人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.4.2.1用空间向量研究距离 教案 （word版无答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册1.4.2.1用空间向量研究距离 教案 （word版无答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 487.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-25 17:24:28 | ||
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文档简介
1.4.2.1用空间向量研究距离问题
【教学目标】
1. 理解线线、线面、面面夹角的概念.（难点）
2.会用向量法求线线、线面、面面夹角.（重点）
3.理解点到平面、线面、面面距离的概念.（难点）
4.会用向量法求点面、线面、面面距离.（重点）
【教学重点】
过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养
【教学过程】
1. 空间距离的求法
（1）点M到面的距离（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.
由
得距离公式：
（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；
（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式.
2.空间三种角的向量求法
空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
角的分类 向量求法 范围
异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝
直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝
二面角 设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ [0，π]
【小试牛刀】
1.判断正错
（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )
（2）直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．( )
（3）二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．( )
（4）若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.( )
2.已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点坐标和长度分别是 ， .
【经典例题】
题型一 利用空间向量求距离
例1 （线面距离）设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离.
[跟踪训练] 1 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
例2（线线距离）如图，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点
求：（1）P点到平面EFB的距离；
（2）异面直线PM与FQ的距离
[跟踪训练] 2（面面距离）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求平面AB1C与平面A1C1D间的距离．
题型二 利用空间向量求夹角
例3 （线线角）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[跟踪训练] 3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．
例4（线面角）已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
[跟踪训练] 4 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
例5 （面面角）如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．
[跟踪训练] 5 如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A-A1D-B的余弦值．
【当堂达标】
1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α－l－β的大小为( )
A. B.
C.或 D.或
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________．
6.如图，三棱柱中，已知A BCD是边长为1的正方形，四边形 是矩形，
（Ⅰ）若＝１，求直线AB到面的距离．
（II） 试问：当的长度为多少时，二面角
的大小为
_
a
_
n
N
M
H
θ
2
【教学目标】
1. 理解线线、线面、面面夹角的概念.（难点）
2.会用向量法求线线、线面、面面夹角.（重点）
3.理解点到平面、线面、面面距离的概念.（难点）
4.会用向量法求点面、线面、面面距离.（重点）
【教学重点】
过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养
【教学过程】
1. 空间距离的求法
（1）点M到面的距离（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.
由
得距离公式：
（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；
（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式.
2.空间三种角的向量求法
空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
角的分类 向量求法 范围
异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝
直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝
二面角 设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ [0，π]
【小试牛刀】
1.判断正错
（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )
（2）直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．( )
（3）二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．( )
（4）若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.( )
2.已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点坐标和长度分别是 ， .
【经典例题】
题型一 利用空间向量求距离
例1 （线面距离）设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离.
[跟踪训练] 1 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
例2（线线距离）如图，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点
求：（1）P点到平面EFB的距离；
（2）异面直线PM与FQ的距离
[跟踪训练] 2（面面距离）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求平面AB1C与平面A1C1D间的距离．
题型二 利用空间向量求夹角
例3 （线线角）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[跟踪训练] 3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．
例4（线面角）已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
[跟踪训练] 4 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
例5 （面面角）如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．
[跟踪训练] 5 如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A-A1D-B的余弦值．
【当堂达标】
1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α－l－β的大小为( )
A. B.
C.或 D.或
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________．
6.如图，三棱柱中，已知A BCD是边长为1的正方形，四边形 是矩形，
（Ⅰ）若＝１，求直线AB到面的距离．
（II） 试问：当的长度为多少时，二面角
的大小为
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a
_
n
N
M
H
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