8.5.1线面平行、面面平行的判定与性质 学案

线面平行、面面平行的判定与性质知识点与巩固练习
一、知识点
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.(简记为“线线平行 线面平行”)三个条件：面外、面内、平行 因为l∥a，a α，l α，所以l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.(简记为“线面平行 线线平行”) 因为l∥α，l β，α∩β＝b，所以l∥b
判定线面平行的四种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a α a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a α，a β，a∥α a∥β)．
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) 因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，所以α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b
判定平面与平面平行的五种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
3.常用结论
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)平行于同一个平面的两个平面平行.
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(8)垂直于同一平面的两条直线平行．
4.记忆口诀：
空间之中两直线，平行相交和异面；
线线平行同方向，等角定理进空间；
判断线和面平行，面中找条平行线；
已知线和面平行，过线作面找交线；
要证面和面平行，面中找出两交线；
线面平行若成立，面面平行不用看；
已知面与面平行，线面平行是必然；
若与三面都相交，则得两条平行线．
典型例题
考点1　直线与平面平行的判定
【例1】在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D.
【证明】：(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，
易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1.
又因为在平面BCC1B1中，BM=FC1，BM//FC1,
所以四边形BMC1F为平行四边形，
所以MC1∥BF，所以BF∥HD1.
(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE∥DC且，
又D1G∥DC且，所以OE//D1G，OE=D1G，
所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O.
又D1O 平面BB1D1D，GE 平面BB1D1D，
所以EG∥平面BB1D1D.
考点2　直线与平面平行的性质
【例2】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：AP∥GH.
【证明】：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，
又M是PC的中点，所以AP∥MO.
又平面BMD，AP平面BMD，所以AP∥平面BMD.
因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，且平面PAHG，
所以AP∥GH.
【例3】已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．
【证明】：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，
因为∥平面，，∥平面，
所以∥，∥，所以∥，
又因为平面，平面，所以∥平面，
又平面，平面∩平面=，
所以∥，又因为∥，所以∥．
【总结升华】
证明线线平行的问题，往往可以先证线面平行，由线面平行得出线线平行，这是立体几何中证明线线平行最常用的方法之一．而解决线面平行的判定时其顺序恰好相反．
考点3　平面与平面平行的判定与性质
【例4】如图，在四棱锥P ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
【证明】：(1)连接EC，
因为AD∥BC，BC＝AD，E为AD中点，所以BC//AE，BC=AE
所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．
又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，
因为FO 平面BEF，AP 平面BEF，所以AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，
因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，因为FH 平面PAD，PD 平面PAD，所以FH∥平面PAD.
又因为O是BE的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，因为OH 平面PAD，AD 平面PAD.所以OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.
又因为GH 平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
【总结升华】
证明两直线平行的方法：中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式等．若线面平行不易证明，可先证面面平行，再证线面平行．
【例5】如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，
又B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
所以EF∥BC，因为EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.
又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，
所以A1G//EB，A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.
因为A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.
又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.
【总结升华】
证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行，即线线平行线面平行面面平行，在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．
考点4 平行平面间距离的求法
【例6】已知正三棱柱A1B1C1—ABC，E、E1分别是AC、A1C1的中点．
（1）求证：平面AB1E1∥平面BEC1；
（2）当该棱柱各棱长都为a时，求（1）中两个平行平面间的距离．
【解析】：（1）由于AE//E1C1，AE=E1C1,因此四边形AE1C1E是平行四边形，则AE1∥EC1，则AE1∥平面BEC1．同理，B1E1∥平面BEC1．由两平面平行的判定定理得，平面AB1E1∥平面BEC1．
（2）设平行平面AB1E1与平面BEC1间的距离等于d，则点A到平面BEC1的距离等于d，由等积法得，即．
易知∠AEB=90°，∠BEC1=90°．
则，
，则．
故（1）中两个平行平面间的距离等于．
【总结升华】
若两个平面平行，则一个平面内任一点到另一个平面的距离即为这两个平行平面间的距离．类似地，若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离．因此，面面距离、线面距离最终转化为点到平面的距离，而求点到平面的距离多用等体积方法（如本例中利用VA—BEC1=VC1—ABE）求距离．
巩固练习
1．已知互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是(　　)
A．若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β
B．若α∥β，l α，m β，则l∥m
C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，α∩γ＝n，l∥γ，则m∥n
D．若α∩γ，β⊥γ，则α∥β
2．已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　)
A．l α，m β，α∥β B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m
C．l∥α，m α D．l α，α∩β＝m
3.(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)
4．（2017 北京）在正方体ABCD—中，E，F，G分别是，，的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面；②EF∥平面；
③FG∥平面；④平面EFG∥平面
其中推断正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为(　)
A．AC⊥BD
B．AC＝BD
C．AC∥截面PQMN
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
6．如图，AB∥平面α∥平面β，过点A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(　　)
A.　　　　　B. C. D．
7．(2019·泰安模拟)如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是(　　)
8．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是 ．
9．棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，
则截面的面积是 .
10．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 ．
11．在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件 时，有平面D1BQ∥平面PAO.
12．在正四棱柱中，分别为棱的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件 时，有平面。
13．在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列结论正确的是 (填序号)．
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.
14．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确的命题是 ．
15．平面∥平面，A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD相交于P，已知AP=8，BP=9，CP=16，则CD=________．
16．(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.
17.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB，G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.
18．如图，在三棱柱ABC—中，⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段和AC上，，AC=BC==4，试探究满足EF∥平面的点F的位置，并给出证明．
19．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
（1）求证：平面MNG∥平面ACD；
（2）求S△MNG∶S△ADC．
20．三棱柱，D是BC上一点，且∥平面，是的中点．
求证：平面∥平面．
21.如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.
证明：FG∥平面AA1B1B.
答案与解析
1.【解析】：对于A，α与β也可能相交，故排除A.对于B，l与m也可能是异面直线，故排除B.对于D，α与β也可能相交，故排除D.综上知，故选C.
2.【解析】：选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交，故选B.
3.【解析】： B选项中，AB∥MQ，且AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB 平面MNQ，NQ 平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.
4.【解析】：因为在正方体ABCD—中，E，F，G分别是，，的中点，
所以FG∥，因为∥，所以FG∥，
因为FG平面，平面，所以FG∥平面，故①正确；
因为EF∥，与平面相交，所以EF与平面相交，故②错误；
因为E，F，G分别是，，的中点，
所以FG∥，因为FG平面，平面，所以FG∥平面，故③正确；
因为EF与平面相交，所以平面EFG与平面相交，故④错误．故选A．
5.【解析】：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，则PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；
由BD∥PN，所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；
由上面可知：BD∥PN，MN∥AC.所以＝，＝，而AN≠DN，PN＝MN，
所以BD≠AC.B错误．故选B.
6.【解析】：由AB∥α∥β，易证 ＝.即＝，所以BD＝＝＝.故选C.
7.【解析】：由题意可知经过P、Q、R三点的平面为图中正六边形PQEFRG，点N与点E重合，故排除B、C，又MC1与QE是相交直线，故排除A，因此选D.
8.【解析】：如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，
则EF是△BDD1的中位线，所以EF∥BD1，
又EF 平面ACE，BD1 平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
9.【解析】：如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，
所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.
10.【解析】：因为平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．
11.【解析】：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，
因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，PO 平面PAO，PA 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案：Q为CC1的中点
12.【解析】：点在线段上
13.【解析】：如图，因为AB//C1D1，AB=C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形．
故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，
又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；
由图易知AD1与DC1异面，故③错误；
因为AD1∥BC1，AD1 平面BDC1，BC1 平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．故答案为①②④
14.【解析】：由题图，显然①是正确的，②是错误的；
对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1 平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．
所以③是正确的；
对于④，因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.
所以BE·BF＝(定值)，即④是正确的．故答案为①③④
15.【解析】：因为平面，A，C∈，点B，D∈，直线AB与CD交于点P，
所以AB，CD共面，且AC∥BD，
①若点P在平面，的外部，所以，
因为AP=8，BP=9，CP=16，所以，解得PD=18，
所以CD=PD－PC=18－16=2．
②点P在平面，的之间，
则，即，解得PD=18，则CD=CP+PD=18+16=34，
故答案为：2或34．
16.【证明】：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.
又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1//DC，A1B1=DC,可得B1C//A1D，故ME=ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.
又MN 平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
17.【证明】：取FC的中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC.又EF∥DB，所以GI∥BD，
又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH 平面GHI，所以GH∥平面ABC.
18.【解析】：当AF=3FC时，EF∥平面．
证明如下：在平面内过E作EG∥交于G，连接AG．
因为 ，所以，
又AF∥且，所以AF∥EG且AF=EG，
所以四边形AFEG为平行四边形，所以EF∥GA，
又因为EF面，AG平面，所以EF∥平面．
19.【解析】：（1）证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
因为M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有，且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连接PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF包含于平面ACD，MN平面ACD，所以MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，所以平面MNG∥平面ACD．
（2）由（1）可知，所以 ．
又，所以 ．
同理，．
所以△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
所以S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
20.【证明】：连接交于点E，
因为四边形是平行四边形，所以E是的中点，连接ED，
因为 ∥平面，ED包含于平面，所以 与ED没有交点，
又因为ED包含于平面，包含于平面，所以ED∥．
因为E是的中点，所以D是BC的中点．
又因为是的中点，所以，，
所以 ∥平面，∥平面．
又，所以平面∥平面．
21.【证明】：在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1 平面BB1D，CC1 平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D.
又CC1 平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.
而BB1 平面AA1B1B，FG 平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B.
1