1、(a b)(a+b) =
a2 b2
2、( b+ a)(b+a) =
a2 b2
b b
a a
b b
公式的结构特征
（1）左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反项。
（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减相反项的平方）。
（3）公式中的a、b可以表示数、字母、单项式或者多项式。
下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A (– a + b ) (–a – b)
B (a –b ) (b –a)
C (100+8 ) ( 100 – 7)
D (x+y – 1 ) (x+y – 1)
选择
A
填 表
阅读算式，按要求填写下面的表格
2m
3n
(-2m+3n)(2m+3n)
3x
2
(2-3x)(2+3x)
5
x
(x+5)(x-5)
写成“a2-b2”的形式
与平方差公式中b对应的项
与平方差公式中a对应的项
算式
(3n) -(2m)
(a+b)(a b)= a b
例题
例 利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5 6x)；(2) (x+2y)(x 2y); (3) ( m+n)( m n).
解: (1) (5+6x)(5 6x)=
5
5
相同项
52
平方

6x
6x
相反项
平方
要用括号把这个数整个括起来，
注意

当“a或b”是一个分数或是数与字母的乘积时,
再平方;
( )2
6x
=
25

最后的结果又要去掉括号.
36x2 ;
(2) (x+2y) (x 2y)
=
x
x
x2

( )2
2y
2y
2y
=
x2 4y2 ;
(3) ( m+n)( m n )
=
m
m
m
( )2

n
n
n2
=
m2 n2 .
利用平方差计算的步骤
一、判断（是否符合平方差公式特征）
二、找项（找出相同项与相反项）
三、计算（相同项的平方减去相反项的平方）
归纳
下面各式的计算对不对？如果不对应当
怎样改正？
(1) (x+2)(x –2)=x –2
(2) (–3a –2)(3a –2)=9a –4
(3) (3m+2n)(3m –2n)=3m –2n
x – 4
4 – 9a
9m – 4n
判断
利用平方差公式计算
(1) (2a+5b)(2a-5b)
(2) (y –2x)(–2x –y)
(3) (y+2) (y –2)–(y –1) (y+5)
练习
小明同学去商店买了单价10.2元/千克的糖果9.8千克，小明同学马上说：“应付99.96元。”售货员很惊讶：“你真是个神童。”小明同学说：“过奖了 ，我只是利用了数学上刚学的一个公式而已。”
学以致用
10.2×9.8
=（10+0.2）×（10 –0.2）
=10 –0.2
=100 –0.04
=99.96
利用平方差公式计算：
（1）1999 ×2001
（2）2016 –2014×2018
平方差公式的
（1）结构是稳定不变的，即只要是两个数的和与这两个数差的乘积，就一定等于这两个数的平方差。
（2）公式中的a和b都可以变脸。
本质
位置变化
计算(–7n+2m)(2m+7n)
解：原式 = (2m–7n)(2m+7n)
=(2m) –(7n)
=4m –49n
变化一
系数变化
计算(4a+2b)(2a–b)
解：原式=2 (2a+b)(2a–b)
=2(4a –b )
=8a –2b
变化二
符号变化
计算：(–3a–4b)(3a–4b)
解：原式= (–4b–3a)(–4b+3a)
=(–4b) –(3a)
=16b –9a
变化三
指数变化
计算(x –y )(x +y )
解：原式=(x ) – (y )
=x4–y4
变化四
连用公式
计算(x+y)(x –y) (x +y )
解：原式= (x –y )(x +y )
=(x ) – (y )
=x4–y4
变化五
无中生有
计算51 ×49
解：原式=(50+1) ×(50 – 1)
=50 – 1
=2500 – 1
=2499
变化六
项数变化
计算(x+y+1)(x+y –1)
解：原式=(x+y) – 1
= x +2xy+y – 1
变化七
变化八
逆用公式
(a+b)(a b)
a2 b2 =
计算84 – 83
解：原式=(84+83) ×(84–83)
=167×1
=167
能力提升
利用平方差公式计算
( 2+1 )( 2 +1 )( 24+1 )( 28+1 )
( 2+1 )( 2 +1 )(24+1 )( 28+1 )
( 2 +1 )( 24+1 )( 28+1)
( 24+1 )( 28+1)
( 28+1 )
=216 – 1
挑战自我
解：原式
= ( 2 – 1 )
= ( 2 – 1 )
= ( 24 – 1 )
= ( 28 – 1)
拓展思考
想一想：
下列式子能用平方差公式计算吗？
(1)(x+2y–1)(x–2y+1)
(2)100 –99 +98 –97 +···+2 –1
“！”
“？”
“······”
作业布置
同步练习 8.3（二）
谢 谢