第1讲 角度问题
一．选择题（共6小题）
1．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得
则的最大值大于等于即可，
即当为短轴端点时，即可（如图），
，
故选：．
2．设、是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是
A．，， B．，，
C．，， D．
【解答】解：假设椭圆的焦点在轴上，则时，
假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，
，，，
解得：；
当椭圆的焦点在轴上时，，
假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足
，
，，，解得：，
的取值范围是，，
故选．
3．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，为坐标原点，若，且，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，①
得，②
③
①②代入③可得：，由，，
整理可得：；
可得；解得，，
可得．
故选：．
4．已知椭圆的右焦点为．圆上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，，为切点，若，，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：圆的圆心为右焦点，半径为1，
当位于椭圆的右顶点时，取得最小值，
此时切线取得最小值，即有，
，可得，①
当位于椭圆的左顶点时，取得最大值，
此时切线取得最大值，即有，
，可得，②
由①②解得，，
则，
故选：．
5．已知椭圆和圆，是椭圆上一动点，过向圆作两条切线，，切点为，，若存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：若存在点使，经分析知只需的最小角小于等于，
即只需，此时点为椭圆长轴的端点，画出大致图形如图所示，
连接，，则在中，
因为，
所以，即，
所以，所以，
即，解得，
又，所以椭圆的离心率的取值范围为．
故选：．
6．已知椭圆和圆，若上存在点，过点引圆的两条切线，切点分别为，，使得为正三角形，则椭圆的离心率的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：如图所示，连接，，，
为正三角形，
，
，
则，
，
椭圆的离心率．
又．
椭圆的离心率的取值范围是．
故选：．
二．填空题（共11小题）
7．设，是椭圆的两个焦点，是以为直径的圆和椭圆的一个交点，若，则椭圆的离心率等于 ．
【解答】解：由题意△为直角三角形，且，，，
，，
由椭圆的定义知，，
离心率为．
故答案为：．
8．已知是以和为左、右焦点的椭圆上一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
【解答】解：如图所示，
在△中，由正弦定理可得：，
又已知，
，
，，
，
，
，即，
解得．
椭圆的离心率的取值范围为．
故答案为：．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
【解答】解：△中，由正弦定理得，
．
又，
为椭圆的离心率），由此可得，
作出椭圆的左准线，设在上的射影为点，连结，
由椭圆的第二定义，得，因此．
设，可得，
，．
由椭圆的第一定义，得，即，解得．
为椭圆上一点，满足，
，即，解之得或
椭圆的离心率，该椭圆离心率的取值范围是．
故答案为：
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【解答】解：在△中，
由正弦定理得：
则由已知得：，
即：
设点，由焦点半径公式，
得：，
则
解得：
由椭圆的几何性质知：则，
整理得，解得：或，又，
故椭圆的离心率：，
故答案为：．
11．设椭圆两焦点为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围为 ， ．
【解答】解：点满足，
点的轨迹是以为直径的圆，其方程为．
又椭圆上存在点，使得，
以为直径的圆与椭圆有公共点，
由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，
，即，化简得，解得．
因此，椭圆的离心率．
椭圆离心率在之间取值，
椭圆的离心率，．
故答案为：，
12．、是椭圆的两焦点，过点作轴交椭圆于、两点，若△为等腰直角三角形，且，则椭圆的离心率是 ．
【解答】解：轴，．
△为等腰直角三角形，，
，，
，
化为，．
解得．
故答案为：．
13．已知椭圆的焦点分别为，，若该椭圆上存在一点使得，则椭圆离心率的取值范围是 ．
【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：
存在点为椭圆上一点，使得，
△中，，
△中，，
所以，即，
，可得，
，
，
．
故答案为：．
14．设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是 ，， ．
【解答】解：假设椭圆的焦点在轴上，则时，
假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，
，，，
解得：；
当椭圆的焦点在轴上时，，
假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，
，，，解得：，
的取值范围是，，
故答案为：，，．
15．已知，是椭圆的长轴的两个端点．若上存在点满足，则的取值范围是 ．
【解答】解：当轴为长轴，即时，，，，
当点为轴与椭圆的交点时，最大，
要使椭圆上存在一点满足，则，
即，所以，
故，
当轴为长轴时，同理可得，
综上，的取值范围为，
故答案为：．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点、分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则直线的斜率为 ．
【解答】解：根据题意，作出如下的图形，
，且为椭圆的上顶点，，，，
又，，直线的方程为，
联立，得，
由韦达定理可得，，即，代入，得，
，
，直线的斜率为．
故答案为：．
17．已知椭圆和圆，若上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为，，满足，则椭圆的离心率取值范围是 ．
【解答】解：连接，，，依题意，、、、四点共圆，
，，
在直角三角形中，，
，则，
，
，，即，
，则，即，
又，则，
故答案为：．第1讲 角度问题
一．选择题（共6小题）
1．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为
A． B． C． D．
2．设、是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是
A．，， B．，， C．，， D．
3．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，为坐标原点，若，且，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
4．已知椭圆的右焦点为．圆上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，，为切点，若，，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
5．已知椭圆和圆，是椭圆上一动点，过向圆作两条切线，，切点为，，若存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知椭圆和圆，若上存在点，过点引圆的两条切线，切点分别为，，使得为正三角形，则椭圆的离心率的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
二．填空题（共11小题）
7．设，是椭圆的两个焦点，是以为直径的圆和椭圆的一个交点，若，则椭圆的离心率等于 ．
8．已知是以和为左、右焦点的椭圆上一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
11．设椭圆两焦点为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围为 ．
12．、是椭圆的两焦点，过点作轴交椭圆于、两点，若△为等腰直角三角形，且，则椭圆的离心率是 ．
13．已知椭圆的焦点分别为，，若该椭圆上存在一点使得，则椭圆离心率的取值范围是 ．
14．设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是 ．
15．已知，是椭圆的长轴的两个端点．若上存在点满足，则的取值范围是 ．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点、分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则直线的斜率为 ．
17．已知椭圆和圆，若上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为，，满足，则椭圆的离心率取值范围是 ．第2讲 几何关系
一、单选题
1．如图 分别是椭圆 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等边三角形的性质，求得A点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．
【详解】
由题意知A，
把A代入椭圆(a＞b＞0)，
得，
∴，
整理，得，∴，
∵0＜e＜1，∴，故选D.
【点睛】
本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，则，，再次利用椭圆的几何性质可得，利用求得后再利用 为直角三角形得到关于a,c的方程，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】
设，则，，，
因为，故.
因，故，
整理得到，即，故选A.
【点睛】
圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．
3．椭圆的四个顶点为、、、，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，可得半径为，利用等面积法，可得半径，然后计算可得结果.
【详解】
设四边形的内切圆的半径为，
又该圆经过焦点所以，
且在直角三角形中，
所以
故，化简可得
由
所以
则
由
所以
故选：C
【点睛】
本题主要考查椭圆的离心率，难点在于找到，属中档题.
4．已知椭圆C：，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝（ ）
A．4 B．8
C．12 D．16
【答案】B
【分析】
根据已知条件，作出图形，的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为即可求出．
【详解】
设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，，
如图，连接，，
是的中点，是的中点，
是的中位线；
，同理；
，
在椭圆上，
根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：
，．
故选：．
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是利用三角形中位线定理得到，然后再利用椭圆的定义解答.
5．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，分别延长到,使得，，是椭圆上一点，延长到，，则
A．10 B．5 C．6 D．3
【答案】A
【详解】
试题分析：根据椭圆的定义和比例，有.
考点：直线与圆锥曲线位置关系.
6．设椭圆的左右焦点为，焦距为，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，求得，结合余弦定理，即可求得的齐次式，据此即可求得结果.
【详解】
根据题意，作图如下：
由得， ，
由
即，
整理得，
则，
得
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆的定义，属中档题.
7．在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由为平行四边形，则且，则轴，所以两点关于轴对称，再由，可得出点的横坐标，根据条件写出直线的方程，可得出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程结合可得出答案.
【详解】
以，为邻边作平行四边形，则且.
所以轴，所以两点关于轴对称，又
设，则，
由条件可得直线的方程为
所以,即
由点在椭圆上可得，，又
代入得，整理得：
解得
故选：B
【点睛】
本题考查求椭圆方程以和椭圆的性质以及平行四边形的性质的应用，属于中档题.
8．如图，以AB为直径的圆有一内接梯形，且.若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
解：设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，
则BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin2θ，有CD=2R-4Rsin2θ，
梯形的周长l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin2=-4R(sinθ-)2+5R．
当sinθ=，即θ=30°时，l有最大值5R，这时，BC=R，AC=R，a="1" 2 (AC-BC)="1" 2 (-1)R，e==+1．
故答案为+1
9．如图，以为直径的有一内接梯形，且，若一双曲线以、为焦点，且过、两点，则时，双曲线的离心率为
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】
设双曲线的标准方程为，圆的半径为，则．
由题意得为等边三角形，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以．
由双曲线的定义可得，
故双曲线的离心率为．选C．
点睛：求双曲线离心率的注意点
双曲线的离心率涉及的内容比较多，由于是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1．同时在解题过程中还应注意双曲线定义的灵活运用．
10．已知椭圆：，直线过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
直线的方程为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦为,，设，垂足为，则，在中，
，故本题选D.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率的求法.考查了圆弦长公式，考查了运算能力.
11．如图，双曲线以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C．其中，，，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连结CA、BD，分别在，中用与，结合余弦定理可解．
【详解】
连结CA，BD，
不妨设，则，，．
在中，①
在中，②
②-①得，则．
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形特点进行计算.
12．已知直线与双曲线交于A B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若的面积为4a2，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
设双曲线的左焦点为，则可得四边形为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得，即可求出离心率.
【详解】
设双曲线的左焦点为，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接，则四边形为矩形，
则可得，，
所以，
又因为，
所以，得，
所以.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形的性质列出关于的齐次方程式，即可求出离心率.
13．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若=0，且｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由向量知识得出，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出，最后由离心率公式得出答案.
【详解】
因为，所以
由｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设
在中，，解得
即
由椭圆的定义得的周长为
即
在直角三角形中，，，则，故
即
故选：A
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用勾股定理、等差中项的性质、椭圆的定义得出的齐次方程，进而得出离心率.
二、填空题
14．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_______
【答案】
【解析】
分析：设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知，，进而根据求得和的关系，求得离心率.
详解：设点P在x轴上方，坐标为，
为等腰直角三角形，
，即，即，
从而有，
解得，
又，
.
故答案为.
点睛：本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目，应熟练掌握圆锥曲线中和的关系.
15．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则_________.
【答案】
【分析】
延长F2N，交MF1于点P，由题意可知△MPF2是等腰三角形，且MP＝MF2，N是PF2的中点，由中位线性质及椭圆定义得|MF2|＝2，|MF1|＝6，再利用勾股定理，得MF2⊥F1F2，从而求出|OM|的值．
【详解】
延长,交的延长线于点P.
因为为的角平分线，且,所以.
所以，,
因为，分别为的中点，所以为的中位线，
所以,
所以，①，
分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，
，②，
由①②可得，，
∴|MF1|2＝|MF2|2+|F1F2|2，∴MF2⊥F1F2，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，考查数形结合思想，正确添加辅助线得中位线是关键，是中档题．
16．已知点P是椭圆1（xy≠0）上动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是_____.
【答案】
【分析】
构造全等三角形，结合椭圆定理，将问题转化为焦半径取值范围的问题，即可求得.
【详解】
根据题意，延长与相交于点，连接，作图如下：
因为，，
故.
故可得，为的中点.
则，
根据椭圆定理知，
故
根据椭圆焦半径的取值范围可得
即可得，则，
故可得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，涉及焦半径的取值范围，属综合中档题.
17．已知点在以为焦点的椭圆上，点为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：①；②，则该椭圆的离心率为__________．
【答案】
【分析】
利用椭圆的对称性及可得：点与原点重合，设，利用椭圆定义及可得：，，再对角分别在两个三角形中利用余弦定理列方程，整理可得：，问题得解．
【详解】
依据题意作出图形如下：
因为为的中点，所以
又，所以与原点重合.
设，则，
由椭圆定义可得：
所以，
在及中，由余弦定理可得：
整理得：
所以
【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单几何性质，还考查了向量运算及椭圆定义，考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力，属于难题．
18．以O为中心，，为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为_______________.
【答案】
【分析】
因为，结合定义，可求出，，，在中，结合余弦定理，可求出的关系，进而求出离心率.
【详解】
因为，因为，，，因为
所以，
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆求离心率，考查椭圆定义的应用以及余弦定理解三角形，属于中档题.
19．已知双曲线C: ,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点P在双曲线C的左支上(如图所示),则|AN| |BN|=________.
【答案】-12
【解析】
由双曲线方程可得a=3，
设双曲线C的左右焦点分别为F1,F2，
连接PF1,PF2，
∵F1是MA的中点，P是MN的中点，
∴F1P是△MAN的中位线，
∴|PF1|=|AN|，
同理|PF2|=|BN|，
∴||AN| |BN||=2||PF1| |PF2||，
∵P在双曲线上，
根据双曲线的定义知：
||PF1| |PF2||=2a=6，
∴||AN| |BN||=12.
故答案为：-12.
三、双空题
20．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝_____ P点的坐标为_____．
【答案】2
【分析】
求得椭圆的，，，，设椭圆的右焦点为，连接，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径公式，求得的坐标，利用椭圆的定义求解．
【详解】
解：由题意，该椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，离心率，
设椭圆的右焦点为，连接，
线段的中点在以原点为圆心，2为半径的圆，
连接，可得，
设的坐标为，由焦半径公式可得，可得，代入到椭圆方程得，
由得，
故答案为：2；．
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义和标准方程、几何性质，注意运用三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．第2讲 几何关系
一、单选题
1．如图 分别是椭圆 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
3．椭圆的四个顶点为、、、，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆C：，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝（ ）
A．4 B．8
C．12 D．16
5．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，分别延长到,使得，，是椭圆上一点，延长到，，则
A．10 B．5 C．6 D．3
6．设椭圆的左右焦点为，焦距为，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，以AB为直径的圆有一内接梯形，且.若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C．2 D．
9．如图，以为直径的有一内接梯形，且，若一双曲线以、为焦点，且过、两点，则时，双曲线的离心率为
A．2 B． C． D．
10．已知椭圆：，直线过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
11．如图，双曲线以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C．其中，，，则的离心率为
A． B． C． D．
12．已知直线与双曲线交于A B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若的面积为4a2，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
13．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若=0，且｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_______
15．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则_________.
16．已知点P是椭圆1（xy≠0）上动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是_____.
17．已知点在以为焦点的椭圆上，点为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：①；②，则该椭圆的离心率为__________．
18．以O为中心，，为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为_______________.
19．已知双曲线C: ,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点P在双曲线C的左支上(如图所示),则|AN| |BN|=________.
三、双空题
20．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝_____ P点的坐标为_____．第3讲 利用性质求离心率范围
一、单选题
1．已知椭圆+=1()的左、右焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，若椭圆上存在点P，使，则该椭圆离心率的取值范围为
A．(0，) B．(，1)
C．(0，) D．(，1)
【答案】D
【详解】
由已知及正弦定理知，即.
即，又，∴，
即，解得，选.
考点：双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.
2．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先由点在椭圆外部，列式求离心率的范围，再根据椭圆定义转化，得到离心率的范围，最后求交集，得到椭圆离心率的范围.
【详解】
点在椭圆的外部，所以，即，
所以，
由 恒成立，
即，
所以．又，
所以
故选：C．
【点睛】
方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.
3．已知、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，
，，，，当点为右顶点时，可取等号，故选D.
4．设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|,,则椭圆离心率的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设F1（-c，0），F2（c，0），运用椭圆的定义和勾股定理，求得e2=，令m=λ+1，可得λ=m-1，即有=,由λ的范围求得m的范围，进而即可得解。
【详解】
设F1（-c，0），F2（c，0），由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，即有（λ+1）t=2a①
由∠F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为（λ2+1）t2=4c2，②
由②÷①2，可得e2=,令m=λ+1，可得λ=m-1，即有
==2（）2+,由，可得≤m≤3，即，则m=2时，取得最小值；m=或3时，取得最大值．
即有≤e2≤，解得≤e≤．
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档题．
5．设椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为、，P是椭圆上一点，，()，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，，运用椭圆的定义和勾股定理，求得，令，可得，即有，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．
【详解】
解：设，，由椭圆的定义可得，，
可设，可得，
即有，①
由，可得，
即为，②
由②①，可得，
令，可得，
即有，
由，可得，即，
则当时，取得最小值；当或3时，取得最大值，
即有，解得：，
所以椭圆离心率的取值范围为.
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档题．
6．已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2．P是椭圆上一点．PF1F2为以F2P为底边的等腰三角形，当60°
A．（） B．（） C．（） D．（0）
【答案】B
【详解】
试题分析：
考点：由题意可得，即，所以，又，则，所以，则，即．故答案选B．
考点：1．椭圆的离心率；2．余弦定理．
【思路点晴】此题主要考查椭圆离心率、余弦定理等方面的内容，属于中高档题，在解决此类问题过程中，可适当地作出草图，以帮助思考，首先根据余弦定理求出等腰三角形底边的长，根据椭圆定义可算出椭圆的长半轴，由可得出的取值范围，再根据椭圆离心率的定义进行运算，从而可求得椭圆离心率的取值范围．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上恰有6个不同的点使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰
②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或
当时，则有(是椭圆在短轴上的上边的顶点)，则，因此，即，则
当时，则有(是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即，则
综上所述，椭圆的离心率取值范围是
故选D
点睛：解决椭圆的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于，，的方程或不等式，再根据，，的关系消掉得到，的关系式，建立关于，，的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.
8．已知椭圆：（）与圆：，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意知，存在点P使和两个切点围成的四边形为正方形，得，进而知即可，利用椭圆参数关系求离心率范围.
【详解】
如上图，若为圆的两条切线，且，
∵，
∴四边形为正方形，则，
∴即可，则，得，
∴.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：要使条件成立，和两个切点围成的四边形为正方形，根据正方形的性质得，应用椭圆的有界性以及参数关系求离心率范围.
二、填空题
9．已知点P是椭圆上的一点，，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【分析】
运用正弦定理和椭圆的基本性质来解题
【详解】
，
，
，
解得
故答案为
【点睛】
在求离心率的题目时结合题意，运用余弦定理解三角形，得到边的数量关系，然后求得离心率，本题较为基础．
10．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】
【分析】
设，由数量积的坐标表示得出，再由点P在椭圆上得出，联立两个方程得出，再由化简得出，结合离心率的公式即可求解.
【详解】
设，则①
将代入①式解得
又，即
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了求椭圆离心率的取值范围，属于中档题.
11．已知椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
根据椭圆的定义， 可求得的长，根据三角形的几何性质，即可求得答案，
【详解】
由椭圆的定义可得，又，
所以，
在椭圆中，，
所以，即，
又，所以，
所以该椭圆离心率的取值范围是.
故答案为：
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使三角形的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】
设则，可得，再结合
即可求得范围.
【详解】
设，，，
则，
若存在点使三角形的面积为，
则，可得，
因为，所以，
即，可得，
整理可得：，
所以，解得：，
所以，
所以椭圆的离心率的取值范围是：，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是，设利用焦点三角形的面积公式表示出.
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点(非顶点)使，则该椭圆的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
用正弦定理化已知角的关系为中边的关系，结合椭圆定义求出或，再根据或的取值范围得出的不等关系，从而可求得的取值范围.
【详解】
∵，及正弦定理，
∴，即，又，
∴，
∵是椭圆非顶点的点，
∴，即，
其中显然成立，由得，可化为
，解得或，而，
∴．
故答案为.
【点睛】
本题考查椭圆的几何意义，考查离心率的取值范围，解题关键是列出关于，即的不等关系.本题中已知等式转化为三角形边的关系后结合椭圆定义可把椭圆上点到焦点的距离用表示，而在椭圆中有一隐含的不等关系，即.只要善于应用即可解决问题.
14．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是__________；
【答案】
【解析】
解：因为，则可以解得||,而结合椭圆中，得到离心率的范围
15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
利用向量的数量积公式，结合0≤y2≤4，即可求出的取值范围
【详解】
设P（x，y），则
∵椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，
∴
∴
∵0≤y2≤4，
∴ ，的取值范围是[-1，4]．
故答案为[-1，4]．
【点睛】
本题考查向量的数量积公式，考查椭圆的简单性质，正确运用向量的数量积公式是关键．
16．P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1 F2=60°，∠PF2F1=30°，则椭圆的离心率为___．
【答案】
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理得，，故
，故．
考点：1、正弦定理；2、椭圆的定义.
17．P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin(α+β)=，则此椭圆的离心率为_______．
【答案】
【解析】
试题分析：，所以或（舍去）.设，由正弦定理得：
考点：1、椭圆的定义及离心率；2、三角函数；3、正弦定理.
18．已知，是椭圆的焦点，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
设，由数量积的坐标表示得出，再由点P在椭圆上得出，联立两个方程得出，再由化简得出，结合离心率的公式即可求解.
【详解】
设，则①
将代入①式解得
又，即
.
故答案为：
19．设F1，F2分别是椭圆的两个焦点，P是第一象限内该椭圆上一点，且，则正数m的值为________．
【答案】4或
【解析】
当焦点在x轴上，，解得：m=4；
当焦点在y轴上，，解得：m=.
20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P为椭圆M上任意一点，且的最大值的取值范围是[c2，3c2]，其中c=，则该椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】[，]
【解析】
试题分析：解：由题意，设点P为（x，y），
∵+=1，
∴x2=，
∴=（﹣c﹣x，﹣y），=（c﹣x，﹣y），
∴ =x2﹣c2+y2
=﹣c2+y2
=a2﹣c2﹣，
∴当y=0时， 取到最大值a2﹣c2，
即c2≤a2﹣c2≤3c2，
∴c≤a≤2c，
∴≤e≤，
∴椭圆m的离心率e的取值范围是：[，]，
故答案为[，]．
考点：椭圆的简单性质．
21．已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的最大值是___．
【答案】25
【分析】
设椭圆的左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围．
【详解】
椭圆C：的右焦点F（2，0），
左焦点为F'（﹣2，0），
由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，
即|PF'|＝2﹣|PF|，
可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，
由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，
可得﹣2≤8﹣2≤2，
解得，所以,①
又A在椭圆内，
所以,所以8m-16与①取交集得
故答案为25．
【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆上运动， 的最大值为m， 的最小值为n，且m≥2n，则该椭圆的离心率的取值范围为________
【答案】[ ，1）
【解析】
∵， ∴，
，
，，
的最大值，设，则，，的最小值为， 由，得，
，解得，故答案为．
【方法点晴】本题主要考查平面向量数量积公式、利用椭圆定义与的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式等式，从而求出的范围.本题是利用构造出关于的不等式，最后解出的范围.
23．已知圆：，圆：，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
求出使得的点的轨迹方程，这个轨迹（是圆）与圆有公共点，
【详解】
设，由于，，，∴，∴点在以为圆心，2为半径的圆上，其轨迹方程是，
又点在圆上，则，又，故解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查两圆的位置关系．解题关键是把条件具体化，求出满足此条件的点的轨迹，问题转化为两圆位置关系问题．
24．已知点P是左 右焦点分别为F1，F2的椭圆C：(a>b>0)上的一点，且A是∠与∠的角平分线的交点，且，若椭圆C的离心率为，则___________.
【答案】6
【分析】
由角平分线交点得是三角形内心，由向量的关系，取中点，可得，得三点共线，．由三点共线，得三角形是等腰三角形，，利用离心率和椭圆定义可求得，然后作轴于，，且，从而可求得．
【详解】
A是∠与∠的角平分线的交点，∴是的内切圆的圆心，设是中点，连接，如图，则，
由得，
∴三点共线，，∴．
由既是角平分线，又是中线，得，，∴，，又，∴，
作轴于，则，且，
∴，∴，解得．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查椭圆中焦点三角形的性质，解题关键是利用向量的线性运算得出三角形是等腰三角形，结合离心率，椭圆的定义从而可把焦点三角形的三边长用表示，再构造相似三角形，已知比值得出结论，本题考查学生的分析问题解决问题的能力，转化与化归能力，逻辑思维能力，属于中档题．
25．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且在第一象限，点是点关于原点对称的点.当，时，椭圆的离心率的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
根据对称性以及推出四边形是矩形，为直角三角形，设，，根据椭圆的定义、勾股定理以及离心率公式得到，再根据可求出离心率的取值范围.
【详解】
∵点与点关于原点对称，且，∴，
∴四边形是矩形，∴为直角三角形（为直角）.
设，，则，∴，∴，因为，，所以.
因为点在第一象限，∴，所以，所以，
令，则，
因为在上单调递增，所以，即，
所以，
所以，
所以
所以.
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了椭圆的对称性，考查了椭圆的定义，考查了求椭圆的离心率的取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题.
26．设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
设，则，即，又椭圆上存在一点使得，即，，，即，解得，故答案为.
27．如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
由于点在椭圆上运动时，与轴的正方向的夹角在变，所以先设，又由，可知，从而可得，而点在椭圆上，所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果．
【详解】
设，，，则，
由，得，代入椭圆方程，
得，化简得恒成立，
由此得，即，故．
故答案为：
【点睛】
此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率，综合性强，属于难题 ．
28．如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MF⊥OA，则椭圆的离心率为____．
【答案】．
【解析】
试题分析：设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为+=1（a＞b＞0），求得C和M的坐标，运用O，C，M共线，即有kOC=kOM，再由离心率公式计算即可得到所求值．
解：设A（a，0），B（0，b），F（c，0），
椭圆方程为+=1（a＞b＞0），
令x=c，可得y=b=，
即有M（c，），
由C是AB的三等分点（靠近点B），
可得C（，），即（，），
由O，C，M共线，可得kOC=kOM，
即为=，即有b=2c，
a==c，则e==．
故答案为．
考点：椭圆的简单性质第3讲 利用性质求离心率范围
一、单选题
1．已知椭圆+=1()的左、右焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，若椭圆上存在点P，使，则该椭圆离心率的取值范围为
A．(0，) B．(，1)
C．(0，) D．(，1)
2．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率取值范围是
A． B． C． D．
4．设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|,,则椭圆离心率的取值范围为( )
A． B． C． D．
5．设椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为、，P是椭圆上一点，，()，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2．P是椭圆上一点．PF1F2为以F2P为底边
的等腰三角形，当60°A．（） B．（） C．（） D．（0）
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上恰有6个不同的点使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知椭圆：（）与圆：，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知点P是椭圆上的一点，，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为______．
10．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是________．
11．已知椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是_________.
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使三角形的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是______．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点(非顶点)使，则该椭圆的离心率的取值范围是__________．
14．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是__________；
15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，则的取值范围是__________.
16．P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1 F2=60°，∠PF2F1=30°，则椭圆的离心率为___．
17．P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin(α+β)=，则此椭圆的离心率为_______．
18．已知，是椭圆的焦点，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是_______．
19．设F1，F2分别是椭圆的两个焦点，P是第一象限内该椭圆上一点，且，则正数m的值为________．
20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P为椭圆M上任意一点，且的最大值的取值范围是[c2，3c2]，其中c=，则该椭圆的离心率的取值范围为______．
21．已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的最大值是___．
22．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆上运动， 的最大值为m， 的最小值为n，且m≥2n，则该椭圆的离心率的取值范围为________
23．已知圆：，圆：，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则的取值范围是________.
24．已知点P是左 右焦点分别为F1，F2的椭圆C：(a>b>0)上的一点，且A是∠与∠的角平分线的交点，且，若椭圆C的离心率为，则___________.
25．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且在第一象限，点是点关于原点对称的点.当，时，椭圆的离心率的取值范围是_________.
26．设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是__________．
27．如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．
28．如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MF⊥OA，则椭圆的离心率为____．第4讲 第三定义
一、单选题
1．椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设P点坐标为，则，，，
于是，故.
∵ ∴.故选B.
【考点定位】直线与椭圆的位置关系
2．双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上且直线斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线斜率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：根据双曲线的方程可知，的坐标分别为，，设点的坐标为，则，．不难发现，且因为点在双曲线上，所以，再结合，解得，故选C．
考点：双曲线的简单性质．
【思路点睛】本题中我们可以看到给出的两条直线具有相关性，即具有公共点，且它们各自所经过的定点，是关于原点对称的，此时不难想到两条直线的斜率之间必然会有某种关系．那么解题的关键是找出两条直线斜率之间的等式关系，再根据已知直线的斜率的取值范围，求解未知直线的斜率．
3．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，关于原点对称，设，，
，故选A.
【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质与离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用，斜率之积的范围为，得到 ，进而构造出关于的不等式，最后解出的范围.
4．设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，利用斜率公式求得，结合在椭圆上，化简可得，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得时，取得最小值，根据离心率定义可得结果.
【详解】
由椭圆方程可得，
设，则,
则，
，
，
令，则，
，
在上递减，在上递增，
可知当时，函数取得最小值，
，
，故选D.
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数的最值，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
5．设椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设出的坐标,得到(用,表示,求出，令，则． 利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求 ．
【详解】
解：，，设，，则，则，，， ，
令，则．，当时， 函数取得最小值（2）． ．，
故选．
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题 ．
6．已知A，B分别为椭圆C：(a＞b＞0)的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最大值时，椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设，根据条件可得．进而由直线的斜率公式可得，由点P在椭圆C上，可得的横、纵坐标之间的关系，进而，所以，将其看成关于的二次函数，求其取最大值时，的值，进而可求离心率的值．
【详解】
设，则．因为P，Q在椭圆C上，所以．
所以，．
所以， ．令
所以，
所以，当时， 取最大值．此时， ．
所以椭圆C的离心率为．
故选D．
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，求椭圆的离心率应求的值或求任意两个之间的关系．离心率．考查学生对椭圆几何性质的掌握程度及运算能力．
7．椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．
【详解】
由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．
由消去整理得，
∵直线与椭圆交于两点，
∴，解得．
设，的中点为，
则，
∴，，
∴点的坐标为．
由题意得点在直线上，
∴，解得．
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．
8．已知椭圆：的右焦点为，且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 的中点分别为 ，且三条边所在直线的斜率分别为 ，且 均不为0.为坐标原点，若直线 的斜率之和为1.则（ ）
A． B．-3 C． D．
【答案】A
【分析】
根据椭圆的右焦点为，且离心率为，求出椭圆方程，由三角形的三个顶点都在椭圆上，利用点差法求解.
【详解】
因为椭圆的右焦点为，且离心率为，
所以，解得 ，
所以椭圆方程为：，
设 ，
则，
两式相减得：，
即，
同理，
又直线 的斜率之和为1，
所以，
故选：A
【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9．已知椭圆，，，过点的直线与椭圆交于，，过点的直线与椭圆交于，，且满足，设和的中点分别为，，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画出图像，由面积和勾股定理列式可得，，在中，有长度关系可得，从而得和，再利用点差法得，从而可求得离心率．
【详解】
如图，不妨设，两条直线的斜率大于零时，连结，
由题意知，
解得，，或，（舍）
，，
在中，因为，所以，
故此时，．
设，，则，
两式相减得，
即，即，
因此离心率，所以，故选D．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的求解，解题的关键是利用矩形求边长，进而求和，属于难题.
10．过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（ ）
A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．随变化而变化
【答案】C
【分析】
因为是线段的中点,故可设,再用点差法根据直线与垂直斜率相乘等于求出切点的坐标,再求出直线的斜率即可.
【详解】
设,,则,化简可得 .因为是线段的中点,故.
代入化简可得的斜率.
又直线与垂直,故,解得,代入圆可得.故直线的斜率为为定值.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了点差法在研究中点弦中的应用,需要根据题意利用点差法以及直线与圆相切,斜率之间的关系列式求解.属于中档题.
11．已知点，，动点P满足，点Q满足，．则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】
由，可求出的轨迹方程，设，，由，可求出直线的斜率，进而得到直线的方程，同理可得的方程，联立直线，的方程，可得，再将代入曲线方程中，可求得，结合，可求出答案.
【详解】
设动点，由，得，整理得，
所以动点的轨迹方程为．
设，直线的斜率为，由，所以直线的斜率，于是直线的方程为．
同理可得的方程为．
联立两直线方程，得，解得，则．
因为满足，所以，
所以，即．
所以.
故选：A．
【点睛】
本题考查点的轨迹，考查三角形的面积，考查直线的斜率，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
二、填空题
12．已知椭圆， 是的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，设椭圆的离心率为，则______.
【答案】
【解析】
设, ，因为，所以可得 ， ，三等式联立消去 可得 故答案为.
故答案为
13．已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
【答案】
【分析】
设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，和AB的中点坐标，得，结合椭圆中a，b，c的关系，可求得，，即可得E的方程.
【详解】
已知，设，，则①，②，
已知AB的中点坐标为，，
①－②得，
∴，
∵，∴，即，
又，
∴，，即E的方程为.
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.
14．已知椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，若，则过原点与线段AB的中点M的连线的斜率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由直线x+y-1=0，可得y=-x+1代入mx2+ny2=1得：（m+n）x2-2nx+n-1=0，利用韦达定理，确定M的坐标，即可求出利用过原点与线段AB中点的直线的斜率．
【详解】
由直线x+y-1=0，可得y=-x+1代入mx2+ny2=1得：（m+n）x2-2nx+n-1=0，
设A、B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则有：
∴M的坐标为：
∴过原点与线段AB的中点M的连线的斜率为 ．
故答案为．
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是直线与椭圆方程的联立．
15．直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
【答案】
【分析】
】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由m x12＋n y12＝1和m x22＋n y22＝1，两式相减可得，从而可得离心率.
【详解】
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，x0＝－，代入y＝x＋1得y0＝.
所以m x12＋n y12＝1，（1）
m x22＋n y22＝1，（2）
由（1）-（2）得：，
，
∴，
∴e2，∴e＝.
故答案为：.
【点睛】
（1）本题主要考查点差法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果已知中涉及圆锥曲线的弦的中点，一般利用点差法，可以减少运算，提高解题效率.使用点差法，一般先“设点代点”，再作差，最后化简，最后可以得到中点的坐标和直线的斜率的关系.
16．过点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，若是线段的 中点，则椭圆的离心率为_______．
【答案】
【解析】
试题分析：设，则，，两式相减可得，，过点作斜率为的直线与椭圆相交于、两点，是线段的中点，则，即，即，则，故答案为．
考点：椭圆的简单几何性质．
【方法点晴】本题利用椭圆的简单几何性质求椭圆的离心率，考查考生的运算求解能力，属中档题．正确应用点差法是本题的关键，注意解题方法的积累．与弦的中点的问题常用到点差法，在椭圆中，设直线与椭圆的交点为，代入椭圆得，，两式相减可得，，将弦的中点代入即可求得直线的斜率．本题中利用直线的斜率求得、的关系，从而求得椭圆的离心率．
17．已知是椭圆上关于原点对称的两点，若椭圆上存在点，使得直线斜率的绝对值之和为1，则椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】
分析：由是椭圆上关于原点对称的两点，易知斜率之积为定值，结合均值不等式即可建立关于的不等式，从而得到椭圆的离心率的取值范围.
详解：不妨设椭圆C的方程为,,则，
所以，,两式相减得，所以，所以直线斜率的绝对值之和为，由题意得，，所以=4，即，所以，所以.
故答案为：
点睛：：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
18．已知O为坐标原点，平行四边形ABCD内接于椭圆，点E，F分别为AB，AD的中点，且OE，OF的斜率之积为，则椭圆的离心率为________.
【答案】
【分析】
根据图形的对称性，可得AD，AB的斜率之积为,设，，则，根据斜率公式和椭圆方程列式，化简可得，再根据以及离心率公式可得答案.
【详解】
根据椭圆和平行四边形的对称性可知和，与关于原点对称，
所以，所以，，
设，，则，
所以
，
所以，所以，所以，所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查了椭圆的对称性，考查了斜率公式，考查了离心率公式，属于中档题.
19．已知直线l：与椭圆：（）交于A、B两点，与圆：交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】
求得直线恒过定点，即为圆心，为直径，由，可得的中点为，设，，，，运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围．
【详解】
解：直线，即为，
可得直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为1，
且，为直径的端点，
由，可得的中点为，
设，，，，
则，，
两式相减可得，
由．，
可得，
由，
即有，
则椭圆的离心率．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第4讲 第三定义
一、单选题
1．椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是
A． B． C． D．
2．双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上且直线斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线斜率的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
4．设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为
A． B． C． D．
5．设椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知A，B分别为椭圆C：(a＞b＞0)的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最大值时，椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
7．椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=
A．1 B． C． D．
8．已知椭圆：的右焦点为，且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 的中点分别为 ，且三条边所在直线的斜率分别为 ，且 均不为0.为坐标原点，若直线 的斜率之和为1.则（ ）
A． B．-3 C． D．
9．已知椭圆，，，过点的直线与椭圆交于，，过点的直线与椭圆交于，，且满足，设和的中点分别为，，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
10．过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（ ）
A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．随变化而变化
11．已知点，，动点P满足，点Q满足，．则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
二、填空题
12．已知椭圆， 是的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，设椭圆的离心率为，则______.
13．已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
14．已知椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，若，则过原点与线段AB的中点M的连线的斜率为________．
15．直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
16．过点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，若是线段的 中点，则椭圆的离心率为_______．
17．已知是椭圆上关于原点对称的两点，若椭圆上存在点，使得直线斜率的绝对值之和为1，则椭圆的离心率的取值范围是______.
18．已知O为坐标原点，平行四边形ABCD内接于椭圆，点E，F分别为AB，AD的中点，且OE，OF的斜率之积为，则椭圆的离心率为________.
19．已知直线l：与椭圆：（）交于A、B两点，与圆：交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是______．第5讲 定比分点
一、单选题
1．已知椭圆C：1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左右焦点，过F2的直线交椭圆与A、B两点，∠AF1B＝90°，2，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量的关系可得线段的关系，设|F2A|＝3x，则|F2B|＝2x，由椭圆的定义可得|F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，再由∠AF1B＝90°，由勾股定理可得x的值，进而求出|AF1|，|AB|的值，进而求出∠F1AB的余弦值，由半角公式求出sin，进而求出离心率.
【详解】
如图所示：
因为2，
设|F2A|＝3x，|F2B|＝2x，|
所以F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，
因为∠AF1B＝90°，
所以（5x）2＝（2a﹣3x）2+（2a﹣2x）2，
解得，
则|F2A|＝a，|AB|，|F1B|a，|F1A|＝a，
所以可得A为短轴的顶点，
在△ABF1中，cos∠F1AB，
所以sin，
则.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义，焦点三角形以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2．已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先设直线，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得，与根与系数的关系联立消元可得，求得椭圆的离心率.
【详解】
设直线方程为，设，，与椭圆方程联立得
，
， ①
，，
得 ②，由①②联立可得，
即，得，
椭圆的离心率.
故选：D
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.
3．已知椭圆E：(0A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题，由可得，代入椭圆即可得出，即得椭圆方程.
【详解】
可得，
AF2⊥x轴，，
，即，设，
则，可得，
将B代入椭圆方程得：，得，
，，
椭圆E的方程为.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题考查椭圆的方程的求解，解题的关键是利用AF2⊥x轴得出，进而由得出，代入椭圆求解.
4．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且满足则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，用m表示出、、，由知为椭圆的上顶点，直线的方程与椭圆方程联立求出交点的横坐标，利用列出等式化简即可求得离心率.
【详解】
设，则，
由椭圆的定义知，，
，为椭圆的上顶点，设，又，
则直线，直线方程代入椭圆方程中得：
，解得或，
，，化简得，
.
故选：B
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质、椭圆离心率相关问题、求直线与椭圆的交点，属于中档题.
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作倾角为的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依题意，过点且倾斜角为的直线方程为，设，联立直线与椭圆方程，消去，列出韦达定理，由，得到，即可得到、的方程，解得.
【详解】
解：由题设，过点且倾斜角为的直线方程为，
联立方程得，消去得
设，则有，
因为，所以，
所以整理得，
或（舍去）
故选：
【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的简单几何性质，属于中档题.
6．已知F1，F2分别为椭圆的y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标可以是（ ）
A．（1，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（，）
【答案】C
【分析】
由椭圆方程可知，，，，设，，根据，可得，分别代入椭圆方程即可得出．
【详解】
由y2＝1知，
，，，，
设，，
，
，，
，．
解得，．
．
故选：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．设分别是椭圆的左 右焦点,直线过交椭圆于两点,交轴于点,若满足,且,则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据椭圆中线段关系，表示出，，．由余弦定理即可求得a与c的关系，进而求得离心率．
【详解】
因为F1是椭圆的左焦点，直线过F1交y轴于C点
所以 ，即 ，
因为，所以，
又因为，
所以，
在中，，，，
根据余弦定理可得 ，
代入得，
化简得 ，
所以离心率为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查椭圆离心率的相关问题，在中利用余弦定理，是解决此题的关键，考查学生的分析问题与解决问题的能力.
8．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设,则等于
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：解：由题意a=5，b=3，c=4，所以F点坐标为（4，0）
设直线l方程为：y=k（x﹣4），A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），得P点坐标（0，﹣4k），
因为，所以（x1，y1+4k）=λ1（4﹣x1，﹣y1）
因为，所以（x2，y2+4k）=λ2（4﹣x2，﹣y2）．
得λ1=，λ2=．
直线l方程，代入椭圆，消去y可得（9+25k2）x2﹣200k2x+400k2﹣225=0．
所以x1+x2=，x1x2=．
所以λ1+λ2====,故选B.
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：解决的关键是根据直线与椭圆的方程联立方程组，结合向量的坐标关系来得到，属于基础题．
9．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，则，，由，结合椭圆的定义，利用余弦定理求得，从而是等腰直角三角形，即可求出椭圆的离心率.
【详解】
设，则，，
∴，，
∵，
在中，由余弦定理，
得：，
∴，
化简可得，而，
故，
∴，，，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴椭圆的离心率.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题关键是利用余弦定理和椭圆的定义，得到是等腰直角三角形.
10．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出椭圆的两个焦点坐标以及点的坐标，由求出点的坐标，利用椭圆的定义求得的值，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】
由题意可知，点在直线上，即，可得，
直线交轴于点，
设点，，，
由可得，解得，
椭圆的右焦点为，则，
又，，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
二、填空题
11．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_______________.
【答案】
【解析】
试题分析：由图知，，，又因为 ，可得，并且，所以由焦半径公式得，即，解得，故答案应填.
考点：1、椭圆；2、焦点；3、离心率.
【方法点晴】本题是一个平面向量与椭圆相结合的问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，首先由以及推出的长度以及点的横坐标，再根据焦半径公式得出的长度，最后结合前面所求的长度，就可得到一个关于的关系式，进而可求出离心率的值，使问题得到解决.
12．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为_____．
【答案】
【分析】
连接,设,利用椭圆性质,得到长度,分别在和中利用余弦定理,得到的长度，根据离心率的定义计算得到答案.
【详解】
设，则，，
由，
得，，在中，，
又在中，，得
故离心率.
故答案为：
13．已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【详解】
分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.
详解：设，由得
因为A,B在椭圆上,所以
，
与对应相减得，当且仅当时取最大值.
点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于的两点，且轴，若为椭圆上异于的动点且，则该椭圆的离心率为___.
【答案】
【分析】
根据题意，假设A在第一象限，则，过B作BC⊥x轴于C，分析易得△AF1F2～△BF1C，分析可得B的坐标，将其代入椭圆的方程，变形可得25c2+b2=9a2，结合椭圆的几何性质可得3c2=a2，又由椭圆的离心率公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，因为AF2⊥x轴且F2（c，0），假设A在第一象限，则，
过B作BC⊥x轴于C，则易知△AF1F2～△BF1C，
由得|AF1|=3|BF1|，所以|AF2|=3|BC|，|F1F2|=3|CF1|，
所以，代入椭圆方程得，即25c2+b2=9a2，
又b2=a2﹣c2，所以3c2=a2，
所以椭圆离心率为．
故答案为．
【点睛】
对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
15．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.
【答案】
【分析】
采用数形结合，计算以及，然后根据椭圆的定义可得，并使用余弦定理以及，可得结果.
【详解】
如图
由，所以
由，所以
又，则
所以
所以
化简可得：
则
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
16．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为________．
【答案】
【分析】
根据轴，可求得A点坐标，又，得，则可求得B点坐标，代入椭圆方程，即可求得，即可得答案.
【详解】
设，
因为轴，
所以，代入椭圆方程得，设，
因为，得，
所以，
解得，即，
又B在椭圆上，将代入椭圆方程得：，
又，解得，
所以椭圆方程为：
故答案为： .
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，将，转化为，可大大简化计算，考查分析理解，求值计算的能力，属基础题.
17．设，分别是椭圆的左 右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为_________
【答案】
【分析】
设，则，由题得，解得.所以，化简等式即得解.
【详解】
，设，则
由椭圆的定义，可以得到
，
在中，有，
解得.
，
在中，有，
整理得，.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆离心率的计算，考查椭圆的定义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．如图，过原点O的直线AB交椭圆C：（a＞b＞0）于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是________.
【答案】
【分析】
设，，根据已知条件得、、的坐标，、B，M，Q三点共线，以及，由，在椭圆上有，联立所得方程即可求离心率.
【详解】
设，，则，，，
由，则①，
由B，M，Q三点共线，则，即②.
又因为，，即，③，
将①②代入③得.
【点睛】
关键点点睛：根据已知点的坐标表示两线垂直以及三点共线，再结合点在椭圆上得到相关参数的方程，联立方程求椭圆离心率.
19．如图，，P，Q是椭圆上的两点（点Q在第一象限），且直线PM，QM的斜率互为相反数．若，则直线QM的斜率为__________．
【答案】
【分析】
延长，交椭圆于点，由椭圆的对称性和直线PM，QM的斜率互为相反数可知：，设出直线的斜率，写出直线的直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，消得到一元二次方程，结合,利用一元二次方程根与系数的关系，求出点坐标，并代入椭圆方程中，求出直线的斜率，也就能求出直线QM的斜率.
【详解】
延长，交椭圆于点，由椭圆的对称性和直线PM，QM的斜率互为相反数可知：，如下图所示：
设直线的斜率为，所以直线的方程为：，与椭圆方程联立得：，消元得，，
设，根据根与系数关系可得：，
，，
所以，把代入椭圆方程中得，，解得，
所以直线QM的斜率为.
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆的几何性质的应用，考查了数学运算能力.第5讲 定比分点
一、单选题
1．已知椭圆C：1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左右焦点，过F2的直线交椭圆与A、B两点，∠AF1B＝90°，2，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆E：(0A． B． C． D．
4．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且满足则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作倾角为的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知F1，F2分别为椭圆的y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标可以是（ ）
A．（1，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（，）
7．设分别是椭圆的左 右焦点,直线过交椭圆于两点,交轴于点,若满足,且,则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
8．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设,则等于
A． B． C． D．
9．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_______________.
12．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为_____．
13．已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于的两点，且轴，若为椭圆上异于的动点且，则该椭圆的离心率为___.
15．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.
16．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为________．
17．设，分别是椭圆的左 右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为_________
18．如图，过原点O的直线AB交椭圆C：（a＞b＞0）于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是________.
19．如图，，P，Q是椭圆上的两点（点Q在第一象限），且直线PM，QM的斜率互为相反数．若，则直线QM的斜率为__________．第6讲 利用定义求最值
一、单选题
1．在椭圆内有一点，F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使的值最大，则这一最大值是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由椭圆方程求得，利用椭圆定义把转化，数形结合得答案．
【详解】
解：如图，
由椭圆，得，
设椭圆左焦点为，则，
．
由图可知，当为的延长线与椭圆的交点时，有最大值为，
∴的值最大值为．
故选：A．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．
2．已知椭圆C：的右焦点为F，点A（ 2，2)为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的取值范围是
A． B．［9，25］
C． D．［3，5］
【答案】A
【分析】
设椭圆的左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围．
【详解】
椭圆C：的右焦点F（2，0），
左焦点为F'（﹣2，0），
由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，
即|PF'|＝2﹣|PF|，
可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，
由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，
可得﹣2≤8﹣2≤2，
解得，所以,①
又A在椭圆内，
所以,所以8m-16与①取交集得
故选A．
【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
二、填空题
3．已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的最大值是___．
【答案】25
【分析】
设椭圆的左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围．
【详解】
椭圆C：的右焦点F（2，0），
左焦点为F'（﹣2，0），
由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，
即|PF'|＝2﹣|PF|，
可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，
由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，
可得﹣2≤8﹣2≤2，
解得，所以,①
又A在椭圆内，
所以,所以8m-16与①取交集得
故答案为25．
【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
4．已知椭圆 内部的一点为A ，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MA＋MF的最小值为________．
【答案】2-1
【解析】
右准线方程为，设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线定义知，∴d＝MF.∴MA＋MF＝MA＋d.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值．MA＋d≥2－1.
答案：2－1
点睛：本题利用椭圆的第二定义进行转化，即，所以d＝MF.即MA＋MF＝MA＋d，由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值．
5．已知椭圆 内有一点 ，为椭圆的右焦点，为椭圆上的一个动点，则 的最大值为_____．
【答案】
【解析】
由椭圆，可得，椭圆左焦点为，则，， 由图可知，当为的延长线与椭圆的交点时，有最大值为，的值最大值为，故答案为.
6．已知椭圆内有一点，、是其左、右焦点，为椭圆上的动点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】
根据椭圆方程得：，再将，转化为：，由三角形法则得到，当三点共线时取等号求解.
【详解】
由椭圆方程得：，
所以，
由三角形法则得，
当三点共线，且 在左侧时，取等号.
如图所示：
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义的应用，还考查了转化求解的能力，属于中档题
7．已知动点P（x，y）在椭圆C：上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1．且MP⊥MF，则线段|PM|的最小值为____．
【答案】
【分析】
根据椭圆的图形，判断出PF最小值时的位置；结合切线长定理求线段|PM|的最小值．
【详解】
由题意可知，动点M是在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上运动，且|PM|为圆的一条切线
根据切线长定理，当|PF|最小时，切线长|PM|取得最小值
易知当P在右顶点时，PF取得最小值，此时|PF|=5-3=2
由切线长定理可知
【点睛】
本题考查了椭圆的基本性质和切线长定理的简单应用，属于基础题．
8．已知P是椭圆上一动点，A是C的左顶点，F是C的右焦点，则的最小值为________.
【答案】0
【分析】
设,进而可得,,代入中可得,由点在椭圆上,可得,代回可得是一个关于的二次函数,进而求得最值即可
【详解】
由题,,,设,
则,,
则,
因为点在椭圆上,所以,即,
则,
当时,的最小值为0
故答案为：0
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质的应用,考查数量积的最值,解题时需注意自变量的取值范围
9．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是_____．
【答案】
【详解】
试题分析：由题意：，的最大值为，的最小值为，当且仅当轴时，取得最小值，此时，代入椭圆方程可得，，，，故答案为.
考点: 1、椭圆的简单性质；2、椭圆的定义及几何意义.
10．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件求出a，和c的值，结合椭圆的定义进行转化，利用三点共线的性质进行求解即可．
【详解】
解：椭圆中的，即焦点坐标为，，
点M在椭圆的外部，
则，当且仅当M，，P三点共线时取等号，
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查椭圆定义的应用，利用椭圆定义转化为三点共线是解决本题的关键．
11．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则| |＋||的最大值为_______
【答案】15
【解析】
试题分析：由椭圆方程可知，两焦点坐标，由椭圆定义可得
，结合三角形三边关系可知，所以，最大值为15
考点：椭圆方程及定义的应用
12．设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
设，则，即，又椭圆上存在一点使得，即，，，即，解得，故答案为.
13．已知点P为椭圆上一点，点M，N分别是圆和圆上的点，则的最大值为_________．
【答案】13
【分析】
设圆和圆的圆心分别为,则根据椭圆的性质可知为定值,再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和即可.
【详解】
由题, 设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.又,.
故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故答案为：13
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义的运用以及根据三角形两边之和大于第三边求线段之和的最大值问题.属于中档题.
14．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x＋3）2＋y2＝1和圆（x－3）2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
【答案】7
【分析】
首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，
进而根据椭圆的定义即可求解.
【详解】
由椭圆方程知a＝5，b＝4，c＝3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，
设两圆半径分别为r1，r2，则r1＝1，r2＝2.
所以|PM|min＝|PF1|－r1＝|PF1|－1，|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－2，
故|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－3＝2a－3＝7.
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题.
15．设P是椭圆 上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为________________．
【答案】8， 12
【解析】
∵两圆圆心F1（-4，0），F2（4，0）恰好是椭圆∴|PF1|+|PF2|=10，两圆半径相等，都是1，即r=1，∴（|PM|+|PN|）min=|PF1|+|PF2|-2r=10-2=8．
（|PM|+|PN|）max=|PF1|+|PF2|+2r=10+2=12．
故答案为8,12
点睛：本题考查线段和的最大值和最小值的求法，解题时要注意椭圆的定义和圆的性质的合理运用．圆外一点P到圆C上所有点中距离最大值为|PC|+r，最小值为|PC|-r，其中C为圆心，r为半径，故只要连结椭圆上的点P与两圆心F1，F2，最大值为|PM|+|PN|+两圆半径之和，最小值为|PM|+|PN|-两圆半径之和．第6讲 利用定义求最值
一、单选题
1．在椭圆内有一点，F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使的值最大，则这一最大值是
A． B． C． D．
2．已知椭圆C：的右焦点为F，点A（ 2，2)为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的取值范围是
A． B．［9，25］
C． D．［3，5］
二、填空题
3．已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的最大值是___．
4．已知椭圆 内部的一点为A ，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MA＋MF的最小值为________．
5．已知椭圆 内有一点 ，为椭圆的右焦点，为椭圆上的一个动点，则 的最大值为_____．
6．已知椭圆内有一点，、是其左、右焦点，为椭圆上的动点，则的最小值为______.
7．已知动点P（x，y）在椭圆C：上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1．且MP⊥MF，则线段|PM|的最小值为____．
8．已知P是椭圆上一动点，A是C的左顶点，F是C的右焦点，则的最小值为________.
9．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是_____．
10．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为______．
11．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则| |＋||的最大值为_______
12．设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是__________．
13．已知点P为椭圆上一点，点M，N分别是圆和圆上的点，则的最大值为_________．
14．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x＋3）2＋y2＝1和圆（x－3）2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
15．设P是椭圆 上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为________________．第7讲 与四心有关
一、单选题
1．如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，是轴正半轴上一点，交椭圆于A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由直角三角形的内切圆半径可得，结合，可得，从而可求，即可求得椭圆的离心率.
【详解】
直角三角形的内切圆半径
，
，
，
，
，
，
，
椭圆的离心率是，故选B.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.
2．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知，得，在中，利用余弦定理及面积公式可得，再利用的内切圆的半径，可知，建立等式关系，再由已知结合正弦定理得到关系式，结合，将关系式转化为的关系式，从而求得离心率.
【详解】
由题可知，
即，
在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得
即，整理得
易得面积
又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，
所以
由已知，得，则，即
在中，利用正弦定理知
即，又，整理得
两边同除以，则，解得或（舍去）
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．本题中利用，得，在中，利用解三角形思想可得，再利用的内切圆的半径，可知，建立等式关系，再由已知结合正弦定理得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，若C上存在一点P，使得，且内切圆的半径大于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据椭圆定义以及余弦定理可得，然后使用等面积法可得内切圆半径，然后根据，化简即可.
【详解】
设，内切圆的半径为r．
因为，所以，
则．
由等面积法可得，
整理得，又
故．又，所以
则，从而．
故选：C
4．已知椭圆：，的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接和，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
解：的内心为，连接和，
可得为的平分线，即有，
，
可得，
即有，
即有，
故选B．
【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．
5．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于．若的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合题意,证明得到三角形为等边三角形,对三角形运用余弦定理,计算离心率,即可.
【详解】
结合题意可知结合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质
,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的性质,可得,由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得到
,解得,故选D.
【点睛】
本道题考查了椭圆基本性质,考查了余弦定理,难度偏难.
6．设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
分析：
详解：由椭圆的焦点为 为椭圆上一点，且，有根据正弦定理 由余弦定理， 由 ，可得 ，则由三角形面积公式 可得
故选B．
点睛：本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和三角形的内切圆的半径的求法，以及正弦定理，余弦定理的应用，考查化简整理的运算能力，是中档题．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.
【详解】
如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，
设点，，则，
因为为的重心，所以，
因为轴，所以点横坐标也为，，
因为为的角平分线，
则有，
又因为，所以可得，
又由角平分线的性质可得，，而
所以得，
所以，，
所以，即，
因为
即，解得，所以答案为A.
【点睛】
本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：
（1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.
（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合.
8．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据内切圆的性质利用等面积法求出内切圆的半径，即可得内切圆圆心的纵坐标，利用条件化简方程，即可求出离心率.
【详解】
设，不妨设，如图，
设三角形内切圆的半径为r，由三角形内切圆的性质可得:
，
解得：，
,
因为，
所以，解得，
所以，
故选：C
【点睛】
关键点点睛，利用内切圆的性质得到是解题的关键，根据及，建立方程求出离心率，属于中档题.
9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为△PF1F2的内心，且，若椭圆的离心率为e，则λ＝（ ）
A． B．1 C．e D．2
【答案】A
【分析】
设内切圆半径为，根据面积等式，结合椭圆的定义，求得，即可求解.
【详解】
设内切圆半径为，
由
可得：
整理得：，又
即，解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，属基础题；本题的难点在于对面积等量关系的转换.
10．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c |y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．
【详解】
椭圆的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），
∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为 G（，），
∵，则∥，∴I的纵坐标为，
又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，
∴= |F1F2| |y0|，
又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，
内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，
∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，
即×2c |y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，
∴该椭圆的离心率，
故选：A．
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题
11．已知椭圆，为其左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足,的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率=_____
【答案】
【解析】
分析：由题意得为的重心，设，由重心坐标公式可得的纵坐标，由可得内心的纵坐标与相同，然后利用的面积等于被内心分割而成的三个小三角形的面积之和建立的等式，从而可得离心率．
详解：设，
∵，
∴，
∴G为的重心，
∴G点坐标为．
∵，
∴轴，
∴I的纵坐标为．
在中，，
∴．
又I为的内心，
∴I的纵坐标即为内切圆半径．
由于I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，
∴，
∴
即，
∴，
∴椭圆C的离心率．
点睛：解答本题时注意两点：（1）读懂向量式的含义，正确地将向量式转化为几何关系，这是解题的基础．（2）求椭圆的离心率时，要把条件中给出的几何关系转化为关于的等式或不等式，通过解方程或不等式可得离心率或其范围．
12．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.
【答案】
【分析】
首先找到特殊位置，即取P在上顶点时，内心和重心都在y轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P的运动而变化，可得：GI始终垂直于x轴，可得内切圆半径为y0，再利用等面积法列式解方程可得：.
【详解】
当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，
内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，
由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，
设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：
设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，
连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，
则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，
可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|，
由内切圆的性质可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2，
所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2
=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，
而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，
由角平分线的性质可得，所以可得OM，
所以可得MN=ON﹣OM，
所以ME=OE﹣OM=x0，
所以，即INPEy0，
（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），
所以整理为：，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于，， 的齐次式，化简可得.本题属于难题.
13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆半径是________.
【答案】
【分析】
设内切圆的半径为，由椭圆方程分析可得，，的值，由勾股定理分析可得
，，解可得和的值，计算可得的面积与周长，由内切圆的性质计算可得内切圆半径.
【详解】
解：设内切圆的半径为，由椭圆的方程，
其中，，，.
因为是过且垂直于长轴的弦，
则有，，
解得，.
的周长.
面积，
由内切圆的性质可知，有，解得.
故内切圆的半径为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，利用三角形面积公式进行转化是解题关键，属于中档题.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为____________.
【答案】
【分析】
先求出，，，求出，，进而可以求出的周长和面积，设的内切圆半径为，由即可求出，利用坐标和半径即可以求出圆心坐标，从而得出圆的方程.
【详解】
设的内切圆半径为，由椭圆的方程知：，，
则，因为垂直于轴，
所以 ，，
解得：，，
的周长为，
其面积为：，
由内切圆的性质得：，即，解得：，
圆心横坐标为：，所以圆心坐标为，
所以所求圆的方程为：，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质以及圆的方程，属于中档题.
15．如图,设椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若△ABF2的内切圆的面积为π,则|y1-y2|=_____.
【答案】3
【解析】
【分析】
由已知内切圆半径，从而求出，再由面积，即可求出答案
【详解】
椭圆的左、右焦点分别为,，
过焦点的直线交椭圆于两点，内切圆的面积为
内切圆半径，
面积
面积
则
故答案为
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，三角形内切圆的性质和三角形的面积公式等知识点，在解题过程中一定要注意面积的计算，属于中档题。
16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，若，的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为________.
【答案】
【分析】
椭圆，根据，的内切圆的面积为，解得的周长为，结合三角形面积公式，即可求得的离心率为.
【详解】
椭圆，
令，得
又的内切圆面积为，
内切圆半径为，
由椭圆的定义可得的周长为，
的面积为
即有，
又
解得
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的离心率，解题关键是掌握椭圆离心定义和三角形内切圆半径的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
17．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________.
【答案】
【解析】
令直线：，与椭圆方程联立消去得，可设，则，．可知，又，故．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径，其面积最大值为．故本题应填．
点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(１)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(２)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等．
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的内切圆半径为________．
【答案】
【分析】
求出△ABF1的周长和面积，可得内切圆半径．
【详解】
因为椭圆的左、右焦点分别为，
所以直线为：，
代入椭圆方程可得：，
设两点坐标为， ，
则，
故的面积， 的周长C=4a=8，
所以的内切圆半径为，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：考查三角形内切圆半径．椭圆中过一个焦点的弦与另一焦点构成的三角形的周长为长轴长的2倍，即．利用三角形面积可求解.
19．设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左，右焦点，是△的内心，若的面积是面积的3倍，则该椭圆的离心率为_____．
【答案】
【分析】
利用内切圆半径可分别表示出和，利用两三角形面积的比例关系可得到，进而求得离心率.
【详解】
设内切圆半径为
又，
本题正确结果：
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用内切圆半径表示出两个三角形的面积，从而构造出关于的齐次方程.
20．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________．
【答案】
【详解】
考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程．
解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则.
直线IF1与IF2的斜率之积：，
而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为
因此有.
再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴，
离心率e满足的椭圆，
其标准方程为.
解法二：令，则．三角形PF1F2的面积：
，
其中r为内切圆的半径，解得.
另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：
从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为：
.
本题中：，代入上式可得轨迹方程为：.
21．已知椭圆C：的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点，如果△BMN的重心恰好为椭圆的左焦点F，则直线方程为___________
【答案】
【分析】
利用椭圆的离心率以及经过的点，求出，得到椭圆方程，设出，利用重心坐标结合平方差法，转化求解直线的斜率，然后求解直线方程．
【详解】
解：由题意得，
又，解得．
椭圆的方程为．
椭圆左焦点的坐标为，
设线段的中点为，，
由三角形重心的性质知，从而，，，
解得，，
所以点的坐标为．
设，，，，则，，且，
以上两式相减得，
，
故直线的方程为，即．
故答案为：．
【点睛】
弦中点问题的解决方法：
（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点设出弦的两端点坐标；
②代入代入圆锥曲线方程；
③作差两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________.
【答案】
【分析】
运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．
【详解】
解：设的内切圆与相切于D，E，F，
设，
则，
由椭圆的定义，可得，，
即有，
即有：，即，
再由，
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆的方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于中档题．
23．设椭圆 的左、右焦点分别为 ，M为椭圆上异于长轴端点的一点， ， 的内心为I，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】
设圆与MF1、MF2，分别切于点A，B，根据切线长定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2，所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|，由此可得结论．
【详解】
由题意，|MF1|+|MF2|=4，而|F1F2|=2，
设圆与MF1、MF2，分别切于点A，B，根据切线长定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2，
所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|=a-c=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆锥曲线的综合，考查切线长定理，考查椭圆的定义，属于中档题．和内切圆相关的问题可以联想到面积分割法和切线长定理.第7讲 与四心有关
一、单选题
1．如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，是轴正半轴上一点，交椭圆于A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
2．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，若C上存在一点P，使得，且内切圆的半径大于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆：，的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于．若的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
6．设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为△PF1F2的内心，且，若椭圆的离心率为e，则λ＝（ ）
A． B．1 C．e D．2
10．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知椭圆，为其左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足,的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率=_____
12．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.
13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆半径是________.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为____________.
15．如图,设椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若△ABF2的内切圆的面积为π,则|y1-y2|=_____.
16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，若，的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为________.
17．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的内切圆半径为________．
19．设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左，右焦点，是△的内心，若的面积是面积的3倍，则该椭圆的离心率为_____．
20．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________．
21．已知椭圆C：的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点，如果△BMN的重心恰好为椭圆的左焦点F，则直线方程为___________
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________.
23．设椭圆 的左、右焦点分别为 ，M为椭圆上异于长轴端点的一点， ， 的内心为I，则 __________第8讲 综合应用
一、单选题
1．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴，轴分别交于点，，当（为坐标原点）的面积最小时，（，为椭圆的两个焦点），则此时中的平分线的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用直线与椭圆相切可求得直线的方程为,从而得到,结合基本不等式即可求出面积最小时的取值情况,再利用余弦定理和面积公式即可求出结论.
【详解】
由题可知,直线的斜率一定存在,故可设直线的方程为,
联立,
又直线与椭圆相切,所以,
即①,
又直线过点,即有②,
且在椭圆上,即有③,
由①②③可得,
因此直线的方程为,
∴,,
∴,
∵,
∴,∴,
当且仅当时等号成立,此时面积最小,
设,,则,
由余弦定理,可知,
∴,,
又,即,
∴,∴,即,
设在中,的平分线长度为,
则,
∴,
故选:B.
【点睛】
本题主要综合考查了直线与椭圆的位置关系,以及均值不等式和余弦定理,对学生综合运用及计算能力要求较高,有一定难度.
2．比利时数学家Germinal Dandelin发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，作出圆柱的轴截面，由于,所以，而由已知可求出的长，从而可得，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得，由此可求出离心率.
【详解】
对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为，，延长与圆柱面相交于，，过点作，垂足为.
在直角三角形中，，，
所以，又因为，
所以.
由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即，则可求得，
所以，
故选：D.
【点睛】
此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.
3．一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点的正上方有一个光源，与球相切，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据投影确定，解得离心率
【详解】
由题意得，选A.
【点睛】
本题考查椭圆离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．如图，已知，为椭圆：（）的左、右焦点，过原点 的直线与椭圆交于两点（），若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据题意证明为矩形，再根据椭圆的性质解得，再在中求解即可.
【详解】
解：由两边平方得，所以，
由椭圆的对称性知四边形为矩形，
又因为，所以，
又因为，
由矩形的面积公式与椭圆的定义得，
解得：，
所以，即是方程 的实数根，
又因为，所以
所以，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的定义、方程、性质等，考查数学运算能力，是中档题.
5．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率．
【详解】
解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，且由，可得，
所以，则，
由余弦定理可得
，
即，
∴椭圆的离心率，
故选：A．
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，其中涉及到椭圆的定义以及余弦定理，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.
6．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据直角三角形性质得A在圆上，解得A点横坐标，再根据条件确定A横坐标满足条件，解得离心率.
【详解】
由题意得，所以A在圆上，与联立解得，
因为，且，
所以
因此，
解得
即，即，选A.
【点睛】
本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.
7．若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，且，则的斜率为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
点代入椭圆方程，点到准线距离和，解得，由，得，联立直线与椭圆方程得到，联立消去即可求出
【详解】
解：由题意可得，解得，
所以椭圆，
设：,设
因为，所以
由得
则结合，联立消去解得
故选：B.
【点睛】
在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：
①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；
②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.
8．已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先延长，交于点，连接，根据题意得到
.得的取值范围是：.
【详解】
延长，交于点，连接，
因为点是内切圆的圆心，
所以平分.
因为，所以为的中点.
又因为为的中点，
所以
.
所以的取值范围是：.
故选：C
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义，同时考查了三角形内切圆的性质，属于难题.
9．已知 分别为椭圆：的左 右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
容易知道，设：，：，求出，两点坐标，则，设与的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得：，，可知，再利用基本不等式求值.
【详解】
由已知得、，设椭圆上动点，
则利用两点连线的斜率公式可知，，
设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设，
令得，，即，，则
设与的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得：，，
又，
，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为
故选：A
【点睛】
结论点睛：本题考查椭圆的基本性质，解题的关键是要熟记椭圆的基本性质：若、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，则直线与直线的斜率之积为定值，即，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题.
二、填空题
10．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当(为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是__________．
【答案】
【详解】
分析：求出切线方程，可得三角形面积，利用基本不等式求出最小值时切点坐标，设，利用余弦定理结合椭圆的定义，由三角形面积公式可得，，根据与椭圆的定义即可的结果.
详解：由题意，切线方程为，
直线与轴分别相交于点，
，
，
，
，
，当且仅当时，
为坐标原点）的面积最小，
设，
由余弦定理可得，
，
‘
，，
的内角平分线长度为，
，
，
，故答案为.
点睛：本题考查椭圆的切线方程、椭圆的定义、椭圆几何性质以及利用基本不等式求最值、三角形面积公式定义域、余弦定理的应用，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，属于难题.在解答与椭圆两个焦点有关的三角形问题时，往往综合利用椭圆的定义与余弦定理解答.
11．已知椭圆E：，点A，B分别是椭圆E的左顶点和上顶点，直线AB与圆C：x2+y2＝c2相离，其中c是椭圆的半焦距，P是直线AB上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，若存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e2的取值范围是_____．
【答案】[，）．
【分析】
根据直线和圆相离得到a2b2＞c2（a2+b2），根据等腰三角形得到2e4﹣5e2+1≤0，计算得到答案.
【详解】
AB所在直线方程为，即bx﹣ay+ab＝0，
又直线AB与圆C：x2+y2＝c2相离，∴c，
即a2b2＞c2（a2+b2），∴a2（a2﹣c2）＞c2（2a2﹣c2），
整理得：e4﹣3e2+1＞0，解得0＜e2；
又存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，
则在Rt△OPN中，OPONc，
∴，即a2b2≤2c2（a2+b2），
∴a2（a2﹣c2）≤2c2（2a2﹣c2），
整理得2e4﹣5e2+1≤0，解得e2＜1．
∴e2的取值范围是[，）．
故答案为：[，）.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
12．已知椭圆E：，点P(2，t)，F为椭圆的左焦点，过点P作椭圆的切线PA、PB，切点分别为A、B，则ABF面积的范围是__________．（经过椭圆上一点(x0，y0)的椭圆的切线方程是：）
【答案】
【分析】
先设点，并表示出切线的方程和切线的方程，接着表示出直线的方程并确定直线过定点，且定点是椭圆的右焦点，再联立方程求得，，最后表示出求其范围即可.
【详解】
解：设点，，
所以切线的方程为，切线的方程为，
因为点在切线和切线上，
所以，所以直线的方程为
所以直线过定点，且定点是椭圆的右焦点，
联立方程，消去得：，
所以，，
令，则，，则
则
故答案为：
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，求椭圆内的焦点三角形的面积范围，是偏难题.
13．已知圆C的方程，P是椭圆上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为_______________
【答案】．
【解析】
试题分析：设点，则；设，，，
，，
，设，，；
，则在递减，在递减，且，所以的取值范围为．
考点：1．平面向量的数量积运算；2．椭圆的几何性质．
14．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为__________.
【答案】
【分析】
设出点坐标，根据相切关系分析得到的直线方程，由此表示出的坐标并表示出的面积，再根据在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值.
【详解】
设，点坐标为，点坐标为，
因为，
所以化简可得，所以是方程的两个解，
所以直线的方程为，所以且，
所以的面积，且，
所以，所以，取等号时，即或，
综上可知：面积的最小值为，
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：和圆的切线有关的结论如下：
（1）过圆上一点作圆的切线，则切线方程为；
（2）过圆外一点作圆的切线，切点为，则直线的方程为.
15．如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆.理由如下：如图（2），若两个球分别与截面相切于点，在得到的截口曲线上任取一点，过点作圆锥母线，分别与两球相切于点，由球与圆的几何性质，得，，所以，且，由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点为焦点.这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一个高为，底面半径为的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【分析】
根据题意可得椭圆的长轴长和短轴长，再代入离心率方程，即可得答案；
【详解】
如图所示，
根据题意可得椭圆上的点到两个切点的距离等于，，
，，
故答案为：.
【点睛】
本题考查数学文化、椭圆离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
16．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面 截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为___________.
【答案】
【分析】
设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，利用求得离心率，再利用平面几何知识求得得解
【详解】
如图，圆锥面与其内切球 分别相切与，连接，则，过作于，连接交于点，设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，在△中,
,
, ,
△△ , 解得,
,
即 , 所以椭圆离心率为
在△中
解得,
故答案为：
【点睛】
利用求得离心率是解题关键.
17．椭圆，直线，直线，为椭圆上任意一点，过作且与直线交于点，作且与交于点，若为定值，则椭圆的离心率为________.
【答案】
【解析】
令（为常数），设，由平行四边形知识，，设点，因为，所以，此方程即为椭圆方程，即，故答案为.
点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系以及椭圆离心率的求法，属于中档题；设，根据平行四边形知识可将为定值得到椭圆方程，即可得到离心率.
18．已知F是椭圆的右焦点，直线交椭圆于A、B 两点，若，则椭圆C 的离心率是_____．
【答案】
【分析】
设AAF=n，由对称性结合余弦定理在中，得到mn=3，
联立直线与椭圆，求得弦长，在中，由余弦定理得到-，可得a，b的关系，即可计算e.
【详解】
设椭圆的左焦点为，由对称性可知，
设AAF=n，在中，由余弦定理可得=+，又m+n=2a，所以-4，即mn=3,
联立直线与椭圆，得A（）,B（）,则=；
又在中，由余弦定理可得=+ =，
得到-，
所以有=-，即=5，=4，
所以e=.
故答案为.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了焦点三角形问题，涉及余弦定理，考查了运算能力，属于中档题.
19．已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．
【答案】①③
【分析】
运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；
通过的变化，可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③．
【详解】
解：椭圆的两个焦点分别为
，和，，
短轴的两个端点分别为和，
设，点在椭圆上，且满足，
由椭圆定义可得，，
即有在椭圆上．
对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于，轴对称，且，
则椭圆上满足条件的点有4个，
不存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，故②不正确；
对于③，点靠近坐标轴时或，越大，点远离坐标轴时，越小，所以，即时，取得最小值，此时，与
两方程相加得，即的最小值为 2，故③正确．
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．
20．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________．
【答案】
【分析】
作出图形，设点，则、，设点，利用点差法得出，利用斜率公式得出，进而可得出，可得出，由此可求得的值.
【详解】
设点，则、，设点，
则，两式相减得，即，
即，
由斜率公式得，，，故，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
21．设中心在原点的椭圆的两个焦点、在轴上，点是上一点.若使为直角三角形的点恰有个，且这个直角三角形中面积的最小值为，则的方程为______.
【答案】
【分析】
根据椭圆的对称性，若使为直角三角形的点恰有个，则上（或下）顶点与焦点构成的三角形为直角三角形，再根据三角形中面积的最小值为求解.
【详解】
如图所示：
.若使为直角三角形的点恰有个，
则，，
因为或，
所以，，
所以椭圆方程为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22．已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，恒为锐角，只需直线 与圆相离，从而可得，解不等式，再利用离心率即可求解.
【详解】
根据题意可得，圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，
因此当直线 与圆相离时， 恒为锐角，
故，解得
从而离心率.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题.
23．卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F1（﹣c，0），F2（c，0）是平面内的两个定点，|PF1| |PF2|＝a2（a是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a＝c，则曲线过原点；③若0＜a＜c，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是_____．
【答案】①②
【分析】
设，得到 ，得到，再对三个选项加以验证，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意设P（x，y），则，
即[（x+c）2+y2] [（x﹣c）2+y2]＝a4，
对于①中，因为把方程中的x被﹣x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称；
把方程中的y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称；
把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，
故此曲线是轴对称图形也是中心对称图形，所以是正确的．
对于②中，若a＝c，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，所以是正确的；
对于③中，因为（|PF1|+|PF2|）min＝2c，（当且仅当，|PF1|＝|PF2|＝c时取等号），
所以（|PF1||PF2|）min＝c2，所以若0＜a＜c，则曲线不存在，所以不正确．
故答案为：①②
【点睛】
本题主要考查了新定义的理解与应用，其中解答中认真审题，正确理解新定义，结合新定义运算出动点的轨迹方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
24．曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于.
其中，所有正确结论的序号是___________.
【答案】②③
【分析】
由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．
【详解】
对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得： [（x+1）2+y2] [（x﹣1）2+y2]＝a4
将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积a2sin∠F1PF2a2，所以③正确．
故答案为：②③．
【点睛】
关键点点睛：利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，利用解析式选择换元法求出值域．第8讲 综合应用
一、单选题
1．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴，轴分别交于点，，当（为坐标原点）的面积最小时，（，为椭圆的两个焦点），则此时中的平分线的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．比利时数学家Germinal Dandelin发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点的正上方有一个光源，与球相切，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，为椭圆：（）的左、右焦点，过原点 的直线与椭圆交于两点（），若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为
A． B． C． D．
7．若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，且，则的斜率为
A． B． C． D．
8．已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 分别为椭圆：的左 右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当(为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是__________．
11．已知椭圆E：，点A，B分别是椭圆E的左顶点和上顶点，直线AB与圆C：x2+y2＝c2相离，其中c是椭圆的半焦距，P是直线AB上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，若存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e2的取值范围是_____．
12．已知椭圆E：，点P(2，t)，F为椭圆的左焦点，过点P作椭圆的切线PA、PB，切点分别为A、B，则ABF面积的范围是__________．（经过椭圆上一点(x0，y0)的椭圆的切线方程是：）
13．已知圆C的方程，P是椭圆上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为_______________
14．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为__________.
15．如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆.理由如下：如图（2），若两个球分别与截面相切于点，在得到的截口曲线上任取一点，过点作圆锥母线，分别与两球相切于点，由球与圆的几何性质，得，，所以，且，由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点为焦点.这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一个高为，底面半径为的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则该椭圆的离心率为______.
16．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面 截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为___________.
17．椭圆，直线，直线，为椭圆上任意一点，过作且与直线交于点，作且与交于点，若为定值，则椭圆的离心率为________.
18．已知F是椭圆的右焦点，直线交椭圆于A、B 两点，若，则椭圆C 的离心率是_____．
19．已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．
20．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________．
21．设中心在原点的椭圆的两个焦点、在轴上，点是上一点.若使为直角三角形的点恰有个，且这个直角三角形中面积的最小值为，则的方程为______.
22．已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
23．卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F1（﹣c，0），F2（c，0）是平面内的两个定点，|PF1| |PF2|＝a2（a是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a＝c，则曲线过原点；③若0＜a＜c，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是_____．
24．曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于.
其中，所有正确结论的序号是___________.