6.2.3组合6.2.4数组数 课件（共24张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.2.3组合6.2.4数组数 课件（共24张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-25 21:07:53 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
1.理解组合的概念,掌握组合数公式及组合数性质.
2.正确认识组合与排列的区别与联系.
3.能应用组合数公式解决一些简单的实际问题.
第六章 计数原理
1 |组合与组合数
1.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为① 一组 ,叫做从n个不同元素
中取出m个元素的一个② 组合 .
2.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的③ 个数 ,叫做从n个
不同元素中取出m个元素的④ 组合数 ,用符号⑤ 表示.
第六章 计数原理
2 |组合数公式与性质
1.组合数公式: =⑥ =⑦ =⑧ (n,m
∈N*,m≤n).
2.规定: =⑨ 1 .
3.组合数性质: =⑩ ;
= + .
第六章 计数原理
3 |应用组合知识解决实际问题的四个步骤
1.判断:判断实际问题是不是组合问题.
2.方法:选择用直接法还是间接法解题.
3.计算:利用组合数公式并结合两个计数原理计算.
4.结论:根据计算结果写出方案个数.
第六章 计数原理
1.从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是 . ( )
从三个不同元素中任取两个元素的组合数为 .
2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得 个积. ( √ )
3. =5×4×3=60. ( )
= =10.
4. = =2 020. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
5.从a,b,c,d中选取2个合成一组,其中a,b与b,a是同一个组合. ( √ )
6.组合和排列一样,都与“顺序”有关. ( )
排列要考虑元素之间的顺序,组合则与顺序无关.
第六章 计数原理
1 |组合数的运算与性质
组合数公式的主要适用范围
形式 主要适用范围
乘积式 =
含具体数字的组合数的求值
阶乘式 = 含字母的组合数的有关变形及证明
第六章 计数原理
组合数的性质及其应用
(1)性质“ = ”的意义及作用:
(2)性质“ = + ”的顺用,逆用,变形应用:
顺用是将一个组合数拆成两个;逆用是“合二为一”;变形是 = - 的使用,为
某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用.
第六章 计数原理
(1)式子 (n∈N*)可表示为( )
A. B.
C.101 D.101
(2)求值: + ;
(3)证明: = .
第六章 计数原理
解析 (1)分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的乘积,最大的为n+100,最小
的为n,故 =101· =101 .
(2)由组合数的概念知
所以4≤n≤5.又因为n∈N*,
所以n=4或n=5.
当n=4时, + = + =5;
当n=5时, + = + =16.
(3)证明: = · = = .
答案 (1)D
第六章 计数原理
(1)计算 + + +…+ 的值为 ( )
A. B.
C. -1 D. -1
(2)解方程3 =5 ;
(3)解不等式 > .
解析 (1) + + +…+ = + + +…+ - = + +…+ -1=…=
+ -1= -1.
(2)由排列数和组合数公式,知原方程可化为
3· =5· ,
则 = ,
第六章 计数原理
即(x-3)(x-6)=40,
解得x=11或x=-2.
易知x≥7,则x=11.
(3)由 > 得 ,
又n∈N*,所以该不等式的解集为{6,7,8,9}.
答案 (1)C
方法总结 与排列、组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式以
及组合数的性质,涉及具体数字的可以直接用公式计算;涉及字母的多选用阶乘式
计算;计算时应注意利用组合数的性质 = 简化运算.另外要注意 中m、n的
范围,因此求解后要验证所得结果是否符合题意.
第六章 计数原理
2 |分组与分配问题
分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同,就是不可区
分的,而后者即使两组元素个数相同,但因元素不同,仍然是可区分的.
1.分组问题的求解策略
常见形式 处理方法
非均匀不 编号分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素数目均
不相同,且不考虑各组间的顺序,不管是否分尽,
分法种数N= · · ·…·
第六章 计数原理
均匀不编 号分组 将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组
元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为
(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).如果
再有k组均匀分组,则应再除以
非均匀编 号分组 将n个不同元素分成m组,各组元素数目均不相等,
且考虑各组间的顺序,其分法种数为N·
均匀编号 分组 将n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同
且考虑各组间的顺序,其分法种数为 ·
第六章 计数原理
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的
空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对
应着小球放入盒子的一种方法,此方法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分
配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有 种方法.可理解为(n-1)个空
中插入(m-1)块板.
第六章 计数原理
按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的方法
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)分成三份,每份2本;
(4)分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.
第六章 计数原理
解析 (1)先从6本书中选择1本,有 种方法,
再从剩余5本书中选择2本,有 种方法,
还剩3本书全选,有 种方法,
所以总共有 =60种方法.
(2)在(1)的基础上进行分配即可,所以有 =360种方法.
(3)从6本书中选择2本书,有 种方法,
再从剩余4本书中选择2本书,有 种方法,
还剩2本书全选,有 种方法,
所以共有 =90种方法.
但是,这些方法中有重复.假如6本书分别为A、B、C、D、E、F,若三个步骤分别选
出的是AB,CD,EF,则根据顺序的不同,所有情况为(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB,
EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),但这只能算一种方法.
第六章 计数原理
所以不同的方法共有 =15种.
(4)在(3)的基础上进行分配,则分配方法共有 × =90种.
(5)从6本书中选择4本书的方法有 种,从剩余2本书中选择1本书的方法有 种,
因为在最后两本书的选择中发生了重复,所以分配方法共有 =15种.
(6)在(5)的基础上进行分配即可,即有 × =90种方法.
方法总结 不同元素的分配问题往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:
①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.注意各种分组类型中不同分组方式的
解法.
第六章 计数原理
把10个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数
不小于盒子的编号数,则不同的方法共有 种.
解析 首先在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,
则问题变为求把7个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少
放一个球的不同方法的种数,由隔板法可知共有 =15种方法.
答案 15
第六章 计数原理
3 |排列、组合的综合应用问题
春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式祈福避祸,而现
代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式表达对新年的美好祝愿.某商家
在春节前开展商品促销活动,凡购物金额满50元的顾客,均可以从“福”字、春联
和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件.
第六章 计数原理
1.若有4名顾客都领取一件礼品,一共有多少种领取方式
提示:有4名顾客都领取一件礼品,一共有34=81种领取方式.
2.若这4名顾客都领取了一件礼品,他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率
应如何计算
提示:他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同有 =36种领取方式,则他们中有
且仅有2人领取的礼品种类相同的概率P= = .
第六章 计数原理
正确区分“有序”与“无序”
区分排列与组合的重要标志是“有序”和“无序”,无序的问题用组合的知识解
答,有序的问题用排列的知识解答.
辩证看待“元素”与“位置”
排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准,哪些事件看成元素或位置,
随解题者的思维方式的变化而变化,要视具体情况而定.有时“元素选位置”解决
问题更简捷,有时“位置选元素”效果会更好.
第六章 计数原理
如图,一个正方形花圃被分成5份.
(1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、
绿4种颜色的花,问有多少种不同的种植方法
(2)若在这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的
放法
第六章 计数原理
解析 (1)先对A部分种植,有4种不同的种植方法;再对B部分种植,有3种不同的种
植方法;对C部分种植,进行分类:
①若C与B的颜色相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3
×1×2×2=48种不同的种植方法;
②若C与B的颜色不同,则C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种
不同的种植方法,共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法.
综上,共有48+48=96种不同的种植方法.
(2)将7个盆栽分成5组,有2种分法:
①分成2、2、1、1、1,有 种分法;
②分成3、1、1、1、1,有 种分法,
第六章 计数原理
将分好的5组全排列,对应5个部分,
则一共有 × =16 800种放法.
方法总结 解排列、组合问题要遵循两个原则:①按元素(或位置)的性质进行分
类;②按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常以元素(或位置)
为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).
第六章 计数原理
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
1.理解组合的概念,掌握组合数公式及组合数性质.
2.正确认识组合与排列的区别与联系.
3.能应用组合数公式解决一些简单的实际问题.
第六章 计数原理
1 |组合与组合数
1.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为① 一组 ,叫做从n个不同元素
中取出m个元素的一个② 组合 .
2.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的③ 个数 ,叫做从n个
不同元素中取出m个元素的④ 组合数 ,用符号⑤ 表示.
第六章 计数原理
2 |组合数公式与性质
1.组合数公式: =⑥ =⑦ =⑧ (n,m
∈N*,m≤n).
2.规定: =⑨ 1 .
3.组合数性质: =⑩ ;
= + .
第六章 计数原理
3 |应用组合知识解决实际问题的四个步骤
1.判断:判断实际问题是不是组合问题.
2.方法:选择用直接法还是间接法解题.
3.计算:利用组合数公式并结合两个计数原理计算.
4.结论:根据计算结果写出方案个数.
第六章 计数原理
1.从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是 . ( )
从三个不同元素中任取两个元素的组合数为 .
2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得 个积. ( √ )
3. =5×4×3=60. ( )
= =10.
4. = =2 020. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
5.从a,b,c,d中选取2个合成一组,其中a,b与b,a是同一个组合. ( √ )
6.组合和排列一样,都与“顺序”有关. ( )
排列要考虑元素之间的顺序,组合则与顺序无关.
第六章 计数原理
1 |组合数的运算与性质
组合数公式的主要适用范围
形式 主要适用范围
乘积式 =
含具体数字的组合数的求值
阶乘式 = 含字母的组合数的有关变形及证明
第六章 计数原理
组合数的性质及其应用
(1)性质“ = ”的意义及作用:
(2)性质“ = + ”的顺用,逆用,变形应用:
顺用是将一个组合数拆成两个;逆用是“合二为一”;变形是 = - 的使用,为
某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用.
第六章 计数原理
(1)式子 (n∈N*)可表示为( )
A. B.
C.101 D.101
(2)求值: + ;
(3)证明: = .
第六章 计数原理
解析 (1)分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的乘积,最大的为n+100,最小
的为n,故 =101· =101 .
(2)由组合数的概念知
所以4≤n≤5.又因为n∈N*,
所以n=4或n=5.
当n=4时, + = + =5;
当n=5时, + = + =16.
(3)证明: = · = = .
答案 (1)D
第六章 计数原理
(1)计算 + + +…+ 的值为 ( )
A. B.
C. -1 D. -1
(2)解方程3 =5 ;
(3)解不等式 > .
解析 (1) + + +…+ = + + +…+ - = + +…+ -1=…=
+ -1= -1.
(2)由排列数和组合数公式,知原方程可化为
3· =5· ,
则 = ,
第六章 计数原理
即(x-3)(x-6)=40,
解得x=11或x=-2.
易知x≥7,则x=11.
(3)由 > 得 ,
又n∈N*,所以该不等式的解集为{6,7,8,9}.
答案 (1)C
方法总结 与排列、组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式以
及组合数的性质,涉及具体数字的可以直接用公式计算;涉及字母的多选用阶乘式
计算;计算时应注意利用组合数的性质 = 简化运算.另外要注意 中m、n的
范围,因此求解后要验证所得结果是否符合题意.
第六章 计数原理
2 |分组与分配问题
分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同,就是不可区
分的,而后者即使两组元素个数相同,但因元素不同,仍然是可区分的.
1.分组问题的求解策略
常见形式 处理方法
非均匀不 编号分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素数目均
不相同,且不考虑各组间的顺序,不管是否分尽,
分法种数N= · · ·…·
第六章 计数原理
均匀不编 号分组 将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组
元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为
(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).如果
再有k组均匀分组,则应再除以
非均匀编 号分组 将n个不同元素分成m组,各组元素数目均不相等,
且考虑各组间的顺序,其分法种数为N·
均匀编号 分组 将n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同
且考虑各组间的顺序,其分法种数为 ·
第六章 计数原理
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的
空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对
应着小球放入盒子的一种方法,此方法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分
配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有 种方法.可理解为(n-1)个空
中插入(m-1)块板.
第六章 计数原理
按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的方法
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)分成三份,每份2本;
(4)分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.
第六章 计数原理
解析 (1)先从6本书中选择1本,有 种方法,
再从剩余5本书中选择2本,有 种方法,
还剩3本书全选,有 种方法,
所以总共有 =60种方法.
(2)在(1)的基础上进行分配即可,所以有 =360种方法.
(3)从6本书中选择2本书,有 种方法,
再从剩余4本书中选择2本书,有 种方法,
还剩2本书全选,有 种方法,
所以共有 =90种方法.
但是,这些方法中有重复.假如6本书分别为A、B、C、D、E、F,若三个步骤分别选
出的是AB,CD,EF,则根据顺序的不同,所有情况为(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB,
EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),但这只能算一种方法.
第六章 计数原理
所以不同的方法共有 =15种.
(4)在(3)的基础上进行分配,则分配方法共有 × =90种.
(5)从6本书中选择4本书的方法有 种,从剩余2本书中选择1本书的方法有 种,
因为在最后两本书的选择中发生了重复,所以分配方法共有 =15种.
(6)在(5)的基础上进行分配即可,即有 × =90种方法.
方法总结 不同元素的分配问题往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:
①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.注意各种分组类型中不同分组方式的
解法.
第六章 计数原理
把10个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数
不小于盒子的编号数,则不同的方法共有 种.
解析 首先在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,
则问题变为求把7个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少
放一个球的不同方法的种数,由隔板法可知共有 =15种方法.
答案 15
第六章 计数原理
3 |排列、组合的综合应用问题
春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式祈福避祸,而现
代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式表达对新年的美好祝愿.某商家
在春节前开展商品促销活动,凡购物金额满50元的顾客,均可以从“福”字、春联
和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件.
第六章 计数原理
1.若有4名顾客都领取一件礼品,一共有多少种领取方式
提示:有4名顾客都领取一件礼品,一共有34=81种领取方式.
2.若这4名顾客都领取了一件礼品,他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率
应如何计算
提示:他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同有 =36种领取方式,则他们中有
且仅有2人领取的礼品种类相同的概率P= = .
第六章 计数原理
正确区分“有序”与“无序”
区分排列与组合的重要标志是“有序”和“无序”,无序的问题用组合的知识解
答,有序的问题用排列的知识解答.
辩证看待“元素”与“位置”
排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准,哪些事件看成元素或位置,
随解题者的思维方式的变化而变化,要视具体情况而定.有时“元素选位置”解决
问题更简捷,有时“位置选元素”效果会更好.
第六章 计数原理
如图,一个正方形花圃被分成5份.
(1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、
绿4种颜色的花,问有多少种不同的种植方法
(2)若在这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的
放法
第六章 计数原理
解析 (1)先对A部分种植,有4种不同的种植方法;再对B部分种植,有3种不同的种
植方法;对C部分种植,进行分类:
①若C与B的颜色相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3
×1×2×2=48种不同的种植方法;
②若C与B的颜色不同,则C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种
不同的种植方法,共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法.
综上,共有48+48=96种不同的种植方法.
(2)将7个盆栽分成5组,有2种分法:
①分成2、2、1、1、1,有 种分法;
②分成3、1、1、1、1,有 种分法,
第六章 计数原理
将分好的5组全排列,对应5个部分,
则一共有 × =16 800种放法.
方法总结 解排列、组合问题要遵循两个原则:①按元素(或位置)的性质进行分
类;②按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常以元素(或位置)
为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).
第六章 计数原理