人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.1.1 空间向量及其线性运算(共12张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.1.1 空间向量及其线性运算(共12张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-25 16:28:23 | ||
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文档简介
(共12张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.利用类比的方法理解空间向量的相关概念.
2.掌握空间向量的线性运算.
3.掌握共线向量定理和共面向量定理,并能熟练应用.
1.定义:在空间,把具有① 大小 和② 方向 的量叫做空间向量.
2.长度(模):空间向量的③ 大小 叫做空间向量的长度或模.
3.表示法
(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;
(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.
若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作④ ,其模记为|a|或⑤ | | .
空间向量的有关概念
空间向量的线性运算
运算 法则(或几何意义) 图形表示 运算律
加法a+b 三角形法则: a+b= + = ; 平行四边形法则: a+b= + =
(1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:
a+(b+c)=(a+b)+c,
λ(μa)=λμa;
(3)分配律:
(λ+μ)a=λa+μa,
λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R)
减法a-b a-b= - =
数乘λa(a≠0) 大小:|λa|=⑥ |λ||a| . 方向:当λ>0时,λa的方向与a的方向⑦ 相同 ; 当λ<0时,λa的方向与a的方向⑧ 相反 ;
当λ=0时,λa=0
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使⑨ a=λb .
共线向量定理
共面向量定理
1.共面向量:平行于同一个⑩ 平面 的向量,叫做共面向量.
2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一
的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb .
1.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同. ( √ )
2.空间中两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致. ( √ )
3.空间向量的数乘中,λ只决定向量的大小,不决定向量的方向. ( )
提示:设b=λa(a≠0),λ>0时,b与a方向相同,λ<0时,b与a方向相反.
4.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
提示:若b=0,a≠0,则不存在实数λ,使a=λb.
5.空间中任意两个单位向量必相等. ( )
提示:任意两个单位向量模相等,方向不一定相同.
6.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
空间向量的有关概念
1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空
间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的
相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;
2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相
对应的概念完全相同;
3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来
解决;
4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.
下列命题中是假命题的是 ( D )
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相反向量的和为零向量
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等
思路点拨
大小相等,而且方向相同的向量才是相等向量;大小相等方向相反的两个向量称为相反向量;任意两个单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故不一定相等.
解析 空间向量与平面向量一样,也是由模和方向两个要素确定的.模可以比较大小,但方向无法比较,所以两个空间向量不能比较大小,A是真命题;根据向量的加法的三角形法则,知B是真命题;显然C是真命题;空间中任意两个单位向量的模相等,但方向不一定相同,故不一定相等,故D是假命题.故选D.
空间向量的线性运算
利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的
方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识,巧妙运用以下性质:
①若点D为△ABC边BC的中点,则 = ( + );
②若D为△ABC边BC上一点,且BD∶DC=λ∶μ,则 = + .
设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知 =e1+ke2, =5e1+4e2, =-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k= .
解析 = + + =(e1+ke2)+(5e1+4e2)+(e1+2e2)=7e1+(k+6)e2.
设 =λ ,则7e1+(k+6)e2=λ(e1+ke2),
所以 解得k=1.
答案 1
如图,O是△ABC所在平面外一点,M为BC的中点,若 =λ 与 = + + 同时成立,则实数λ的值为 .
解析 ∵ = + + = + ×2 = + ,∴G为AM的中点,
∴ = ,又 =λ ,
∴λ= .
答案
空间向量共线与共面定理的应用
1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另
一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行.
2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A,B,C,可通过
证明下列结论来证明三点共线:
(1)存在实数λ,使 =λ 成立;
(2)对空间任一点O,有 = +t (t∈R);
(3)对空间任一点O,有 =x +y (x+y=1).
已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,且点M满足 = ( + + ).
(1)判断 , , 三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
思路点拨
证明向量共面问题,可以利用共面向量定理;证明点共面问题,可转化为证明向量共面问题.
解析 (1)共面.由已知得 + + =3 ,所以 - =( - )+( - ),
即 = + =- - ,所以 , , 共面.
(2)点M在平面ABC内.
由(1)知 , , 共面且过同一点M,
所以M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.利用类比的方法理解空间向量的相关概念.
2.掌握空间向量的线性运算.
3.掌握共线向量定理和共面向量定理,并能熟练应用.
1.定义:在空间,把具有① 大小 和② 方向 的量叫做空间向量.
2.长度(模):空间向量的③ 大小 叫做空间向量的长度或模.
3.表示法
(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;
(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.
若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作④ ,其模记为|a|或⑤ | | .
空间向量的有关概念
空间向量的线性运算
运算 法则(或几何意义) 图形表示 运算律
加法a+b 三角形法则: a+b= + = ; 平行四边形法则: a+b= + =
(1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:
a+(b+c)=(a+b)+c,
λ(μa)=λμa;
(3)分配律:
(λ+μ)a=λa+μa,
λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R)
减法a-b a-b= - =
数乘λa(a≠0) 大小:|λa|=⑥ |λ||a| . 方向:当λ>0时,λa的方向与a的方向⑦ 相同 ; 当λ<0时,λa的方向与a的方向⑧ 相反 ;
当λ=0时,λa=0
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使⑨ a=λb .
共线向量定理
共面向量定理
1.共面向量:平行于同一个⑩ 平面 的向量,叫做共面向量.
2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一
的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb .
1.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同. ( √ )
2.空间中两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致. ( √ )
3.空间向量的数乘中,λ只决定向量的大小,不决定向量的方向. ( )
提示:设b=λa(a≠0),λ>0时,b与a方向相同,λ<0时,b与a方向相反.
4.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
提示:若b=0,a≠0,则不存在实数λ,使a=λb.
5.空间中任意两个单位向量必相等. ( )
提示:任意两个单位向量模相等,方向不一定相同.
6.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
空间向量的有关概念
1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空
间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的
相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;
2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相
对应的概念完全相同;
3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来
解决;
4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.
下列命题中是假命题的是 ( D )
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相反向量的和为零向量
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等
思路点拨
大小相等,而且方向相同的向量才是相等向量;大小相等方向相反的两个向量称为相反向量;任意两个单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故不一定相等.
解析 空间向量与平面向量一样,也是由模和方向两个要素确定的.模可以比较大小,但方向无法比较,所以两个空间向量不能比较大小,A是真命题;根据向量的加法的三角形法则,知B是真命题;显然C是真命题;空间中任意两个单位向量的模相等,但方向不一定相同,故不一定相等,故D是假命题.故选D.
空间向量的线性运算
利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的
方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识,巧妙运用以下性质:
①若点D为△ABC边BC的中点,则 = ( + );
②若D为△ABC边BC上一点,且BD∶DC=λ∶μ,则 = + .
设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知 =e1+ke2, =5e1+4e2, =-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k= .
解析 = + + =(e1+ke2)+(5e1+4e2)+(e1+2e2)=7e1+(k+6)e2.
设 =λ ,则7e1+(k+6)e2=λ(e1+ke2),
所以 解得k=1.
答案 1
如图,O是△ABC所在平面外一点,M为BC的中点,若 =λ 与 = + + 同时成立,则实数λ的值为 .
解析 ∵ = + + = + ×2 = + ,∴G为AM的中点,
∴ = ,又 =λ ,
∴λ= .
答案
空间向量共线与共面定理的应用
1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另
一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行.
2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A,B,C,可通过
证明下列结论来证明三点共线:
(1)存在实数λ,使 =λ 成立;
(2)对空间任一点O,有 = +t (t∈R);
(3)对空间任一点O,有 =x +y (x+y=1).
已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,且点M满足 = ( + + ).
(1)判断 , , 三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
思路点拨
证明向量共面问题,可以利用共面向量定理;证明点共面问题,可转化为证明向量共面问题.
解析 (1)共面.由已知得 + + =3 ,所以 - =( - )+( - ),
即 = + =- - ,所以 , , 共面.
(2)点M在平面ABC内.
由(1)知 , , 共面且过同一点M,
所以M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.