第七章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“三个人去的景点各不相同”,事件B为“甲独自去一个景点,乙、丙去剩下的景点”,则P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
解析:甲独自去一个景点,有3个景点可选择,乙、丙只能在甲剩下的两个景点中选择,有2×2=4种选择,所以事件B有3×2×2=12种不同情形,即n(B)=12.
事件A有3×2×1=6种不同情形,即n(A)=6.
因为A∩B=A,所以n(AB)=6.
所以P(A|B)=.
故选C.
答案:C
2.若随机变量X的分布列如下表所示,且E(X)=6.3,则表中a的值为( )
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.-14.39 B.7
C.5.61 D.6.61
解析:由题意知0.5+0.1+b=1,解得b=0.4,
E(X)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3,
解得a=7.
答案:B
3.已知离散型随机变量X服从二项分布X~B(6,p),且E(X)=1,则D(X)=( )
A. B.
C. D.
解析:离散型随机变量X服从二项分布B(6,p),且E(X)=1,则6p=1,可得p=,于是D(X)=6×.
答案:D
4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,设事件A为“第一次取到的是奇数”,B为“第二次取到的是3的整数倍”,则P(B|A)=( )
A. B.
C. D.
解析:∵n(AB)==13,n(A)==40,
∴P(B|A)=.
答案:B
5.已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球,其中红球2个,白球3个,现从中随机摸取1球,记下颜色后放回,连续摸取3次,设ξ为取得红球的次数,则P(ξ=2)= ( )
A. B.
C. D.
解析:由题意知每次取得红球的概率p=,
则ξ~B.
因此,P(ξ=2)=.
答案:B
6.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“五局三胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则比赛进行了四局且甲获得冠军的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析:由题意可得比赛进行了四局且甲获得冠军的概率为P=.
答案:B
7.在三次独立重复试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A发生次数ξ的数学期望和方差分别为( )
A. B.
C. D.
解析:设事件A在每次试验中发生的概率为p,
则ξ~B(3,p).
∵1-(1-p)3=,
解得p=,
∴ξ~B.
∴E(ξ)=np=3×,D(ξ)=np(1-p)=3×.
答案:A
8.设θ∈,随机变量ξ的分布列如表所示,则E(ξ) ( )
ξ 1 2 3
P sin2θ cos2θ
A.有最大值,最小值
B.有最大值,最小值
C.有最大值,无最小值
D.无最大值,有最小值
解析:E(ξ)=sin2 θ+2×cos2 θ=+cos2 θ.
∵θ∈,∴≤cos θ≤,从而cos2θ∈.
∴E(ξ)=+cos2θ∈.
故E(ξ)有最大值,最小值.
答案:B
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.某校篮球队的首轮选拔测试,参加测试的5名同学的投篮命中率分别为,每人均有10次投篮机会,至少投中6次才能晋级下一轮测试.假设每人每次投篮相互独立,则( )
A.5名同学投篮各10次,相当于各做了10重伯努利试验
B.他们投中的次数均服从二项分布
C.他们投中的数学期望分别为6,5,
D.晋级下一轮的大约有5人
解析:对于A,5名同学投篮各10次,相当于各做了10重伯努利试验,故正确;
对于B,他们投中的次数服从二项分布,故正确;
对于C,他们投中的期望分别为10×=6,10×=5,10×,10×,10×,故正确;
对于D,他们投中的期望满足10×=6,10×<6,10×>6,10×>6,10×<6,故晋级下一轮的大约有3人,故错误.
答案:ABC
10.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,这些球的质地、大小完全相同.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是( )
A.P(B)=
B.P(B|A1)=
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
解析:由题意知A1∪A2∪A3=Ω,且A1,A2,A3是一组两两互斥的事件.
由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=.
故选BD.
答案:BD
11.已知随机变量X服从正态分布N(100,102),则下列选项正确的是( )
(参考数值:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.E(X)=100
B.D(X)=100
C.P(X≥90)=0.841 35
D.P(X≤120)=0.998 7
解析:∵随机变量X服从正态分布N(100,102),
∴正态曲线关于直线x=100对称.
根据题意可得P(90≤x≤110)≈0.682 7,P(80≤x≤120)≈0.954 5,
∴P(x≥90)=0.5+×0.682 7=0.841 35,故C正确;
P(x≤120)=0.5+×0.954 5=0.977 25,故D错误;
而A,B都正确.故选ABC.
答案:ABC
12.以下四个命题中是真命题的为( )
A.某市高三学生有15 000名,在一次数学考试中,学生的成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(80<ξ≤100)=0.40,若成绩采用按比例分配分层随机抽样的方式抽取100份试卷进行分析,则应从120分以上(包括120分)的试卷中抽取15份
B.已知命题p: x∈R,sin x≤1,则 p: x∈R,sin x>1
C.随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=0.954
D.设a,b∈R,则“log2a>log2b”是“2a-b>1”的充要条件
解析:由题意知正态曲线关于直线x=100对称,
∵P(80<ξ≤100)=0.40,
∴P(ξ>120)=P(ξ<80)=0.5-0.40=0.1,
∴应从120分以上的试卷中抽取100×0.1=10份,故A是假命题;B是真命题;
随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=1-2P(ξ>2)=0.954,故C是真命题;
由log2a>log2b,得a>b,则a-b>0,从而2a-b>1,反之,由2a-b>1,可得a>b,但log2a,log2b不一定有意义,故设a,b∈R,则“log2a>log2b”是“2a-b>1”的充分不必要条件,故D是假命题.
答案:BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.一个盒子中装有大小、形状完全相同的m个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球,记下颜色后放回,共取5次,设取到红球的个数为X,若E(X)=,则m的值为 .
解析:由题意知,随机变量X~B,已知E(X)=,于是E(X)=5×,解得m=14.
答案:14
14.在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在80到90分之间的学生有120名,若该校计划奖励竞赛成绩在90分以上(含90分)的学生,估计获奖的学生有 人.(填一个整数)
(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
解析:由全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100),得μ=70,σ=10,
则P(80≤X≤90)=(0.954 5-0.682 7)=0.135 9,
故参加竞赛的学生总人数为N=≈883.
而P(X≥90)=(1-0.954 5)≈0.022 8,
所以估计获奖的学生人数有883×0.022 8≈20.
答案:20
15.袋子中装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球,从中摸出一个红球的概率是,现从袋子中有放回地摸球,每次摸出一个,第2次摸到红球即停止,则恰好摸4次停止的概率p= ;若记4次内摸到红球的次数为ξ,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)= .
解析:①恰好摸4次停止的概率p=.
②由题意得ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=.
故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×.
答案:
16.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数中a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,且ak出现数字0,1的结果是相互独立的.记X=a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,X的数学期望E(X)= .
解析:由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B,因此E(X)=4×.
答案:
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)袋中装着外形、质地完全相同且标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字,求:
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(2)随机变量X的分布列;
(3)计算介于20分到40分之间的概率.
解:(1)“取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=.
(2)由题意知X的可能取值为2,3,4,5,且
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
P(X=5)=,
所以随机变量X的分布列为
X 2 3 4 5
P
(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C,
则P(C)=P(X=3)+P(X=4)=.
18.(12分)某工厂生产一种汽车的元件,该元件是经过A,B,C三道工序加工而成的,A,B,C三道工序加工的元件合格率分别为.已知每道工序的加工相互独立,三道工序加工都合格的元件为一等品;恰有两道工序加工合格的元件为二等品;其他的为废品,不进入市场.
(1)生产一个元件,求该元件为二等品的概率;
(2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测,求至少有2个元件是一等品的概率.
解:(1)用A,B,C分别表示元件经过A,B,C三道工序加工合格的事件,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=,
P()=,P()=,P()=.
设事件D=“生产一个元件,该元件为二等品”.
由已知A,B,C是相互独立事件.
根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式,得
P(D)=P(BC+AC+AB)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=.
所以生产一个元件,该元件为二等品的概率为.
(2)生产一个元件,该元件为一等品的概率为P=.
设事件E为“任意取出3个元件进行检测,至少有2个元件是一等品”,
则P(E)=.
所以至少有2个元件是一等品的概率为.
19.(12分)甲盒中装有标号分别为1,2,3的3个红球;乙盒中装有标号分别为1,2,3,4的4个黑球,这些球的质地、大小完全相同,从甲、乙两盒中各抽取一个小球.
(1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率;
(2)现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球,记其标号的差的绝对值为X,求X的分布列和数学期望.
解:(1)由题意知,抽到红球的标号是偶数的概率为P1=,抽到黑球的标号是偶数的概率为P2=.
因为两次抽取是相互独立事件,
所以抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率为P=P1P2=.
(2)根据题意列出X的可能取值情况如下表:
从乙盒中取到的球的标号 从甲盒中取到的球的标号
1 2 3
1 0 1 2
2 1 0 1
3 2 1 0
4 3 2 1
因此X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×.
20.(12分)在一次智力测试时,有A,B两个相互独立的问题,答题规则是:被测试者答对问题A的得分为a,答对问题B的得分为b,先答哪个问题由被测试者自由选择,但只有第一道问题答对,才能再答第二道问题,否则终止答题.若你是被测试者,假设你答对问题A,B的概率分别为p1,p2.
(1)当p1=,p2=时,你应该如何依据问题分值的设置选择先答哪一道问题
(2)已知a=10,b=20,当p1,p2满足怎样的关系时,你选择先答问题A
解:设先答问题A的得分为随机变量X,先答问题B的得分为随机变量Y.
∵P(X=0)=1-p1,P(X=a)=p1(1-p2),P(X=a+b)=p1p2,
∴E(X)=0×(1-p1)+ap1(1-p2)+(a+b)·p1p2=ap1(1-p2)+(a+b)p1p2.
∵P(Y=0)=1-p2,P(Y=b)=p2(1-p1),P(Y=a+b)=p1p2,
∴E(Y)=0×(1-p2)+bp2(1-p1)+(a+b)·p1p2=bp2(1-p1)+(a+b)p1p2.
∴E(X)-E(Y)=ap1(1-p2)-bp2(1-p1).
(1)当p1=,p2=时,E(X)-E(Y)=a-b.
①当a>b时,先答问题A;
②当a=b时,先答问题A,B均可;
③当a(2)已知a=10,b=20,则E(X)-E(Y)=10p1-20p2+10p1p2.
当10p1-20p2+10p1p2>0,
即p1+p1p2>2p2时,选择先答问题A.
21.(12分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.
(1)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;
(2)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种
解:(1)X可能的取值为0,1,2,3,4,且X服从参数为N=8,M=4,n=4的超几何分布.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.
(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,
[32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62]=57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为
(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,
[72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12]=56.
由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.
22.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量(单位:瓶)相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量(单位:瓶)与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,那么需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,那么需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,那么需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高 气温/℃ [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n为多少时,Y的数学期望达到最大值
解:(1)由题意知,X的可能取值为200,300,500.
由表格数据知P(X=200)==0.2,
P(X=300)==0.4,
P(X=500)==0.4,
所以X的分布列为
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温位于区间[20,25)内,则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.
当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.
所以,当n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.第七章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“三个人去的景点各不相同”,事件B为“甲独自去一个景点,乙、丙去剩下的景点”,则P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
2.若随机变量X的分布列如下表所示,且E(X)=6.3,则表中a的值为( )
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.-14.39 B.7
C.5.61 D.6.61
3.已知离散型随机变量X服从二项分布X~B(6,p),且E(X)=1,则D(X)=( )
A. B.
C. D.
4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,设事件A为“第一次取到的是奇数”,B为“第二次取到的是3的整数倍”,则P(B|A)=( )
A. B.
C. D.
5.已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球,其中红球2个,白球3个,现从中随机摸取1球,记下颜色后放回,连续摸取3次,设ξ为取得红球的次数,则P(ξ=2)= ( )
A. B.
C. D.
6.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“五局三胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则比赛进行了四局且甲获得冠军的概率为 ( )
A. B.
C. D.
7.在三次独立重复试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A发生次数ξ的数学期望和方差分别为( )
A. B.
C. D.
8.设θ∈,随机变量ξ的分布列如表所示,则E(ξ) ( )
ξ 1 2 3
P sin2θ cos2θ
A.有最大值,最小值
B.有最大值,最小值
C.有最大值,无最小值
D.无最大值,有最小值
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.某校篮球队的首轮选拔测试,参加测试的5名同学的投篮命中率分别为,每人均有10次投篮机会,至少投中6次才能晋级下一轮测试.假设每人每次投篮相互独立,则( )
A.5名同学投篮各10次,相当于各做了10重伯努利试验
B.他们投中的次数均服从二项分布
C.他们投中的数学期望分别为6,5,
D.晋级下一轮的大约有5人
10.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,这些球的质地、大小完全相同.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是( )
A.P(B)=
B.P(B|A1)=
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
11.已知随机变量X服从正态分布N(100,102),则下列选项正确的是( )
(参考数值:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.E(X)=100
B.D(X)=100
C.P(X≥90)=0.841 35
D.P(X≤120)=0.998 7
12.以下四个命题中是真命题的为( )
A.某市高三学生有15 000名,在一次数学考试中,学生的成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(80<ξ≤100)=0.40,若成绩采用按比例分配分层随机抽样的方式抽取100份试卷进行分析,则应从120分以上(包括120分)的试卷中抽取15份
B.已知命题p: x∈R,sin x≤1,则 p: x∈R,sin x>1
C.随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=0.954
D.设a,b∈R,则“log2a>log2b”是“2a-b>1”的充要条件
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.一个盒子中装有大小、形状完全相同的m个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球,记下颜色后放回,共取5次,设取到红球的个数为X,若E(X)=,则m的值为 .
14.在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在80到90分之间的学生有120名,若该校计划奖励竞赛成绩在90分以上(含90分)的学生,估计获奖的学生有 人.(填一个整数)
(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
15.袋子中装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球,从中摸出一个红球的概率是,现从袋子中有放回地摸球,每次摸出一个,第2次摸到红球即停止,则恰好摸4次停止的概率p= ;若记4次内摸到红球的次数为ξ,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)= .
16.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数中a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,且ak出现数字0,1的结果是相互独立的.记X=a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,X的数学期望E(X)= .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)袋中装着外形、质地完全相同且标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字,求:
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(2)随机变量X的分布列;
(3)计算介于20分到40分之间的概率.
18.(12分)某工厂生产一种汽车的元件,该元件是经过A,B,C三道工序加工而成的,A,B,C三道工序加工的元件合格率分别为.已知每道工序的加工相互独立,三道工序加工都合格的元件为一等品;恰有两道工序加工合格的元件为二等品;其他的为废品,不进入市场.
(1)生产一个元件,求该元件为二等品的概率;
(2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测,求至少有2个元件是一等品的概率.
19.(12分)甲盒中装有标号分别为1,2,3的3个红球;乙盒中装有标号分别为1,2,3,4的4个黑球,这些球的质地、大小完全相同,从甲、乙两盒中各抽取一个小球.
(1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率;
(2)现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球,记其标号的差的绝对值为X,求X的分布列和数学期望.
20.(12分)在一次智力测试时,有A,B两个相互独立的问题,答题规则是:被测试者答对问题A的得分为a,答对问题B的得分为b,先答哪个问题由被测试者自由选择,但只有第一道问题答对,才能再答第二道问题,否则终止答题.若你是被测试者,假设你答对问题A,B的概率分别为p1,p2.
(1)当p1=,p2=时,你应该如何依据问题分值的设置选择先答哪一道问题
(2)已知a=10,b=20,当p1,p2满足怎样的关系时,你选择先答问题A
21.(12分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.
(1)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;
(2)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种
22.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量(单位:瓶)相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量(单位:瓶)与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,那么需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,那么需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,那么需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高 气温/℃ [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n为多少时,Y的数学期望达到最大值
