专题复习：二次函数中等腰三角形的存在性问题
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教学目标：
1. 通过题组训练，理解等腰三角形的性质，掌握分类讨论及其基本的作图方法.
2. 掌握二次函数中等腰三角形存在性问题的解题思路及解题方法.
3. 通过综合题提高运算能力、分析问题与解决问题的能力，养成良好的思维习惯，熟悉中考压轴题结构，把握答题规范.
4. 感悟数学内容本质，积累思维经验，体会分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想.
教学过程：
一、知识与方法回顾(预习完成)
1. 如图1，若△ABC是等腰三角形时，三边存在哪几种情况 怎样分类？(明理)
2. 如图2，已知线段AB和直线 l，在直线l上存在一点P，使△PAB是等腰三角形？如何确定点P的位置. 思考：为什么这样画？依据是什么？
图2
【方法小结】
1. 若一个三角形是等腰三角形，没有明确给出底边和腰，则需要进行分类讨论.
2. 以线段AB为边的等腰三角形构造方法如上图所示（基本图形）. 等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以点A、点B为圆心，AB长为半径的圆周上（不与线段AB共线）.
二、实践探究
小组合作完成：如图，0为坐标原点,D(4,3)，在x轴上找一点P使得与O点，
D点构成等腰三角形，这样的等腰三角形能画多少个 并求出P点坐标.
两点间距离公式：平面直角坐标系中，点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，
三、解决问题
例1：已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
.
四、归纳总结
1. 解题思路：两圆一垂线法分类讨论找点，两点间的距离公式建立方程，解方程.
2. 方程解题步骤：
（1）设动点坐标（用只含一个字母的式子表示）
（2）标记相关动点坐标
（3）用代数式表示有关线段的长度.
（4）分类讨论列方程(用等量关系).
（5）解方程，检验，写出点的坐标.（注意三点不共线）
3. 数学思想方法：转化化归、分类讨论、数形结合和方程建模等数学思想.
4.解存在性问题的一般思路是：假设存在——推理论证——得出结论。
注：列方程后，方程是否有解（或符合题意）决定了等腰三角形是否存在 .
五：作业布置
1、如图6，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E．△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
A
B
两圆一垂线
A
B
C
D
O
P
H
E
x
y
图6(共12张PPT)
第十二届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动
等腰三角形存在性问题
二次函数专题
北京市中国人民大学附属中学朝阳学校
问题：已知线段AB和直线 m，在直线m上存在一点P，
使△PAB是等腰三角形？如何确定点P的位置.
思考：为什么这样画？依据是什么？
一、提出问题
几何画板分析
操作：
①以A为圆心AB为半径
②以B为圆心BA为半径
③AB的垂直平分线
几何方法小结
关于两定点A、B,一动点P构成等腰三角形的方法：
两圆一中垂线
1、如图，0为坐标原点,D(4,3)，在x轴上找一点P使得与O点，D点构成等腰三角形，这样的等腰三角形能画多少个 并求出P点坐标.
二、实践探究
①当OD=OP时
P1
P2
x
y
Ｄ
O
①利用两腰相等
②当DO=DP时
P4
x
y
Ｄ
O
B
②利用“三线合一”
③当PO=PD时
x
y
Ｄ
O
P3
E
③利用图形相似或勾股定理
F
三点不共线
2.两点间距离公式
平面直角坐标系中，点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，
则两点间距离公式：
1. 如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB的长是________.
C
回顾两点间距离公式
例1.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
三、解决问题
画图验证
代数方法总结
两点间的距离公式
知识上:
1、两圆一垂线法分类讨论找点
2、两点间的距离公式建立方程
小结
思想方法上:
转化化归、分类讨论、数形结合和方程建模等数学思想
感谢各位的聆听
