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6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算（精讲）
考法一 平面向量的基本定理
【例1-1】（2021·陕西）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】（2020·怀仁县大地学校高一月考）如图在梯形中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例1-3】（2020·全国高一课时练习）在三角形中，为的中点，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（2020·全国高一课时练习）在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【一隅三反】
1．（2020·上海）下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2020·河南高一其他模拟）如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·湖北高一期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·甘肃）设为所在平面内一点，，若，则( )
A． B．3 C． D．2
5．（2020·株洲市九方中学高一期末）如图，已知，若点满足，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国高一课时练习）中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是
A． B． C． D．
考法二 加减数乘的坐标运算
【例2】（1）（2020·北京高一期末）已知点，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·陕西省商丹高新学校高一期中）已知，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
（3）（2020·河南开封市·高一期中）已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
（4）（2021·黑龙江）已知向量，，，且，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【一隅三反】
1．（2020·咸阳百灵学校高一月考）已知点(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（ ）
A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2)
2．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知点，，则与反方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高一）已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京二十中高一期末）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-1 D．1
考法三 共线定理的坐标表示
【例3-1】（多选）（2020·三亚华侨学校高一月考）已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．(7，9)
【例3-2】（2020·全国高一课时练习）已知非零向量，，，若，，且，则（ ）
A．4 B．-4 C． D．
【例3-3】（2020·全国高一）若，，三点共线，则实数的值是（ ）
A．6 B． C． D．2
【一隅三反】
1．（2020·北京昌平区）下列各组向量中不平行的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2020·浙江杭州市·高一期末）与平行的一个向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高一）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020·全国高一课时练习）已知向量，，若，则实数（ ）
A．8 B． C．2 D．
5．（2020·全国高一单元测试）已知向量，．若向量与平行，则＝________.
考法四 向量与三角函数的综合运用
【例4-1】（2021·湖南）已知向量，，若//，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2020·本溪市燕东高级中学高一月考）设向量，，．
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：∥．
【一隅三反】
1．（2021·新疆）已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高一课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，若，则的值（ ）
A．4 B．3 C． D．0
3．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是( )
A． B． C．3 D．2
考法五 奔驰定理解三角形面积
【例5】（1）（2020·衡水市第十四中学高一月考）若点M是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ）.
A． B． C． D．
（2）（2020·江西宜春市·高一期末）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知为内一点，且有，则和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·怀仁市第一中学校云东校区）内有一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山西朔州市）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·全国高三专题练习）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·山西）是所在平面上一点，满足，则为（ ）
A． B． C． D．
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6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算（精讲）
考法一 平面向量的基本定理
【例1-1】（2021·陕西）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；
对B：因为，故B中两个向量不共线；
对C：因为，故C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；
对D：因为，故D中两个向量共线，故D中向量不可作基底.故选：B.
【例1-2】（2020·怀仁县大地学校高一月考）如图在梯形中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，
又，，所以.故选：D.
【例1-3】（2020·全国高一课时练习）在三角形中，为的中点，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为的中点，所以，所以，
又，所以，，故选：C.
【例1-4】（2020·全国高一课时练习）在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】建立以为原点，为轴的直角坐标系，
则，，.
又根据题意，得，，
则.
所以，，
则，，.
故选:B.
【一隅三反】
1．（2020·上海）下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于，因为，所以与共线，不能成为平面内的一组基向量，故不正确；
对于，因为，所以与不共线，能成为平面内的一组基向量，故正确；
对于，因为，所以与共线，不能成为平面内的一组基向量，故不正确：
对于，因为，所以与共线，不能成为平面内的一组基向量，故不正确；故选：B.
2．（2020·河南高一其他模拟）如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
3．（2020·湖北高一期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，故选D．
4．（2021·甘肃）设为所在平面内一点，，若，则( )
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【解析】若，，化为，
与比较，可得：，，解得．
则．故选．
5．（2020·株洲市九方中学高一期末）如图，已知，若点满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，即，
又，所以，因此.故选：C.
6．（2020·全国高一课时练习）中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，，，，
，，，；
以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
如图所示，
，，，
，，，，
设点为，，，
，
，，，，，
，
，①
直线的方程为，②，
联立①②，得，
此时最大，
．
故选：B．
考法二 加减数乘的坐标运算
【例2】（1）（2020·北京高一期末）已知点，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·陕西省商丹高新学校高一期中）已知，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
（3）（2020·河南开封市·高一期中）已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
（4）（2021·黑龙江）已知向量，，，且，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】（1）C（2）C（3）C（4）D
【解析】（1）点，，则.故选：C.
（2）由题得=（0,4）所以．故选C
（3）设点的坐标为，则，，
因为，即，所以，解得，所以.故选：C.
（4）因为，，
所以，，，
因为，，所以，，解得，，故选：D.
【一隅三反】
1．（2020·咸阳百灵学校高一月考）已知点(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（ ）
A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2)
【答案】A
【解析】(－3，3)，(－5，－1)，.故选：A
2．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知点，，则与反方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，,，则，
所以与反方向的单位向量为.故选：B.
3．（2020·全国高一）已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为向量，，所以,故选：D
4．（2020·北京二十中高一期末）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-1 D．1
【答案】C
【解析】由题意，向量，，所以，
可得，解得.故选：C.
考法三 共线定理的坐标表示
【例3-1】（多选）（2020·三亚华侨学校高一月考）已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．(7，9)
【答案】ABC
【解析】由点，，则
选项A . ,所以A选项正确.
选项B. ,所以B选项正确.
选项C . ,所以C选项正确.
选项D. ,所以选项D不正确故选：ABC
【例3-2】（2020·全国高一课时练习）已知非零向量，，，若，，且，则（ ）
A．4 B．-4 C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，所以；
又，，所以，解得．故选：D
【例3-3】（2020·全国高一）若，，三点共线，则实数的值是（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为三点，，共线，所以 ,
若，，三点共线，则和共线
可得：，解得；故选：B
【一隅三反】
1．（2020·北京昌平区）下列各组向量中不平行的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】对于A，有，所以与是平行向量；
对于B，有，所以与是平行向量；
对于C，是零向量，与是平行向量；
对于D，不满足，所以与不是平行向量.故选：D．
2．（2020·浙江杭州市·高一期末）与平行的一个向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若向量与向量平行，则，，则
设向量，则与符号相同，与符号相反，所以可知A，B，D不成立，
选项C：若，则，，，故C正确.故选：C.
3．（2020·全国高一）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，解得或，
所以“”是“” 充分不必要条件.故选：A.
4．（2020·全国高一课时练习）已知向量，，若，则实数（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由，，可得，，
因为，所以，解得.故选：D.
5．（2020·全国高一单元测试）已知向量，．若向量与平行，则＝________.
【答案】
【解析】向量， ，所以，
若向量与平行，可得 ，解得.故答案为:
考法四 向量与三角函数的综合运用
【例4-1】（2021·湖南）已知向量，，若//，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为//，故可得，故可得，
又.故选：
【例4-2】（2020·本溪市燕东高级中学高一月考）设向量，，．
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：∥．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1）由与垂直，则，
即，则．
（2），
，
最大值为32，所以的最大值为．
（3）由得，
即，所以．
【一隅三反】
1．（2021·新疆）已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，∴，∴．故选：A．
2．（2020·全国高一课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，若，则的值（ ）
A．4 B．3 C． D．0
【答案】C
【解析】在平面直角坐标系中，向量，，，，
因为，可得，即，所以.故选：C．
3．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是( )
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【解析】∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，
∴||＝.
当时，有最大值.故选C.
考法五 奔驰定理解三角形面积
【例5】（1）（2020·衡水市第十四中学高一月考）若点M是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ）.
A． B． C． D．
（2）（2020·江西宜春市·高一期末）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）如图，由5=+3得
2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以选C.
（2）分别取、的中点、，连接、，如图，
所以是的中位线，
因为，所以，
所以，所以、、三点共线，
所以，
所以即，所以即.故选：A.
【一隅三反】
1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知为内一点，且有，则和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设是的中点，则，
又因为，所以,，，
所以故选：
2．（2020·怀仁市第一中学校云东校区）内有一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，在内有一点，满足，
由奔驰定理可得，所以，故选A．
3．（2020·山西朔州市）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
∵，∴．
设中点为，中点为，则,
∵为的中位线，且，
∴，即．选A．
4．（2020·全国高三专题练习）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点是所在平面上一点，又，
所以,即,即，
则点在线段上，且,
又，,
又，即，
所以点在线段上，且,
，
故选：C.
5．（2021·山西）是所在平面上一点，满足，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为
所以,选B.
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