导数第一问题型练习 学案 (含解析)

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名称 导数第一问题型练习 学案 (含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2022-04-27 15:59:25

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导数第一问题型练习
题型一:切线
1.(2022·山西·二模(理))已知.
(1)若的图象在x=0处的切线过点,求a的值;
【答案】(1)a=1
(1)因为,
所以,
所以,,
因为的图象在x=0处的切线过点,
所以,即a=1.
2.(2022·浙江嘉兴·二模)已知函数(是自然对数的底数).
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
【答案】(1);
(1)当时,,则,
求导得,有,于是得,
所以所求切线方程为:.
3.(2022·云南·二模)己知e是自然对数的底数,,常数a是实数.
(1)设,求曲线在点处的切线方程;
【答案】(1)
(1)设,则,
∴,,
∴,
∴曲线在点处的切线方程头,即.
∴曲线在点处的切线方程为.
4.(2022·云南·二模(理))已知e是自然对数的底数,.
(1)设,求曲线在点处的切线方程;
【答案】(1)
(1)设,则,
∴,,
∴,
∴曲线在点处的切线方程头,即.
∴曲线在点处的切线方程为.
5.(2022·天津三中一模)已知函数,.
(1)当时,求在处的切线方程;
【答案】(1)
(1)解:当时,,该函数的定义域为,
则,所以,,,
此时,曲线在处的切线方程为,即.
6.(2022·甘肃兰州·模拟预测)已知函数,为自然对数的底数.
(1)求在处的切线方程;
【答案】(1)
(1)由,得,则
,,
所以在处的切线方程为,
7.(2022·广西·模拟预测)设函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;
【答案】(1)
(1)函数的定义域为R,.
因为曲线在点处的切线与直线垂直,
所以,解得:.
8.(2022·河南·模拟预测(理))已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
【答案】(1)
(1)依题意,,
则,而,
故所求切线方程为,整理得,
9.(2022·江苏泰州·模拟预测)已知函数f(x)=2ex(x+1)-xsinx-kx-2,k∈R.
(1)若k=0,求曲线y=f(x)在x=0处切线的方程;
【答案】(1)
(1)当时,,,
则曲线在处切线的斜率为,
又,故切点为,因此切线方程为.
10.(2022·广西·模拟预测(理))设函数,曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值;
【答案】(1)
(1),由于曲线在点处的切线与直线垂直,
所以.由于在区间上恒成立,
所以在区间上递增,
所以.
11.(2022·天津市新华中学模拟预测)已知函数,.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
【答案】(1)
(1)当时,,得,则,,
所以在处的切线方程为,即.
12.(2022·北京通州·一模)已知函数,.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
【答案】(1)
(1)当时,,.
,,即切线斜率.
所以切线方程为.
题型二单调区间
1.(2022·山西吕梁·二模(理))已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
【答案】(1)函数在区间上单调递增,在区间上单调递减
(1)当时,,定义域为,
所以,
当时,,当时,,
所以当时,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
2.(2022·湖北·高三期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
【答案】(1)递减区间,递增区间;
(1)函数的定义域为,求导得:,
当时,,当时,,即函数在上递减,在上递增,
所以函数的递减区间是,递增区间是.
3.(2022·广西南宁·二模(理))设函数,.
(1)当时,讨论的单调性;
【答案】(1)增区间为、,减区间为
(1)解:当时,,.
则.
由得,,(舍去).
当时,成立,则在、上单调递增;
当时,成立,则在上单调递减.
综上,当时,函数的增区间为、,减区间为.
4.(2022·广东广州·二模)已知函数.
(1)若,求的单调区间;
【答案】(1)单调递减区间为,无单调递增区间;
(1)的定义域为,
由于,则,,
令,则,
当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减.
则.
∴函数的单调递减区间为,无单调递增区间﹒
5.(2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习)设函数.
(1)若,求的单调区间;
【答案】(1)的增区间为,减区间为
(1)当时,(),则,
由,得,
由,得,
所以 的增区间为,减区间为
6.(2022·江苏江苏·高三阶段练习)已知实数,函数,其中是自然对数的底数.
(1)当时,求函数的单调区间;
【答案】(1)递增区间为,递减区间为
(1)时,,
则,令,得,
时,,时,,
故的递增区间为,递减区间为.
7.(2022·湖北·安陆第一高中高三期中)已知函数在处切线与直线垂直.
(1)求的单调区间;
【答案】(1)的单调区间为和
(1)解:,
因为函数在处切线与直线垂直,
所以,解得,
所以,

令,则,令,则,
所以在单调递减,单调递增,
所以的单调区间为和;
8.(2022·山西·二模)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(1)解:,
令,则或,
若,,
所以函数在上为增函数;
若,
当或时,,当时,,
所以函数在和上递增,在上递减;
若,
当或时,,当时,,
所以函数在和上递增,在上递减;
综上所述,当时,函数在上为增函数;
当时,函数在和上递增,在上递减;
当时,函数在和上递增,在上递减;
9.(2022·江苏南通·模拟预测)已知函数.
(1)求函数的单调区间
【答案】(1)的减区间为,增区间为
(1)的定义域为,
若,当时,,,所以,递减;
当时,,,所以,递增
若,当时,,,所以,递减;
当时,,,所以,递增.
综上,时,的减区间为,增区间为
10.(2022·山西吕梁·二模)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
(1)解:由题意得.
当时,,故函数在区间上单调递增;
当时,在区间上,,在区间上,,
所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
综上所述,当时,函数在区间上单调递增;当时,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
11.(2022·四川泸州·三模)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(1)由题意知:,
当时,因为,所以在上恒成立,所以在上是减函数;
当时,由得:,所以,所以在
上是增函数,在上是减函数.
12.(2022·江苏南通·模拟预测)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(1)解:因为,.
所以,
当时,,函数在上单调递增.
当时,令,解得,
当时,当时,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
综上可得:当时在上单调递增.
当时在上单调递减,在上单调递增.
题型三:极致点,零点,最值问题
1.(2022·河北·模拟预测)已知函数,.
(1)求函数在上的极值;
【答案】(1)当时,取得极大值且,无极小值
(1)由题知,所以,
令,解得:.故当变化时,的变化情况如下表:
单调递增 极大值 单调递减
所以当时,取得极大值,,无极小值.
2.(2022·吉林·延边州教育学院一模)已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数;
(1),
①当时,,所以在上单调递增,无极值.
②当时,令,得,
当时,;当时,,
即函数在上单调递减,在上单调递增,
此时只有一个极值点,
综上所述,当时,在上无极值点;
当时,函数在上只有一个极值点.
3.(2022·重庆·模拟预测)已知函数.
(1)求的极值;
(1)

即函数在上单调递减,在上单调递增
所以的极小值为,无极大值.
4.(2022·四川攀枝花·三模(理))已知函数在处的切线斜率为(e为自然对数的底数).
(1)求函数的最值;
【答案】(1),无最大值;
(1)∵,
∴,
由,得,
∴,
∴,
由,可得或,由,可得,
∴函数在单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
当时,,又,当时,,且,
∴,无最大值;
5.(2022·河南·三模)已知函数.
(1)讨论极值点的个数;
(1)由题意可知,,
对于二次函数,.
当时,,恒成立,f(x)在单调递减,有0个极值点;
当时,二次函数有2个大于零的零点,由数形结合可知,有2个极值点;
当时,二次函数只有1个大于零的零点,由数形结合可知,有1个极值点.
6.(2022·福建三明·模拟预测)已知函数.
(1)讨论的极值;
【答案】(1)当时,函数无极值,当时,函数有极小值,无极大值;
(1)解:∵,
∴,
当时,恒成立,则函数在上单调递增,此时无极值,
当时,由得,由得,
∴函数在上单调递减,在上单调递增,
∴当时,函数有极小值,
∴当时,函数无极值,
当时,函数在处取得极小值,无极大值;
7.(2022·四川绵阳·三模(文))函数.
(1)若函数有2个零点,求实数a的取值范围;
【答案】(1)
(1)的定义域为,

当时,,当时,,
所以在上为减函数,在上为增函数,
所以当时,取得最小值,为,
因为当趋近于时,趋近于,当趋近于正无穷时,也趋近于正无穷,
所以若函数有2个零点,则,解得.
8.(2022·四川绵阳·三模(理))函数.
(1)若函数有2个零点,求实数a的取值范围;
【答案】(1)
(1)的定义域为,

当时,,当时,,
所以在上为减函数,在上为增函数,
所以当时,取得最小值,为,
因为当趋近于时,趋近于,当趋近于正无穷时,也趋近于正无穷,
所以要使函数有2个零点,则,解得.
9.(2022·四川省泸县第四中学模拟预测)设函数,其中,曲线在点处的切线经过点.
(1)求函数的极值;【答案】(1)极小值为,没有极大值
(1),则,,
故在处的切线方程,
把点代入切线方程可得,,,,
易得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
故当时,函数取得极小值,没有极大值.
10.(2022·黑龙江·哈九中三模(理))已知函数
(1)求在上的极值;【答案】(1)极小值0,无极大值;
(1)由题得,而,当时,在单调递减;
当时,在单调递增;
所以极小值,无极大值.
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