人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算选择性必修第一册课件(1)(共19张PPT)

(共19张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1.2 空间向量的数量积运算
通过预习你发现空间向量的数量积和平面向量的数量积有什么区别？
没有本质区别
新课引入
在空间任取一点O，作 =
= ,则∠AOB叫做向量 夹角，记作< >.
思考1：如何定义两个非零空间向量的夹角呢？
如图，已知两个非零向量 ,
o
B
A
关键是起点相同！
新课探究
1.空间两个向量的夹角
（1）向量
O
A
B
< >=0
O
A
B
O
A
B
（2）向量
< >=π
（3）< >=
（4）非零向量 夹角的范围：
0 < >
（5）< >=< >
新课探究
思考2：如何定义两个非零空间向量的数量积呢？
2. 两个向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量 ，则 ||cos< >叫做 的数量积，记作.即
＝ ||cos< > ．
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于0.即
=0
新课探究
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b _______
②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.
③特别地，a·a＝____或|a|＝
④若〈a，b〉为a，b的夹角，则cos〈a，b〉＝_______
⑤|a·b|≤|a|·|b|
3. 空间向量的数量积的性质
a·b＝0
|a|·|b|
－|a|·|b|
|a|2
＝ ||cos< >
新课探究
向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a·b＝a·c b＝c，a·b＝k b＝，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．
4. 空间向量数量积运算律
（1）a·b＝
（2）(λa)·b＝
（3） a·(b＋c)＝
λ(a·b)
=a·(λb)
b·a
a·b＋a·c
（交换律）
（数乘结合律）
（分配律）
思考3：对应向量a,b,c,(a·b ) · c＝ a · (b·c)成立吗
新课探究
思考4：在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
(1)如图，在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，
c＝ |a|cos，
a
a
c
b
则向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
(2)如图，在空间，向量a向直线l投影，若设直线l的方向向量为向量b，
a
a
c
l
则c＝ |a|cos称为向量a向直线l的投影.
新课探究
例1　已知三棱锥O－ABC的各个侧面都是等边三角形，且棱长为2，点M，N，P分别为AB，BC，CA的中点．试求：
例题解析
例1　已知三棱锥O－ABC的各个侧面都是等边三角形，且棱长为2，点M，N，P分别为AB，BC，CA的中点．试求：
例题解析
步骤：①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式；
②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
空间向量运算的方法与步骤
技巧小结
例2 如图，是平面内的两条相交直线.如果， ，求证： .
证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线, , , 取非零向量.
因为相交，所以向量不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对,使
将上式两边分别与向量作数量积运算，得
因为
所以
这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以
例题解析
练习巩固
例题解析
例题解析
例题解析
你学到了什么？
课堂小结
作业1：书本 P10
作业2：预习下一节
作业布置
谢谢大家！
“深耕集备 提效课堂 ”