4.4数学归纳法 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
4.4 数学归纳法
情境一
问 题
某人看到树上有几只乌鸦，
深有感触“天下乌鸦一般黑”。
你认为这样的说法可靠吗？为什么？
归纳法
归纳法分为 不完全归纳法 和 完全归纳法
考察部分对象，得到一般结论的推理方法
结论不一定可靠
由一系列特殊情况得出一般结论的推理方法
考察全体对象，得到一般结论的推理方法
结论一定可靠
已知数列
满足 ， ，
情境二
计算 ，猜想其通项公式并证明。
猜想
如何验证这个猜想呢？
问 题
通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立。
你相信一指之力就能推倒一座摩天大厦吗
探 究
能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
多米诺骨牌全部倒下的条件是：
①第一块骨牌必须倒下；
② 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
结论
实验一
实验二
小结：第一块骨牌倒下是所有骨牌倒下的基础和前提。
实验三
思 考
你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述？
条件（2）实际上是一个递推关系：
第k块骨牌倒下第k+1块骨牌倒下.
思 考
你认为前面的猜想“数列的通项公式是
与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？
回顾：
一般结构：
递推关系：
是否只要有了上述的递推关系，就能保证 ？
问题：
保证“对于每一个正整数n, ”的条件是：
①
② 递推关系：
结论
骨牌原理 证明 猜想的证明步骤
①第一块骨牌倒下
① 成立
①证明当n=1时，
猜想正确。
②证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”。
②证明“如果
，那么 ”。
②证明“如果n=k时猜想正确，那么n=k+1时，猜想也正确”。
根据①②，所有的骨牌都能倒下。
根据①②，
。
根据①②，猜想对于一切正整数n都成立。
【探究】已知数列 满足 ，
证明：
证：（1）当n=1时，由已知， ， ①式成立。
①
（2）假设当 时， ①式成立，即
根据递推公式 ，有
即当 时， ①式也成立。
由（1）（2）可知， ①式对任何 都成立。
由此，我们发现了一个证明与正整数n有关的命题方法，它可按如下两个步骤进行：
（1）证明当n取第一个值
时命题成立；
（2）假设
时命题成立，证明当
时命题也成立。
根据（1）和（2），可知命题对
都成立。
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按如下步骤进行：
（1）证明当n取第一个值
时命题成立；
（2）“以
时命题成立”为条件，推出“当
时命题也成立”。
根据（1）和（2），可知命题对从 开始的所有正整数都成立。
这种证明方法叫做数学归纳法。
归纳递推
归纳奠基
思 考
数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
相互依存，缺一不可
【例1】用数学归纳法证明：
如果是一个公差为d的等差数列，那么
对任何都成立。
证：（1）当n=1时，左边= ，右边= ，①式成立。
（2）假设当 时， ①式成立，即
根据等差数列的定义，有
即当 时， ①式也成立。
由（1）（2）可知， ①式对任何 都成立。
①
于是，
【练习1】
试判断 与 的大小。
解：当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
当n=4时，
猜测：
【练习1】
证明猜想
证明：（1）当n=2时， 猜想成立。
（2）假设当n=k时，猜想成立，即
那么
即当 时， 猜想也成立。
由（1）（2）可知， 猜想对任何 都成立。
【注】数学归纳法中的起始值不一定是1.
证明一个与正整数 有关的命题
（1）证明当
时命题成立
对所有正整数 命题都成立。
数学归纳法的结构
(2)假设当 时命题
成立,证明当 时命题也成立。
两个步骤 缺一不可
反思总结 纳入体系
勇攀高峰
数学思想:
归纳思想，递推思想，类比思想
数学方法：
数学归纳法：两步骤 一结论
数学知识:
无限递推转化为有限步验证
实现由量变到质变的飞跃
探究题
“秃子悖论”
情境：一个女孩有茂密的长发。
（1）当n=1,即拔掉第1根头发时，不秃。
（2）若n=k时命题成立，即当拔掉第k根头发时不秃，那么当n=k+1时，也不秃。
由（1）（2）可知，对拔掉任意n根头发，这个女孩都不会变成秃发。
上面的说法正确吗？你能给出一个合理的解释吗？
谢谢大家!