人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.4.11用空间向量研究直线、平面的位置关系1(共21张PPT)

(共21张PPT)
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.空间中点、直线和平面的向量表示
思考1：
1、如何确定一个点在空间的位置？
2、在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗？
3、给一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗？
4、给一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗？
复习引入
O
P
一、点的位置向量
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二、直线的向量参数方程
用向量表示直线l,就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点.
如图, 是直线l的方向向量，在直线l上取 ,设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l的充要条件是存在实数t,使得
如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 ,①
将 代入①式，得 ②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
5.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值.
例题讲评
巩固练习
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三、平面的向量表示式
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？
平面α可以由α内两条相交直线确定.如图1,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为 和 ,P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y),使得 .这样，点O与向量 不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.
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四、平面的法向量
进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？
如果能确定，如何用向量表示这个平面？
给定空间一点A和一条直线l,则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的.
A
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有
l
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例题讲评
思路分析:首先建立空间直角坐标系,然后利用待
定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.
例题讲评
取z=3，则x=2，y=3.于是n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
例题讲评
2.如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1, ,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
例题讲评
解:以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
例题讲评
巩固练习
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)
A
2.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)
A.(0，－3,1) B.(2,0,1)
C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)
D
巩固练习
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
求证 是平面ACD1的一个法向量.
巩固练习
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
解:如图所示建立空间直角坐标系.
依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1),
课堂小结
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1), b=(a2,b2,c2).
课堂小结