1.5.1正弦函数的图象与性质再认识 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
1.5.1　正弦函数的图象与性质再认识
课标阐释
1.会用五点法画正弦函数的图象.(数学抽象)
2.能够根据正弦函数的图象求满足条件的角的范围.(数学运算)
3.能结合正弦函数的图象理解正弦函数的性质.(数学运算)
4.会求正弦函数的定义域、值域、最值.(数学运算)
5.会求正弦函数的单调区间,根据单调性能比较大小.(逻辑推理)
6.会判断有关函数的奇偶性.(逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
公元5世纪到12世纪,印度数学家对三角学做出了较大的贡献.尽管当时三角学仍然是天文学的一个计算工具,但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而得到大大的丰富.三角学中“正弦”的概念是由印度数学家首先引进的.当我们遇到一个新函数时,它总具有许多基本性质,要直观、全面了解基本特性,自然是从它的图象入手,画出它的图象,观察图象的形状,看它的特殊点,并借助它的图象研究它的性质,如值域、单调性、奇偶性、最值等.今天我们就来一起学习正弦函数的图象和性质.
激趣诱思
知识点拨
一、正弦函数的图象
1.正弦函数图象的作法
(1)几何法:利用单位圆中的正弦线作出.
2.正弦函数的图象
正弦函数y=sin x(x∈R)的图象称作正弦曲线,如图所示.
激趣诱思
知识点拨
名师点析“五点法”中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.“五点法”只是画出y=sin x在区间[0,2π]上的图象,若x∈R,可将正弦函数在区间[0,2π]上的图象,再通过左右平移,每次平移2π个单位长度,得到y=sin x,x∈R的图象.这是作正弦函数以及下一节余弦函数图象最常用的方法.
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微练习
用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图象时,最高点的横坐标与最低点的横坐标的差为(　　)
答案A
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)第一象限内的角越大,其正弦曲线越长.(　　)
(2)正弦函数的图象向左、右两边无限延伸.(　　)
(3)正弦函数是定义域上的增函数.(　　)
答案(1)×　(2)√　(3)×
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知识点拨
二、正弦函数y=sin x的性质
激趣诱思
知识点拨
性质 y=sin x
周期性 最小正周期是2π
最值
对称轴
对称中心 (kπ,0)(k∈Z)
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微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)y=|sin x|,x∈R与y=sin|x|,x∈R均是周期函数,且周期为π.(　　)
(2)对于函数y=msin x+n(m≠0),当且仅当sin x=1时,取最大值ymax=m+n;当且仅当sin x=-1时,取最小值ymin=-m+n.(　　)
(3)在锐角范围内,角越大,其正弦函数值越大.(　　)
(4)对于正弦函数,相邻两个零点的距离大小恰好为该函数的周期.
(　　)
答案(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
2.正弦曲线是中心对称图形,其对称中心坐标为(kπ,0)(k∈Z),即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴方程是x=kπ+ (k∈Z),对称轴垂直于x轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.
3.判断正弦函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数y=2-sin x的最大值及取最大值时的x的值为(　　)
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
用五点法作正弦函数图象
例1利用“五点法”画出函数y=-2+sin x,x∈[0,2π]的图象.
解列表:
描点,并用光滑的曲线连接起来,得函数y=-2+sin x,x∈[0,2π]的图象如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟 通过解决本题可归纳出用五点法画函数y=Asin x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤
(1)列表:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
变式训练1作出函数y=-2sin x(0≤x≤2π)的图象.
解列表:
描点,并用光滑的曲线连接起来,如图.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
根据正弦函数的图象求角的范围
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟 利用正弦函数的图象求解sin x≥a(≤a)的步骤
(1)作出正弦函数在区间[0,2π]上的图象;(2)作直线y=a与函数图象相交;(3)在区间[0,2π]上确定x的取值范围;(4)根据正弦函数周期性确定最终范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
利用正弦函数图象判断方程根的个数
例3判断方程sin x=lg x根的个数.
解画出函数y=sin x和y=lg x的图象,如图所示.由图象可知两图象有3个交点,因此,原方程有3个实数根.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟 与正弦函数相关方程根的个数问题探究
1.关于方程根的个数问题,往往运用数形结合的方法,将函数根的个数问题转化为函数图象的交点的个数问题.
2.正弦曲线上最高点的纵坐标都是1,最低点的纵坐标都是-1,在作图时要注意这种有界性.
3.在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经过的某些关键点是否包含.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
求与正弦函数有关的定义域问题
例4求下列函数的定义域:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟 函数解析式有意义的一般准则
(1)分式中的分母不为0;
(2)偶次根式的被开方数非负;
(3)y=x0要求x≠0;
(4)对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1;
(5)实际问题中除考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
与正弦函数周期性、奇偶性有关的问题
A.周期为2π的奇函数
B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数
D.周期为π的偶函数
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究六
当堂检测
反思感悟 求正弦函数周期和判断奇偶性的方法
(1)求正弦函数周期的方法
①定义法:利用周期函数的定义求解.
②图象法:通过观察函数图象求其周期.
(2)判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究六
当堂检测
变式训练5若函数y=2sin x+a-1是R上的奇函数,则a的值为(　　)
A.-1 B.1 C.0 D.2
解析依题意f(0)=0,即a-1=0,故a=1.
答案B
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
求与正弦函数有关的值域与最值问题
例6(1)求函数y=3-2sin x的最大值和最小值,并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x的集合.
(2)求函数y=-2sin2x+5sin x-2的值域.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟 求正弦函数值域或最值的常用方法
1.一般函数的值域求法有观察法、配方法、判别式法等,而正弦函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合正弦函数本身的性质.
2.形如y=a+bsin x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b.
3.形如y=Asin2x+Bsin x+C(A≠0)的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
A.R B.{x|x≠kπ,k∈Z}
C.[-1,0)∪(0,1] D.{x|x≠0}
解析要使函数有意义,应有sin x≠0,因此,x≠kπ(k∈Z).故定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
答案B
探究一
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探究五
探究六
当堂检测
答案C
探究一
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探究四
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探究六
当堂检测
3.函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为　　　　　.
解析因为f(a)=a3+sin a+1=2,所以a3+sin a=1.
所以f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-(a3+sin a)+1=-1+1=0.
答案0
答案2