本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享
6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精练）
【题组一 数量积的坐标运算】
1．（2021·深圳市龙岗区）已知向量，，则（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【解析】因为向量，，所以，故选：C
2．（2020·广东高一期末）若则（ ）
A．-5 B．5 C．-6 D．6
【答案】A
【解析】因为，所以.故选：A.
3．（2020·湖北高一期末）已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．1 B． C． D．-1
【答案】B
【解析】由题意，，，可得，则，
所以，，
所以向量在向量方向上的投影为.故选：B.
4．（2020·湖北武汉市·高一期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，，
∴.故选：D.
5．（2020·安徽合肥市·高一期末）已知点，，，，则向量在方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，，，，，所以，，
则向量在方向上的投影是.故选：A.
6．（2020·四川内江市）已知向量，，，若，，则（ ）
A．14 B．-14 C．10 D．6
【答案】C
【解析】向量，，，
，可得，解得，，
，可得，解得，
，则．故选：．
7．（2020·山东聊城市·高一期末）向量，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设为与的夹角，，，
则，，
又，. 故选：.
8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知向量，，若 ，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】，
因为，所以，解得：，故选：A
9．（2020·全国高一课时练习）设，且在轴上的投影为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，向量在轴上的投影为2，可设，
因为，可得，解得，所以.故选：B.
10．（2021·江苏高一）已知平面向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即，又，，故，解得.故选：B.
11．（2020·全国高一）已知向量，若为钝角，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】为钝角，且不共线，，解得且，
的范围是，，.故选：D.
12．（多选）（2021·江苏高一）已知向量，，若，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】AC
【解析】因为向量，，所以，
若，则，即，解得或，
故A正确，B错；
当时，；
当时，；
故C正确，D错.故选：AC.
13．（多选）（2020·全国高一）设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】CD
【解析】因为，，
所以，
所以，故A错误；
因为，，
所以，又，
则，
所以与不平行，故B错误；
又，故C正确；
又，
又与的夹角范围是，
所以与的夹角为，故D正确.
故选：CD.
14．（2020·全国高一）已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是______.
【答案】
【解析】由已知，，
∵与垂直，∴，∴，
∴以．故答案为：．
15．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）已知向量，与向量
（1）当为何值时，；
（2）当为何值时，求向量与向量的夹角；
（3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，．
【解析】（1），，所以时，；
（2）由题意，，所以；
（3）由已知，
所以，所以时，取得最小值3，此时．
【题组二 巧建坐标解数量积】
1．（2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．
（1）求；
（2）若（，），求的值.
【答案】（1）14；（2）.
【解析】如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，
点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，.
（1）∵，，∴.
（2）∵，，，
由，得，∴解得∴.
2．（2020·江西高一期末）如图，在中，已知，，，D为线段BC中点，E为线段AD中点.
（1）求的值；
（2）求，夹角的余弦值.
【答案】（1）6；（2）.
【解析】（1）依题意可知为直角三角形，，如图建立坐标系：
则，，，
因为D为BC的中点，故，
∴，，
∴.
（2）由E为线段AD中点可知，
∴，，
∴
.
3．（2020·河北邢台市·高一期中）如图，扇形OAB的圆心角为，，点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点.
（1）若，试用向量，表示向量；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
则，，，，
所以，，.
设，则，解得，
所以.
（2）设，则，，
则，，
所以，
其中，（为锐角）.
因为，所以，
则，，
所以的取值范围为.
【题组三 数量积与三角函数综合运用】
1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知向量,若,则( )
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，整理得，
所以，故选：A.
2．（2020·辽宁高一期末）已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
将函数的图象向左平移个单位，得到，
该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数，
，，，，又，.故选：D.
3．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知是锐角，，，且，则为（ ）
A．15° B．45° C．75° D．15°或75°
【答案】D
【解析】，，，
，
又，则，
或，解得15°或75°.故选：D
4．（2020·辽宁大连市·）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若，则，即，
所以.故选：A
5．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知向量，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】，
，
，
，
.
故选：B.
6．（2020·泰兴市第二高级中学高一期末）已知，，其中.
（1）求向量与所成的夹角；
（2）若与的模相等，求的值（为非零的常数）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得：，则：，
因此：，因此，向量与所成的夹角为；
（2）由，，可得，
，
，，
，
整理可得：，即：，
， ，即，
，因此：，即：.
7．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知向量，.
（1）若角的终边过点，求的值；
（2），且角为锐角，求角的大小；
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）角的终边过点，点到原点距离为，∴，，
∴；
（2）∵，∴，，又为锐角，∴，∴．
8．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值．
【答案】（1）（2）．
【解析】（1）∵，∴，故，∴．
（2）∵与的夹角为，∴，故，
又，∴，，即．故的值为．
9．（2020·广西桂林市·高一期末）已知向量，向量，函数.
（1）求的最小正周期及其图象的对称轴的方程；
（2）若方程在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1），，；（2）.
【解析】（1）∵，，
∴，
可得
∵，
∴
因此，的最小正周期.
∵，，∴对称轴方程为，.
（2）∵，可得，
∴，得的值域为.
∵方程在上有解，
∴在上有解，即得实数的取值范围为.
10．（2020·甘肃白银市·高一期末）设向量．
（1）当时，求的值：
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），所以，
所以；
（2），则，所以，
故．
11．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）已知向量，，.
（1）若，，求实数的值；
（2）记，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2） .
【解析】（1）∵，∴ ，整理得：
∵，，解得：
（2）∵，，，
∴
∵，∴，
∴，
∴，
若恒成立，
则恒成立，
又∵，
∴，
故实数的取值范围为.
12．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（理））已知，，，若其图像关于点对称
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调区间；
（3）当时，求的值.
【答案】（1）；（2）在上的增区间是，减区间是；（3），.
【解析】（1），
∴
∵的图象关于点对称
∴，
即，
∵
∴
∴.
（2）的单调递增区间为：
；
单调递减区间为：
；
所以在上的增区间是，减区间是；
（3）∵
∴
即，
解得，
13．（2020·广东高一期末）已知向量.
（1）若，求tan2x的值；
（2）若f（x）＝ ，则函数f（x）的值域．
【答案】（1）,（2）
【解析】（1）因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以.
（2），
因为，所以，
所以，
所以.
14．（2021·广东湛江）已知向量，，且
（1）求及的值；
（2）若的最小值是，求实数的值．
【答案】（1），，（2）
【解析】（1）因为向量，，
所以，
，
所以
因为，所以，
所以，
（2）由（1）可得，
令，则，
令，其图像的对称轴为直线，
则问题转化为当为何值时，函数在上有最小值，
①当时，则函数在上递增，最小值为，不合题意，舍去，
②时，则函数在上递减，在上递增，则最小值为，解得或（舍去），
③当时，则函数在上递减，最小值为，解得，不合题意，舍去，
综上，
【题组四 数量积与几何综合运用】
1．（2020·全国高一课时练习）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是、、，则第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点、、，设第四个顶点为，分以下三种情况讨论：
①若四边形为平行四边形，则，即，
即，解得，此时，点的坐标为；
②若四边形是平行四边形，则，则，
即，解得，此时，点的坐标为；
③若四边形为平行四边形，则，即，
即，解得，此时，点的坐标为.
综上所述，第四个顶点的坐标为或或，所以不可能是，故选：D.
2．（2020·辽宁）已知向量．
（1）若为直角三角形，且为直角，求实数的值．
（2）若点能构成三角形，求实数应满足的条件 ．
【答案】（1）；（2）．
【解析】∵
即：
（2）若点能构成三角形，则不共线
∴
∴实数应满足的条件 是
3．（2021·重庆市）已知向量,．
（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；
（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1），，由得x=-2,y=-5．
（2），
若为直角，则， ∴，
又，∴，再由，
解得或．
4．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面上三点，，.
（1）若，求实数的值.
（2）若是以为斜边的直角三角形，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由于，则，
解得.
（2）
由题意得为直角，则.
即，故.
5．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（文））已知向量=,=,=,为坐标原点.
（1）若△为直角三角形，且∠为直角，求实数的值；
（2）若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为=，=，=，
所以，，
若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，
∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得．
（2）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，
得3（1﹣m）≠2﹣m，∴实数时，满足条件．
6．（2020·广东云浮市·高一期末）（1）已知向量，满足，，且，求的坐标．
（2）已知、、，判断并证明以，，为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．
【答案】（1）或；（2）为直角三角形，为直角，证明见解析.
【解析】（1）设，则，又，所以，
联立，解得或．
于是或．
（2）是直角三角形，为直角．
证明如下：
∵，，
∴，
∴，即为直角三角形，为直角．
7．（2020·湖北襄阳市·襄阳五中高一月考）已知向量，，，．
（Ⅰ）若四边形是平行四边形，求，的值；
（Ⅱ）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【解析】（Ⅰ），，，
，，由，，；
（Ⅱ），，为直角，则，，
又，，再由，解得：或．
联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享
6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精练）
【题组一 数量积的坐标运算】
1．（2021·深圳市龙岗区）已知向量，，则（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
2．（2020·广东高一期末）若则（ ）
A．-5 B．5 C．-6 D．6
3．（2020·湖北高一期末）已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．1 B． C． D．-1
4．（2020·湖北武汉市·高一期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·安徽合肥市·高一期末）已知点，，，，则向量在方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·四川内江市）已知向量，，，若，，则（ ）
A．14 B．-14 C．10 D．6
7．（2020·山东聊城市·高一期末）向量，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知向量，，若 ，则（ ）
A． B． C．2 D．3
9．（2020·全国高一课时练习）设，且在轴上的投影为2，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·江苏高一）已知平面向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·全国高一）已知向量，若为钝角，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）（2021·江苏高一）已知向量，，若，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
13．（多选）（2020·全国高一）设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
14．（2020·全国高一）已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是______.
15．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）已知向量，与向量
（1）当为何值时，；
（2）当为何值时，求向量与向量的夹角；
（3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标．
【题组二 巧建坐标解数量积】
1．（2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．
（1）求；
（2）若（，），求的值.
2．（2020·江西高一期末）如图，在中，已知，，，D为线段BC中点，E为线段AD中点.
（1）求的值；
（2）求，夹角的余弦值.
3．（2020·河北邢台市·高一期中）如图，扇形OAB的圆心角为，，点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点.
（1）若，试用向量，表示向量；
（2）求的取值范围.
【题组三 数量积与三角函数综合运用】
1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知向量,若,则( )
A．1 B． C． D．
2．（2020·辽宁高一期末）已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知是锐角，，，且，则为（ ）
A．15° B．45° C．75° D．15°或75°
4．（2020·辽宁大连市·）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知向量，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
6．（2020·泰兴市第二高级中学高一期末）已知，，其中.
（1）求向量与所成的夹角；
（2）若与的模相等，求的值（为非零的常数）.
7．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知向量，.
（1）若角的终边过点，求的值；
（2），且角为锐角，求角的大小；
8．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值．
9．（2020·广西桂林市·高一期末）已知向量，向量，函数.
（1）求的最小正周期及其图象的对称轴的方程；
（2）若方程在上有解，求实数的取值范围.
10．（2020·甘肃白银市·高一期末）设向量．
（1）当时，求的值：
（2）若，且，求的值．
11．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）已知向量，，.
（1）若，，求实数的值；
（2）记，若恒成立，求实数的取值范围.
12．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（理））已知，，，若其图像关于点对称
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调区间；
（3）当时，求的值.
13．（2020·广东高一期末）已知向量.
（1）若，求tan2x的值；
（2）若f（x）＝ ，则函数f（x）的值域．
14．（2021·广东湛江）已知向量，，且
（1）求及的值；
（2）若的最小值是，求实数的值．
【题组四 数量积与几何综合运用】
1．（2020·全国高一课时练习）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是、、，则第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·辽宁）已知向量．
（1）若为直角三角形，且为直角，求实数的值．
（2）若点能构成三角形，求实数应满足的条件 ．
3．（2021·重庆市）已知向量,．
（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；
（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．
4．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面上三点，，.
（1）若，求实数的值.
（2）若是以为斜边的直角三角形，求实数的值.
5．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（文））已知向量=,=,=,为坐标原点.
（1）若△为直角三角形，且∠为直角，求实数的值；
（2）若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件.
6．（2020·广东云浮市·高一期末）（1）已知向量，满足，，且，求的坐标．
（2）已知、、，判断并证明以，，为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．
7．（2020·湖北襄阳市·襄阳五中高一月考）已知向量，，，．
（Ⅰ）若四边形是平行四边形，求，的值；
（Ⅱ）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值．
联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸
