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6.4.1平面向量在几何和物理中的运用（精练）
【题组一 平面向量在几何中的运用】
1．（2020·全国高一课时练习）若,且,则四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
【答案】C
【解析】∵，∴，，
∵，∴四边形是等腰梯形，选：C．
2．（2019·怀仁市）已知正方形ABCD的边长为1，则等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，因为正方形的边长为，
则，因为，所以，故选C．
3．（2020·宁夏吴忠中学高一期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（ ）
A．－ B．0
C．4 D．－1
【答案】A
【解析】依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，
因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，
所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，
所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，
当t＝时，·取得最小值－，
故选：A.
4．（2020·浙江高一期末）已知正方形的边长为3，其所在平面内一点，满足，则的最大值是__________．
【答案】6
【解析】如图，以A为坐标原点建立直角坐标系，
则，
设，，
，整理可得，
则，
，
则当时，取得最大值为6.
故答案为：6.
5．（2020·全国高一课时练习）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.
【答案】5
【解析】
由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：
设，
则
，当取得最小值.
故答案为：5
6．（2020·河南商丘市·高一期末）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则的最大值是_____．
【答案】7
【解析】由余弦定理得，，
所以以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，
，
，
当时，的最大值，最大值是7.
故答案为：7.
7．（2020·山东潍坊市·潍坊一中高一期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.
故填：.
8．（2020·江苏盐城市·高一期末）如图，在矩形中，，，圆M为的内切圆，点P为圆上任意一点， 且，则的最大值为________.
【答案】
【解析】以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，
因为在矩形中，，，所以圆M的半径为，
所以，，，， ，圆M的方程为，
设，又，所以，解得，
又点P是圆M上的点，所以（为参数），
所以，其中，
所以，当时，取得最大值，
故答案为：.
9．（2020·天津静海区·静海一中高一期中）如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____
【答案】
【解析】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：
由题可知，，
设，，故可得，
则，
故可得，
因的对称轴，
故可得的最小值为.
故答案为：.
10．（2020·全国高一课时练习）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【解析】因为是的中点，所以.
又因为，
所以
，
所以，即.
11．（2020·全国高一课时练习）如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：
（1）BE⊥CF;
（2）AP=AB.
【答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析
【解析】如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
∴,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).
∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,
解得x=,∴y=,即P.
∴=4=,
∴||=||,即AP=AB.
12．（2020·山西运城市·高一期中）在四边形中，已知，，，.
（1）判断四边形的形状；
（2）若，求向量与夹角的余弦值.
【答案】（1）四边形是等腰梯形.（2）
【解析】（1）由题,因为,,所以,
又因为,,所以四边形是等腰梯形
（2）设,所以,,
因为,所以,解得,所以,,
设向量与夹角为,则,
故向量与夹角的余弦值为
13．（2019·全国高一课时练习）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系.
设，则，.
设，则.
又因为，，所以，
所以，解得 ，所以.
所以.
又因为，
所以，.
又因为，所以.
14．（2020·全国高一课时练习）在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB．
【答案】见解析
【解析】如图所示，
设=，=，则与的夹角为90°，故=0.
∵=-，(+)，
∴||=|+|==，
||=|-|==.
∴=，即CD=AB.
【题组二 平面向量在物理中的运用】
1．（2020·山东潍坊市·高一期中）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知，则G的大小为________，的大小为________．
【答案】
【解析】
如图，由向量分解的平行四边形法则，
计算可得：
故答案为：
2．（2020·全国高一课时练习）如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上（绳子的质量忽略不计，g=10m/s2），绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为，，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为______，______.
【答案】 5N
【解析】设绳子AC和BC的拉力分别为，，物体的重力用表示，则，.如图，以C为起点，分别作，，，则，，∴，，
∴绳子AC的拉力大小为，绳子BC的拉力大小为5 N.
故答案为：，5N
3．（2019·四川省乐至至宝林中学高一期末）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围.
【答案】
【解析】
如图建立坐标系，记OB、OA与轴的正半轴的夹角
分别为，则由三角函数定义得，
，
由于系统处于平衡状态，∴
∴ ，
【方法一】
移项，（1）、（2）平方相加得：，
即 ，
而存在正数使得系统平衡，∴△＝，
∴.（因滑轮大小忽略，写成亦可，
不扣分．这时均为0）
由（*）解得，由（2）式知
∴，这是关于的增函数，
∴正数的取值范围为 .
【方法二】
（1）、（2）平方相加得：，
由（1）知，，而
∴ 随单调递增，∴
（这里的锐角满足，此时）
且（写成不扣分，这时均为0）
∴从而，
∴，即，
∴, ∴正数的取值范围为.
4．（2019·全国高一课时练习）设作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示.
（1）求的大小；
（2）求的大小.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，且与的夹角为，.
（2），即.，.
5．（2020·全国高一课时练习）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求的大小.
【答案】50，
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，.
又由已知可得，
且，所以，
从而可知50，.
6．（2020·全国高一课时练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
【答案】
【解析】如图，∵，
∴，
∴，
即，
∴．
∵，∴．
7．（2020·全国高一课时练习）一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时，
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
【答案】（1）此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；（2）此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.
【解析】（1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，0B为邻边作，则此人的实际速度为.
在中，，所以，
实际前进的速度，
故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；
（2）如图（2），设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为.
在中，，
所以，
故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.
8．（2020·全国高一课时练习）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.
（1）求力、分别对质点所做的功；
（2）求力、的合力对质点所做的功.
【答案】（1）力对质点所做的功为，力对质点所做的功为；（2）.
【解析】（1），
力对质点所做的功，
力对质点所做的功，
所以，力、对质点所做的功分别为和.
（2）.
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6.4.1平面向量在几何和物理中的运用（精练）
【题组一 平面向量在几何中的运用】
1．（2020·全国高一课时练习）若,且,则四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
2．（2019·怀仁市）已知正方形ABCD的边长为1，则等于
A． B．
C． D．
3．（2020·宁夏吴忠中学高一期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（ ）
A．－ B．0
C．4 D．－1
4．（2020·浙江高一期末）已知正方形的边长为3，其所在平面内一点，满足，则的最大值是__________．
5．（2020·全国高一课时练习）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.
6．（2020·河南商丘市·高一期末）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则的最大值是_____．
7．（2020·山东潍坊市·潍坊一中高一期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.
8．（2020·江苏盐城市·高一期末）如图，在矩形中，，，圆M为的内切圆，点P为圆上任意一点， 且，则的最大值为________.
9．（2020·天津静海区·静海一中高一期中）如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____
10．（2020·全国高一课时练习）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.
11．（2020·全国高一课时练习）如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：
（1）BE⊥CF;
（2）AP=AB.
12．（2020·山西运城市·高一期中）在四边形中，已知，，，.
（1）判断四边形的形状；
（2）若，求向量与夹角的余弦值.
13．（2019·全国高一课时练习）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：.
14．（2020·全国高一课时练习）在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB．
【题组二 平面向量在物理中的运用】
1．（2020·山东潍坊市·高一期中）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知，则G的大小为________，的大小为________．
2．（2020·全国高一课时练习）如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上（绳子的质量忽略不计，g=10m/s2），绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为，，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为______，______.
3．（2019·四川省乐至至宝林中学高一期末）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围.
4．（2019·全国高一课时练习）设作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示.
（1）求的大小；
（2）求的大小.
5．（2020·全国高一课时练习）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求的大小.
6．（2020·全国高一课时练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
7．（2020·全国高一课时练习）一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时，
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
8．（2020·全国高一课时练习）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.
（1）求力、分别对质点所做的功；
（2）求力、的合力对质点所做的功.
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