1.5.2余弦函数的图象与性质再认识 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
1.5.2　余弦函数的图象与性质再认识
课标阐释
1.会用五点法画出余弦函数的图象.(数学抽象)
2.能够根据余弦函数的图象求满足条件的角的范围.(数学运算)
3.能结合余弦函数的图象理解余弦函数的性质.(数学运算)
4.会求余弦函数的定义域、值域、最值.(数学运算)
5.会求余弦函数的单调区间,根据单调性能比较大小.(逻辑推理)
6.会判断有关函数的奇偶性.(逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,根据有关数据描出曲线,经拟合,该曲线可近似地看作函数y=cos t的图象.你能类比正弦函数的性质,总结出余弦函数的相关性质吗
激趣诱思
知识点拨
一、余弦函数的图象
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√
激趣诱思
知识点拨
二、余弦函数y=cos x的性质
性质 y=cos x
定义域 R
值域 [-1,1]
奇偶性 偶函数
单调性 当x∈[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)时,函数单调递增;
当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,函数单调递减
周期性 最小正周期是2π
最值 当x=2kπ(k∈Z)时,y的最大值为1;
当x=(2k+1)π(k∈Z)时,y的最小值为-1
对称轴 x=kπ(k∈Z)
对称中心
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.余弦函数有单调区间,但都不是定义域上的单调函数,即余弦函数在整个定义域内不单调.
2.余弦函数图象的对称轴一定过余弦函数图象的最高点或最低点,即此时的余弦值取最大值或最小值.
3.利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再比较大小.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
函数y=-3cos x的一条对称轴方程是(　　)
答案D
激趣诱思
知识点拨
微练习2
A.值域是[-1,0] B.是奇函数
C.最小正周期是2π D.在区间[0,π]上单调递减
答案C
激趣诱思
知识点拨
微练习3
使y=sin x和y=cos x均为减函数的一个区间是(　　)
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
用五点法作余弦函数的图象
例1画函数y=2cos x+3,x∈[0,2π]的图象.
解(1)列表:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.
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探究一
探究二
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探究六
反思感悟 用五点法画函数y=Acos x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤
(1)列表:
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
变式训练1作出函数y=-cos x+1,x∈[0,2π]的图象.
解(1)列表:
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.
当堂检测
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根据余弦函数的图象求角的范围
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反思感悟 用余弦函数图象解不等式的步骤
(1)作出余弦函数在区间[0,2π]上的图象;
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;
(3)根据余弦函数周期确定取值范围.
当堂检测
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变式训练2满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的取值范围为　　　　.
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利用余弦函数图象判断方程根的个数
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反思感悟 与余弦函数图象有关的根的个数问题的处理策略
判断f(x)-Acos x=0(A≠0)的根的个数时,运用数形结合的方法,转化为函数图象交点的个数.由于余弦函数的图象都是介于y=-1与y=1之间,只需考虑-A≤f(x)≤A的x的范围,在该范围内f(x)的图象与Acos x的图象的交点的个数即方程根的个数.
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变式训练3方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内的所有根的和为(　　)
A.2 B.1 C.0 D.-1
解析如图所示,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=|x|与g(x)=cos x的图象,易知两个函数的图象在(-∞,+∞)内只有两个交点,即原方程有两个根,且两根互为相反数,故和为0.选C.
答案C
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求与余弦函数有关的定义域问题
例4(1)已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cos x)的定义域;
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反思感悟 利用余弦函数图象处理函数的定义域问题
一些函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到,但同时要注意区间端点的取舍.
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与余弦函数有关的奇偶性、对称性问题
例5判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos x;
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反思感悟 判断与余弦函数有关函数奇偶性的处理方法
1.判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
2.判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时,需注意诱导公式的合理利用.
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变式训练5函数y=-xcos x的部分图象是下图中的(　　)
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反思感悟 求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
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A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
答案A
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2.函数y=cos x-2在x∈[-π,π]上的图象是(　　)
解析把y=cos x,x∈[-π,π]的图象向下平移2个单位长度即可.
答案A
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答案B
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当堂检测
4.函数y=x2-cos x的零点个数为　　　　　.
解析在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示.则两个函数图象有2个交点,所以函数y=x2-cos x的零点有2个.
答案2