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6.2.2 平面向量的数量积（精讲）
考法一 向量的数量积
【例1】（1）（2021·巴音郭楞蒙古自治州）已知，，与的夹角为60°，则________.
（2）（2021·江苏高一）已知是边长为6的正三角形，求=____________
（3）（2020·江西宜春市·高一期末）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则
【答案】（1）10（2）（3）
【解析】（1）.故答案为：10.
（2）
如图是边长为的正三角形，所以，，
所以，故答案为：
（3）由题意画出示意图，如图，
则
.
【一隅三反】
1．（2020·全国高一）在中，，，，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】，，，.
故选：D.
2．（2020·全国高一）若，，则的最大值为________.
【答案】6
【解析】，所以.故答案为:
3．（2020·福建泉州市·高一期末）平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】如图，根据题意：，，且，，，
．故选：．
4．（2021·江苏高一）在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，
所以，，
因此
.故选：B.
考法二 向量的夹角
【例2】（1）（2021·广东潮州）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．-
（2）（2021·河南信阳市）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）D
【解析】（1）平面向量，满足，且，
，解得.故选：C
（2）∵非零向量，满足，
∴平方得，即 ，
则，由，
平方得得，即则，
则向量与的夹角的余弦值 ， ，
故选D.
【一隅三反】
1．（2021·胶州市）已知，，则与的夹角为_________.
【答案】
【解析】根据已知条件，
去括号得：，
所以，故答案为：
2．（2021·河南）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为
【答案】120°
【解析】
.
设向量与向量的夹角为则.又，所以
3．（2021·陕西西安市）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是______．
【答案】
【解析】因为两个非零向量，满足，所以，即，所以，，
设向量与的夹角为，则
因为，所以故答案为：
考法三 向量的投影
【例3】（1）（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·江西宜春市·高一期末）已知，为单位向量，，则在上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）C
【解析】（1）因为向量，，且与的夹角为所以，
故选：B
（2）因为，为单位向量，所以，
又，所以
所以，即，
所以，则，，
所以在上的投影为.故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·合肥市第六中学高一月考）已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意，，
所以向量在向量方向上的投影为.故选：A.
2．（2020·江西省崇义中学）设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】,,.
,,
向量在向量上的投影的数量为.故选：D.
3．（2020·全国高一专题练习）设向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，.
，.
设与方向相同的单位向量为，
向量和向量的夹角为，
则向量在向量上的投影向量为.故选:D.
4．（2020·安徽蚌埠市·高一期末）设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A．－ B．－ C． D．
【答案】A
【解析】依题意得，，
，
因此在方向上的投影为，故选A.
考法四 向量的模长
【例4】（2020·河北邢台市·）已知，，且向量与的夹角为，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】因为，，与的夹角为，
所以，则.故选：A.
【一隅三反】
1.（2020·台州市金清中学高一期末）已知，，与的夹角为，那么等于
【答案】
【解析】，
.
2．（2020·四川省叙永县第一中学校高一期中）已知、满足：，，，则_________.
【答案】
【解析】，因为，，所以，
所以，可得，故答案为：.
3．（2020·广东佛山市·高一期末）已知，，则的最大值等于
【答案】
【解析】因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，
4．（2020·浙江杭州市·高一期末）若平面向量满足，则_________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
.故答案为：
考法五 平面向量运算的综合运用
【例5-1】（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知平面向量，，，，在下列命题中：①为单位向量，且，则；②存在唯一的实数，使得；③若且，则；④与共线，与共线，则与共线；⑤.正确命题的序号是（ ）
A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③
【答案】C
【解析】①因为为单位向量，且，所以，则，故①正确；
②若，满足，但不能推出存在唯一的实数，使得，故②错误；
③向量的数量积运算不满足消去律，故③错误；
④若，则与不一定共线，故④错误；
⑤由于，所以，故⑤正确．故选：C．
【例5-2】（2020·全国高一）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．-5 D．5
【答案】A
【解析】因为点是线段的中点，所以向量，
所以，
又因为向量，方向相反，
所以
.故选：A.
【一隅三反】
1．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
（1）若，则；（2）若，则
（3）若，则（4）若，则或
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
【答案】B
【解析】已知非零平面向量，，，
（1）若，则，所以或，即（1）错；
（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；
（3）若，则，所以，则；即（3）正确；
（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；
故选：B.
2．（2020·湖北高一期末）已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以 ，
所以，即，
由基本不等式的性质可知，，
，所以．故选：C．
3．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，若对任意模为2的向量，均有
可得：可得:,
平方得到，即故选：B
4．（2020·浙江高一期末）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，非零向量的夹角为，且，
则，
不等式对任意恒成立，
所以，即，
整理得恒成立，
因为，所以，即，可得，
即实数的取值范围为.故选：A.
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6.2.2 平面向量的数量积（精讲）
考法一 向量的数量积
【例1】（1）（2021·巴音郭楞蒙古自治州）已知，，与的夹角为60°，则________.
（2）（2021·江苏高一）已知是边长为6的正三角形，求=____________
（3）（2020·江西宜春市·高一期末）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则
【一隅三反】
1．（2020·全国高一）在中，，，，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2020·全国高一）若，，则的最大值为________.
3．（2020·福建泉州市·高一期末）平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
4．（2021·江苏高一）在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．
考法二 向量的夹角
【例2】（1）（2021·广东潮州）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．-
（2）（2021·河南信阳市）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·胶州市）已知，，则与的夹角为_________.
2．（2021·河南）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为
3．（2021·陕西西安市）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是______．
考法三 向量的投影
【例3】（1）（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·江西宜春市·高一期末）已知，为单位向量，，则在上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2020·合肥市第六中学高一月考）已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020·江西省崇义中学）设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为( )
A．1 B． C． D．
3．（2020·全国高一专题练习）设向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·安徽蚌埠市·高一期末）设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A．－ B．－ C． D．
考法四 向量的模长
【例4】（2020·河北邢台市·）已知，，且向量与的夹角为，则（ ）
A． B．3 C． D．
【一隅三反】
1.（2020·台州市金清中学高一期末）已知，，与的夹角为，那么等于
2．（2020·四川省叙永县第一中学校高一期中）已知、满足：，，，则_________.
3．（2020·广东佛山市·高一期末）已知，，则的最大值等于
4．（2020·浙江杭州市·高一期末）若平面向量满足，则_________．
考法五 平面向量运算的综合运用
【例5-1】（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知平面向量，，，，在下列命题中：①为单位向量，且，则；②存在唯一的实数，使得；③若且，则；④与共线，与共线，则与共线；⑤.正确命题的序号是（ ）
A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③
【例5-2】（2020·全国高一）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．-5 D．5
【一隅三反】
1．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
（1）若，则；（2）若，则
（3）若，则（4）若，则或
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
2．（2020·湖北高一期末）已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·浙江高一期末）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
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