人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理习题课(共26张PPT)

(共26张PPT)
1.2空间向量基本定理
习题课
空间向量基本定理
概念
　　（1）如果三个向量a，b，c 不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
　　（2）基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量.
　　（3）单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两_______，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的_______.
垂直
起点
（2）向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则　 的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.
空间向量的坐标表示
　　（1）设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量（我们称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量 ＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝（x，y，z），此时向量p的_____恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标____________.
xe1＋ye2＋ze3
坐标
(x，y，z)
做一做
典型讲评
例1.如图,M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且
用向量 表示 .
例2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4, AD=4,AA1=5,
∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M, N分别为D1C1,C1B1的中点,求证MN⊥AC1.
典型讲评
典型讲评
例3.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为C'D',A'D',D'D的中点.
(1)求证：EF//AC;(2)求CE与AG所成角的余弦值.
所以EF//AC.
（1）{a，b，c}是否构成空间的一个基底？
（2） 如果{a，b，c}构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：
（2）
A
B
C
O
C'
O'
A'
B'
G
3.如图，已知平行六面体OABC—O′A′B′C′，点G是侧面BB ′C′C的中心，　　　且 ， ，
1.已知空间四边形　　　　　　　　　　　　　　　
求证： 　 。
证明：∵
练习
2.已知在平行六面体 　　　　　　　中， ,
求 　　 所成角的余弦值。
解：
D
C
A
B
所以 　　 所成角的余弦值为0。
　3.如图，已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，CD′与DC′相交于点O,连接AO,求证：
A
B
C
D
C'
D'
A'
B'
O
解：
∵ABCD—A′B′C′D′是正方体,
4.如图,在空间平移△ABC到△A′B′C′,连结对应顶点.设 ,
,M是BC的中点,N是BC的中点,用基底
表示
5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点.若D1A1 =2，D1C1 =2 ，D1D=3，求B1M的长.
6.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60 °, CD=CC1 .
求证：CA1⊥平面C1BD.
D
C
A
B
A1
B1
C1
D1
证明：
∵平行六面体的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD
=∠BCD=60 °,CD=CC1 .
6.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60 °, CD=CC1 .
求证：CA1⊥平面C1BD.
D
C
A
B
A1
B1
C1
D1
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG= CD.
(1)证明:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
F
B
C
D
C1
D1
A1
B1
G
A
E
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG= CD.
(1)证明:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
F
B
C
D
C1
D1
A1
B1
G
A
E
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG= CD.
(1)证明:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
F
B
C
D
C1
D1
A1
B1
G
A
E
反思感悟应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
延伸探究设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是(　　)
C　
解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.
A　
达标练习
3.下列说法正确的是(　　)
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等
C　
解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;
B项,空间基底有无数个;
D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.
达标练习
达标练习
6、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底．
求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.
达标练习
应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
课堂小结
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.
即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.