1.2.1角的概念推广1.2.2象限角及其表示 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
1.2.1　角的概念推广
1.2.2　象限角及其表示
课标阐释
1.理解正角、负角和零角的概念.(数学抽象)
2.掌握象限角的特征及其表示方法.(数学抽象)
3.理解终边相同的角的概念,会表示终边相同的角的集合.(逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
当钟表慢了或快了时,我们会将分针按某个方向转动,把时间调整准确.在调整的过程中,你能分析出分针转动的角度有什么不同吗 在体操或跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作,做上述动作时,你知道运动员转体多少度吗
激趣诱思
知识点拨
一、角的概念推广
1.角的概念
平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边.
激趣诱思
知识点拨
2.角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:
名师点析1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记成“α”.
2.角的范围由0°~360°推广到任意角后,角的加减运算就类似于实数的加减运算.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
用任意角表示下列各角:
(1)顺时针拧螺丝1圈转过的角为　　　　;
(2)将时钟拨慢2 h,分针转过的角为　　　　.
答案(1)-360°　(2)720°
微练习2
下列说法正确的是(　　)
A.最大角是180° B.最大角是360°
C.角不可以是负的 D.角可以任意大小
解析由角的定义,角可以是任意大小的.故选D.
答案D
激趣诱思
知识点拨
二、象限角
在平面直角坐标系中研究角时,角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
名师点析1.在角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合的前提下,才能对象限角进行定义,否则不能判断角的终边在哪一个象限,也就不能称作象限角.
2.若角的终边落在坐标轴上,则这个角不属于任何象限.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列各角是第三象限角的是(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.15° B.105°
C.215° D.315°
解析因为215°=180°+35°,所以215°是第三象限的角.故选C.
答案C
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三、终边相同的角
一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
名师点析理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下几点:
(1)式中角α为任意角;
(2)k∈Z这一条件必不可少;
(3)k·360°与α之间是“+”,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),即与-30°角终边相同;
(4)当α与β的终边相同时,α-β=k·360°(k∈Z),反之亦然.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
60°,-660°,-300°,420°,780°的角的终边有什么关系
提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°,
420°=60°+360°,780°=60°+2×360°.
微思考2
如何表示与60°终边相同的角的集合
提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
60°,-660°,-300°,420°,780°的角的终边有什么关系
提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°,
420°=60°+360°,780°=60°+2×360°.
微思考2
如何表示与60°终边相同的角的集合
提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟 概念辨析问题的求解方略
对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,二是利用定义直接判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基本概念才能作出正确的判断.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1一个角为30°,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少 按顺时针方向旋转三周后又是多少
解终边按逆时针方向旋转三周,转过的角度为360°×3=1 080°,所以按逆时针旋转后的角度数是1 110°.同理按顺时针方向旋转三周后的角度是-3×360°+30°=-1 050°.
探究一
探究二
探究三
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终边相同的角
例2写出与75°角终边相同的角的集合S,并把S中适合360°≤β<1 080°的元素β写出来.
解与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=75°+k·360°,k∈Z}.
当360°≤β<1 080°时,
即360°≤75°+k·360°<1 080°,
又k∈Z,所以k=1,或k=2.
当k=1时,β=435°;
当k=2时,β=795°.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 终边相同的角的求解方法
求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定整数k的值,求出满足条件的角.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2与-2 020°角终边相同的最小正角是　　　　　.
解析因为-2 020°=140°-6×360°,
所以与-2 020°终边相同的最小正角是140°.
答案140°
探究一
探究二
探究三
当堂检测
象限角
例3(1)分别判断角α=-130°和β=-940°是第几象限角.
(2)若角α是第二象限角,试判断180°-α及2α是第几象限角.
解(1)由于α=-130°=-360°+230°,即α角与230°角终边相同,而230°是第三象限角,故α是第三象限角.
由于β=-940°=-3×360°+140°,即β角与140°角终边相同,而140°是第二象限角,故β是第二象限角.
(2)由α是第二象限角可得,90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),
所以180°-(180°+k·360°)<180°-α<180°-(90°+k·360°)(k∈Z),
即-k·360°<180°-α<90°-k·360°(k∈Z).
所以180°-α为第一象限角.
同理,180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),
所以角2α可能是第三、第四象限角或者终边落在y轴的非正半轴上.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟 象限角的判定
1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的表示方法,找到在[0°,360°)内与之终边相同的角,再确定其象限.
2.已知角的终边所在的象限,求待求角的终边所在的位置时,通常首先根据所给已知角的范围,得到待求角的范围,然后判断待求角终边所在的位置.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角:
(1)-120°;(2)660°;(3)-950°08'.
解(1)因为-120°=240°-360°,所以在0°~360°范围内,与-120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限角.
(2)因为660°=300°+360°,所以在0°~360°范围内,与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限角.
(3)因为-950°08'=129°52'-3×360°,所以在0°~360°范围内,
与-950°08'终边相同的角是129°52',它是第二象限角.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.(2020山东淄博高一期中)-215°是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析因为-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角,
所以-215°是第二象限角,故选B.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.集合M={α|α=k·90°,k∈Z}中各角的终边都在(　　)
A.x轴非负半轴上
B.y轴非负半轴上
C.x轴或y轴上
D.x轴非负半轴或y轴非负半轴上
解析当k=4n(n∈Z)时,α=n·360°;当k=4n+1(n∈Z)时,α=90°+n·360°;当k=4n+2(n∈Z)时,α=180°+n·360°;当k=4n+3(n∈Z)时,α=270°+n·360°.因此,集合M中各角的终边都在x轴或y轴上.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.时间过了3小时20分,则钟表的分针所转过的角的度数为　　　　,时针所转过的角的度数为　　　　.
答案-1 200°　-100°
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.已知角α的终边落在图中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则角α的集合是　 .
解析在0°~360°范围内,阴影部分的边界射线所表示的角分别是45°和150°,因此,所求α的范围是45°+k·360°<α<150°+k·360°(k∈Z).
答案{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}