本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享
6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精讲）
考法一 数量积的坐标运算
【例1】（1）（2020·全国高一）向量，，则（ ）
A．1 B． C．7 D．0
（2）（2020·全国高一）已知向量，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·全国）已知，，则在上的投影的数量为（ ）
A． B． C． D．
（4）（2020·天津和平区·耀华中学高一期末）已知向量，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
（5）（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围______.
【一隅三反】
1．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）向量，则（ ）
A．1 B． C． D．6
2．（2020·广东高一期末）向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为60° D．与的夹角为
3．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知向量，则向量在上的投影为（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2020·北京高一期末）已知向量，，若，那么m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2020·沙坪坝区·重庆八中高一期末）已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·湖南郴州市·高一月考）若向量，，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·河北唐山市·唐山一中高一月考）平面向量，，（），且与的夹角与与的夹角互补，则（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______；
考法二 巧建坐标解数量积
【例2】（2020·四川高一期末）如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（ ）
A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0]
【一隅三反】
1．（2021·湖南）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，则·=_____.
2．（2020·山东济南市·）在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．－1 D．-2
3．（2021·山西）已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为CD，BC上的点，若，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
考法三 数量积与三角函数综合运用
【例3】（2020·广东揭阳市·高一期末）已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.
【一隅三反】
1.向量，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
2．（2020·北京二十中高一期末）已知是锐角，，，且，则为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．30°或60°
3．（2021·新疆）已知向量,,其中,且.
(1)求和的值;
(2)若,且,求角.
4．（2021·江苏）已知向量
(1)若，求证：;
(2)若向量共线，求.
考法四 数量积与几何的综合运用
【例4】（2020·陕西渭南市·高一期末）已知向量，，.
（1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件；
（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.
【一隅三反】
1．（2020·唐山市第十一中学高一期末）已知，，，则的形状是（ ）．
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
2．（2020·全国高一课时练习）已知、、且
（1）证明：是等腰直角三角形
（2）求．
3．（2020·全国高一课时练面直角坐标系中，已知向量，且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享
6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精讲）
考法一 数量积的坐标运算
【例1】（1）（2020·全国高一）向量，，则（ ）
A．1 B． C．7 D．0
（2）（2020·全国高一）已知向量，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·全国）已知，，则在上的投影的数量为（ ）
A． B． C． D．
（4）（2020·天津和平区·耀华中学高一期末）已知向量，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
（5）（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围______.
【答案】（1）B（2）C（3）B（4）D（5）
【解析】（1）因为，，所以，故选：B.
（2）设与的夹角为，则，
又，，即与的夹角是.故选：C
（3）由题意知，，在上的投影的数量为，故选：B.
（4）因为，所以，解得：，故选：D
（5）因为与的夹角为钝角，且不反向， ， 即解得
当两向量反向时，存在使即，解得
所以的取值范围.故答案为：.
【一隅三反】
1．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）向量，则（ ）
A．1 B． C． D．6
【答案】D
【解析】因为所以故选：D
2．（2020·广东高一期末）向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为60° D．与的夹角为
【答案】B
【解析】∵向量，，∴，∴.故选：B.
3．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知向量，则向量在上的投影为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量，
所以向量在上的投影为故选：A
4．（2020·北京高一期末）已知向量，，若，那么m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】向量，，若，则，即，解得.
故选：C.
5．（2020·沙坪坝区·重庆八中高一期末）已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，与的夹角为，，
，在方向上的投影为．故选：．
6．（2020·湖南郴州市·高一月考）若向量，，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，
则，,，.故选：A.
7．（2020·河北唐山市·唐山一中高一月考）平面向量，，（），且与的夹角与与的夹角互补，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由已知，
，
，
∵与的夹角与与的夹角互补，
∴，解得．故选：A．
8．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______；
【答案】
【解析】由题意 ，即，，∴，
若，则，解得，综上的范围是．
故答案为：．
考法二 巧建坐标解数量积
【例2】（2020·四川高一期末）如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（ ）
A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0]
【答案】A
【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下所示：
故可得，设点，
因为点在线段上，故可得.
故，
故当时，取得最小值，
当或时，取得最大值.故.故选：A.
【一隅三反】
1．（2021·湖南）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，则·=_____.
【答案】
【解析】以为坐标原点，建立直角坐标系如图：
因为直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，
所以，，，，
所以，，
则．
故答案为：
2．（2020·山东济南市·）在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．－1 D．-2
【答案】C
【解析】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，
，，，，
∴，
∴当时，取得最小值．
故选：C．
3．（2021·山西）已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为CD，BC上的点，若，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，以为轴，为轴建立直角坐标系，
设，，.
故，故，故或.
，故，故或.
，
当时，有最小值为.
故选：.
考法三 数量积与三角函数综合运用
【例3】（2020·广东揭阳市·高一期末）已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.
【解析】（1）因为，所以，于是，
又，所以；
（2）.
因为，所以，从而
于是，当，即时，取到最大值2；
当，即时，取到最小值.
【一隅三反】
1.向量，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】由题意可得 ，即 ．
∴，故选A．
2．（2020·北京二十中高一期末）已知是锐角，，，且，则为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．30°或60°
【答案】B
【解析】∵，，且，
∴，求得，，由是锐角，所以.故选：B.
3．（2021·新疆）已知向量,,其中,且.
(1)求和的值;
(2)若,且,求角.
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)∵,∴,即.
代入,得,
又,则,.
则.
.
(2)∵,,∴.
又,∴.
∴==.
由,得.
4．（2021·江苏）已知向量
(1)若，求证：;
(2)若向量共线，求.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）当时，
又
（2）因为向量共线，即
当，则与矛盾，故舍去；
当时，由得：
又
另解：由得所以
考法四 数量积与几何的综合运用
【例4】（2020·陕西渭南市·高一期末）已知向量，，.
（1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件；
（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）已知向量，，，
若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.
，，故知，∴实数时，满足条件.
（2）若为直角三角形，且为直角，则，∴，解得.
【一隅三反】
1．（2020·唐山市第十一中学高一期末）已知，，，则的形状是（ ）．
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】根据已知，有，，，
因为，所以，即．故为直角三角形故选：A
2．（2020·全国高一课时练习）已知、、且
（1）证明：是等腰直角三角形
（2）求．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：由题意得，
因为，所以所以是直角三角形
又，，，是等腰直角三角形
（2）解：设点，则，
，且，解得，，，
，，，，．
3．（2020·全国高一课时练面直角坐标系中，已知向量，且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）16.
【解析】（1）由题意得，
因为，，
所以，即，
所以与之间的关系式为： ①
（2）由题意得，，
因为，
所以，即，②
由①②得或
当时，，，
则
当时，，，
则
所以，四边形的面积为16.
联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸
