人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.4.12用空间向量研究直线、平面的位置关系2(共26张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.4.12用空间向量研究直线、平面的位置关系2(共26张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-25 16:26:07 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
2.空间中直线与平面的平行
O
P
一、点的位置向量
复习引入
二、直线的向量参数方程
如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 ,①
将 代入①式，得 ②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
复习引入
三、平面的向量表示式和法向量
l
复习引入
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？
你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？
学习新知
平行关系：
图示
图示
图示
学习新知
例1.证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
例题讲评
证明：如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，ν.
所以，向量n也是平面β的法向量.故α∥β.
a∥α , b∥α. 求证：α∥β.
例2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1 ？
解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系.因为A(3,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,2)，
例题讲评
取z=6，则x=4，y=3.所以，n=(4,3,6)是平面ACD1的一个法向量.
由A1(3,0,2)，C(0,4,0)，B1(3,4,2)，
A1P∥平面ACD1 .
例3.如图1.4-12，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1 ？
例题讲评
用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
巩固练习
2.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F,使得AE//CF
巩固练习
巩固练习
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是面AB1,面A1C1的中心，求证：EF//平面ACD1.
巩固练习
巩固练习
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO
思路分析建立空间直角坐标系,设出点Q的坐标,然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明.
解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,
故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFBD.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,3,0),
7. 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'.
解题提示:证明面面平行常用的方法有两种,一是证明它们的法向量共线;二是转化为线面平行、线线平行即可.
证明:(方法1) 设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B'(1,1,1),
D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),
令y1=1,则x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).
设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z2).
令y2=1,则x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一个法向量为n2=(-1,1,-1).
所以n1=n2,所以n1∥n2, 故平面AB'D'∥平面BDC'.
即AD'∥BC',AB'∥DC',
所以AD'∥平面BDC',
AB'∥平面BDC'.
又AD'∩AB'=A,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
所以n1也是平面BDC'的一个法向量,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
点睛：建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征,尽可能找到三条两两互相垂直且相交于一点的线段,特别是有垂直关系的一些几何体,如正方体,长方体,直棱柱,有一条侧棱垂直于底面的棱锥等,其中长方体(或正方体)是最简单的模型.
课堂小结
空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
利用空间向量解决平行问题时，
第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
第二，通过向量的运算，研究平行问题；
第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
l
m
l
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
2.空间中直线与平面的平行
O
P
一、点的位置向量
复习引入
二、直线的向量参数方程
如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 ,①
将 代入①式，得 ②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
复习引入
三、平面的向量表示式和法向量
l
复习引入
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？
你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？
学习新知
平行关系：
图示
图示
图示
学习新知
例1.证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
例题讲评
证明：如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，ν.
所以，向量n也是平面β的法向量.故α∥β.
a∥α , b∥α. 求证：α∥β.
例2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1 ？
解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系.因为A(3,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,2)，
例题讲评
取z=6，则x=4，y=3.所以，n=(4,3,6)是平面ACD1的一个法向量.
由A1(3,0,2)，C(0,4,0)，B1(3,4,2)，
A1P∥平面ACD1 .
例3.如图1.4-12，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1 ？
例题讲评
用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
巩固练习
2.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F,使得AE//CF
巩固练习
巩固练习
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是面AB1,面A1C1的中心，求证：EF//平面ACD1.
巩固练习
巩固练习
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO
思路分析建立空间直角坐标系,设出点Q的坐标,然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明.
解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,
故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFBD.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,3,0),
7. 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'.
解题提示:证明面面平行常用的方法有两种,一是证明它们的法向量共线;二是转化为线面平行、线线平行即可.
证明:(方法1) 设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B'(1,1,1),
D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),
令y1=1,则x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).
设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z2).
令y2=1,则x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一个法向量为n2=(-1,1,-1).
所以n1=n2,所以n1∥n2, 故平面AB'D'∥平面BDC'.
即AD'∥BC',AB'∥DC',
所以AD'∥平面BDC',
AB'∥平面BDC'.
又AD'∩AB'=A,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
所以n1也是平面BDC'的一个法向量,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
点睛：建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征,尽可能找到三条两两互相垂直且相交于一点的线段,特别是有垂直关系的一些几何体,如正方体,长方体,直棱柱,有一条侧棱垂直于底面的棱锥等,其中长方体(或正方体)是最简单的模型.
课堂小结
空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
利用空间向量解决平行问题时，
第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
第二，通过向量的运算，研究平行问题；
第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
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