6.3.1二项式定理 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
1.掌握二项式定理及其推导过程.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

6.3　二项式定理
6.3.1　二项式定理
第六章　计数原理
|二项式定理
概念 公式①　(a+b)n= an+ an-1b1+…+ an-kbk+…+
bn,n∈N*
叫做二项式定理
二项展开式 an+ b1+…+ an-kbk+…+ bn
二项式系数 展开式中各项的系数 (k=0,1,2,…,n)
通项 展开式的第② k+1 项:Tk+1= an-kbk
备注 在二项式定理中,若设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n
=③ + x+ x2+…+ xk+…+ xn
第六章　计数原理

1.(a+b)n的二项展开式中共有n项. ( 　)
2.在二项式定理中,交换a,b的顺序对各项没有影响. ( 　)
3. bk是(a+b)n展开式中的第k项. ( 　)
4.(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的各二项式系数相同. (　√　)
5.(x+2)n的展开式中的第3项的系数是 . ( 　)
(x+2)n展开式中的第3项的二项式系数是 ,系数是4 .
6. 的展开式中的常数项为15. (　√　)
的二项展开式的通项为Tk+1= (x2)6-k =(-1)k x12-3k(k=0,1,…,6).令12-3k=0,
得k=4,故常数项为(-1)4 =15.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第六章　计数原理
1 |二项展开式中的特定项(项的系数)
求(a+b)n二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项,Tk= an-k+1bk-1.
(2)求含ak的项(或含apbq的项).
(3)求常数项.
(4)求有理项.
(5)求整式项.
第六章　计数原理
求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项,一般是先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整
数.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据
数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项,其通项中同一字母的指数应是非负整数,求解方式
与求有理项一致.
第六章　计数原理

(2020河南南阳第一中学高三期中) 的展开式中,x4的系数为　　　 .
思路点拨
写出二项展开式的通项,令x的指数等于4,先求得k的值,再求出x4的系数.
解析 的展开式的通项为Tk+1= x7-k· = (k=0,1,…,7),
令7- k=4,解得k=2,
故x4的系数为 × = .
答案

第六章　计数原理

已知在 (n∈N*)的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求展开式中所有的有理项(只需说明第几项是有理项).
思路点拨
(1)利用第6项中x的指数为0求出n.(2)找出所有x的指数为整数的项,即为有理项.
解析 (1) 的二项展开式的通项为Tk+1= (-3)k = (-3)k (k=0,1,…,
n).
∵第6项为常数项,
第六章　计数原理
∴当k=5时,有 = =0,即n=10.
(2)根据二项展开式的通项Tk+1= (-3)k 及题意,得
令 =r(r∈Z),
则10-2k=3r,
即k=5- r.
∵k∈N且0≤k≤10,
∴r可取2,0,-2,
即k可取2,5,8.
故展开式中的第3项,第6项与第9项为有理项.
第六章　计数原理
2 |三项展开式问题
　　求三项式中特定项的方法:
(1)因式分解法:通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展
开.
(2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展
开.
(3)利用组合知识:把三项式看成几个一次项的积,利用组合知识分析项的构成,注意
最后把各个同类项合并.
第六章　计数原理

的展开式中的常数项为　　　 .(用数字作答)
解析 = + 5,且它的展开式的通项为Tk+1= · (k
=0,1,…,5), 的展开式的通项为Tr+1= x-r·x5-k-r·2-(5-k-r)= ·2k+r-5·x5-2r-k(0≤r≤5-k,
r∈N).
令5-2r-k=0,
则k+2r=5,可得k=1,r=2或k=3,r=1或k=5,r=0.
第六章　计数原理
当k=1,r=2时,所求常数项为 × ×2-2= ;
当k=3,r=1时,所求常数项为 ×2 ×2-1=20 ;
当k=5,r=0时,所求常数项为 ×4 =4 .
综上, 的展开式中的常数项为 +20 +4 = .
答案
第六章　计数原理
3 |赋值法求系数和问题
解决系数和问题的思维过程


第六章　计数原理
展开式中系数和的求法
“赋值法”是解决二项展开式中项的系数有关问题的常用的方法,根据题目要求,
灵活赋予字母不同的值.
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式中各项系数之
和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式中
各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系数
之和为f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+…= ;偶数项系数之和为a1+a3+a5
+…= .
第六章　计数原理

已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7.
(1)求a4的值;
(2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|的值;
(3)求a1+a3+a5+a7的值.
解析 (1)(3x-1)7的展开式的通项为Tr+1= (3x)7-r·(-1)r(r=0,1,…,7),
令7-r=3,得r=4,所以a4= ×33×(-1)4=945.
(2)设(3x+1)7=b0x7+b1x6+b2x5+b3x4+b4x3+b5x2+b6x+b7,
则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=b0+b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7,
令x=1,可得b0+b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7=(3×1+1)7=16 384,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|
+|a7|=16 384.
第六章　计数原理
(3)令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=27,
令x=-1,则-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=(-4)7,
则2(a1+a3+a5+a7)=27-47=27-214,
所以a1+a3+a5+a7=26-213=-8 128.
方法总结 赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方
法,根据所求,灵活地对字母赋值,通常赋的值为0,-1或1.
第六章　计数原理