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6.4.2 正余弦定理（精练）
【题组一 余弦定理】
1．（2020·福建宁德市·高一期末）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中，，，则边的长为______．
2．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则________.
3．（2020·长春市第二实验中学高一期中）在中，若，则的大小是_______.
3．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）在中，内角对应的边分别为，若，，则边长为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2020·安徽高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，，则（ ）
A．5 B． C．29 D．
5．（2020·吉林长春市）在中，角，，所对的边分别为，，，，则 。
6．（2020·衡东县欧阳遇实验中学高一期末）在中，已知，则角为_________.
7．（2020·石林彝族自治县民族中学高一月考）在中，已知，则的值是_________.
8．（2020·包头市第九中学高一期末）在△中，，那么这个三角形的最大角是
9．（2020·广西南宁市·南宁十中高二期中）已知，，为的三边，，则______.
10.（2020·全国高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，则内角A的大小是______.
11．（2020·全国高一课时练习）在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则______.
【题组二 正弦定理】
1．（2020·四川成都市·）在中，若角，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2020·山西运城市·高一月考）在中，，，，则角的值为（ ）
A． B． C． D．或
3．（2020·滦南县第一中学高一期末）在中，若，，，则角B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．45°或135°
4．（2020·江西赣州市·高一期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等于（ ）
A． B． C．4 D．
5．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高一月考）设的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高一期中）中，，，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A．4 B． C． D．
7．（2020·湖南省长沙县第九中学高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，则________.
8．（2020·上海市进才中学高一期中）在中，若，，，则__________．
9．（2020·灵丘县豪洋中学高一期末）已知的三个内角之比为，，那么最大边长等于__________.
10.（2020·黑龙江鹤岗市）已知的内角所对的边分别为，且，解三角形.
11．（2020·北京丰台区·高一期末）在中，已知，，，求c和的值．
【题组三 正余弦定理综合运用】
1．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）中，边，，的对角分别是，，，若，则角
2．（2020·山东滨州市·高一期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则________.
3．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则________.
4．（2020·贵州毕节市·高一期末）内角，，的对边分别为，，，若，，则__________．
5．（2020·安徽滁州市）已知中， 分别为内角的对边，且acosB+bcosA=3ccosC,则______．
6．（2020·云南省云天化中学高一期末）在中，内角，，C所对的边分别为a，b，c，已知，则
7．（2020·安徽蚌埠市·高一期末）在中，角所对的边长分别为．若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
8．（2020·全国高一课时练习）在中，三边上的高依次为，，，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
9．（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）设的内角，，所对边的长分别为，，，则下列命题正确的是（ ）．
（1）若，则． （2）若，则．
（3）若，则． （4）若，则．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
10．（2020·山西运城市·高一月考）若，且，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角或等腰三角形 D．等腰直角三角形
11．（2020·衡水市第十四中学高一月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为( )
A．a＝8 B．a＝9 C．a＝10 D．a＝11
12．（2020·全国高一课时练习）在中,内角所对的边分别是若,,则( )
A． B． C． D．
13．（多选）（2020·江苏南京市·高一期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B． C． D．6
14．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）中，已知，若解此三角形时有两解，则的取值范围为 _________．
15．（多选）（2020·江苏泰州市·高一期末）中，，，则下列叙述正确的是（ ）
A．的外接圆的直径为4.
B．若，则满足条件的有且只有1个
C．若满足条件的有且只有1个，则
D．若满足条件的有两个，则
16（多选）．（2020·湖北武汉市·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角三角形中，不等式恒成立
C．在中，若，，则为等腰直角三角形
D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为
【题组四 三角形的面积】
1．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是 ，则 b=（ ）
A．1+ B． C． D．2+
2．（2019·重庆外国语学校龙洲湾校区高一期中）已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则
A． B． C． D．
3．（2020·霍邱县第二中学高一月考）在中，已知，，若的面积，则的外接圆直径为（ ）
A． B．5 C． D．
4．（2020·盐城市伍佑中学高一期中）的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为( )
A． B． C． D．
5．（2020·安徽宣城市·高一期末（理））在中，角，，所对的边分别为，，．若，，时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）在中，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·胶州市教育体育局教学研究室高一期中）在中，、、分别是角、、的对边，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·吉化第一高级中学校）在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高一月考）中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
11．（2020·安徽亳州市·涡阳四中）已知的三边分别为，且边上的高为，则的最大值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2020·江西省临川第二中学）若的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为____．
13．（2020·北京高一期末）在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，，，那么b等于________.
14．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高一期末）在中，已知，，且最大内角为120°，则的面积为________．
15．（2020·河北唐山市·唐山一中高一月考）已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________.
16（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）设内角的对边分别为.若°，的面积为2，则的外接圆的面积为________.
17．（2020·北京101中学高一期末）在中，，，面积为，则________．
18．（2020·淮南第一中学）锐角中, 分别为内角的对边,已知，，，则的面积为__________．
19．（2019·浙江湖州市·湖州中学高一月考）在中，，，，则的内切圆面积为__________.
20．（2020·兴化市板桥高级中学高一期中）在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________．
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6.4.2 正余弦定理（精练）
【题组一 余弦定理】
1．（2020·福建宁德市·高一期末）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中，，，则边的长为______．
【答案】4
【解析】因为，，，所以，
故答案为：4
2．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则________.
【答案】60°
【解析】由余弦定理的推论得，
，.故答案为：60°
3．（2020·长春市第二实验中学高一期中）在中，若，则的大小是_______.
【答案】
【解析】设，，，由余弦定理可得；
．故答案为：．
3．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）在中，内角对应的边分别为，若，，则边长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】在中， ，，所以，
故选：A.
4．（2020·安徽高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，，则（ ）
A．5 B． C．29 D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得.故选：B
5．（2020·吉林长春市）在中，角，，所对的边分别为，，，，则 。
【答案】
【解析】在中,设
由余弦定理代入可得
6．（2020·衡东县欧阳遇实验中学高一期末）在中，已知，则角为_________.
【答案】
【解析】在中，，所以，，
又因为，所以.故答案为：
7．（2020·石林彝族自治县民族中学高一月考）在中，已知，则的值是_________.
【答案】
【解析】在中，已知，
则由余弦定理可得，
，
由正弦定理，可得.故答案为：.
8．（2020·包头市第九中学高一期末）在△中，，那么这个三角形的最大角是
【答案】
【解析】由正弦定理，，
设，
显然该三角形的最大角是角，
由余弦定理，可得，
因为，所以.
故选：B.
9．（2020·广西南宁市·南宁十中高二期中）已知，，为的三边，，则______.
【答案】0
【解析】，则，故.故答案为：0.
10.（2020·全国高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，则内角A的大小是______.
【答案】
【解析】∵,由余弦定理,∴代入可得.
又,∴,∴故答案为:
11．（2020·全国高一课时练习）在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则______.
【答案】
【解析】,是方程的两个根,由韦达定理可得,.
由余弦定理,得所以
故答案为:
【题组二 正弦定理】
1．（2020·四川成都市·）在中，若角，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：，则，
因为，所以， 故或.故选：D．
2．（2020·山西运城市·高一月考）在中，，，，则角的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，即，解得，
所以或，由得，所以，故选:C.
3．（2020·滦南县第一中学高一期末）在中，若，，，则角B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．45°或135°
【答案】B
【解析】在中，由正弦定理可知：，
因为，所以或因为，所以，因此，故选：B
4．（2020·江西赣州市·高一期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等于（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】，，，由正弦定理，可得．
故选：．
5．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高一月考）设的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由正弦定理得，∴．
又，∴为锐角，∴．故选B．
6．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高一期中）中，，，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，，
由余弦定理得：，所以，
由正弦定理得：，所以，此三角形的外接圆半径是故选：C
7．（2020·湖南省长沙县第九中学高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，则________.
【答案】或
【解析】因为，，，
由正弦定理得：，
因为，所以或，所以或，故答案为：或.
8．（2020·上海市进才中学高一期中）在中，若，，，则__________．
【答案】
【解析】因为在中，，，，
由正弦定理可得，所以.故答案为：.
9．（2020·灵丘县豪洋中学高一期末）已知的三个内角之比为，，那么最大边长等于__________.
【答案】3
【解析】因为的三个内角之比为，所以，，为最大边，
由正弦定理得，所以.
故答案为：3.
10.（2020·黑龙江鹤岗市）已知的内角所对的边分别为，且，解三角形.
【答案】，.
【解析】，，由正弦定理得：
，∴.
11．（2020·北京丰台区·高一期末）在中，已知，，，求c和的值．
【答案】；
【解析】因为，，，由余弦定理可得，，
，由正弦定理可得，，．
【题组三 正余弦定理综合运用】
1．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）中，边，，的对角分别是，，，若，则角
【答案】或
【解析】在中，由正弦定理知则，
因为角是的内角，所以，所以角等于或．故选：D．
2．（2020·山东滨州市·高一期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则________.
【答案】
【解析】，，
，，由于为三角形内角，可得．故答案为：．
3．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则________.
【答案】
【解析】，根据正弦定理：， ，
根据余弦定理：，又，
故可联立方程：，解得：.故答案为：.
4．（2020·贵州毕节市·高一期末）内角，，的对边分别为，，，若，，则__________．
【答案】
【解析】内角，，的对边分别为，，，且，
整理得，所以，
由正弦定理得，整理得，因为，所以，
故答案为：.
5．（2020·安徽滁州市）已知中， 分别为内角的对边，且acosB+bcosA=3ccosC,则______．
【答案】
【解析】 ∴利用余弦定理可得 ，整理可得：
∴由余弦定理可得： 故答案为．
6．（2020·云南省云天化中学高一期末）在中，内角，，C所对的边分别为a，b，c，已知，则
【答案】
【解析】解：∵，
∴由正弦定理可得：，
∴，
∴，
又∵，∴，∴，可得，，
又，∴
7．（2020·安徽蚌埠市·高一期末）在中，角所对的边长分别为．若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】根据题意及正弦定理得
，即，
所以，结合三角形内角的取值范围得到，所以三角形是等腰三角形故选：.
8．（2020·全国高一课时练习）在中，三边上的高依次为，，，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
【答案】C
【解析】设的内角,,所对的边分别为,,,,,分别为边,,上的高.
因为,所以可设,,.
由余弦定理,得,则,
所以为钝角三角形,故选:C.
9．（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）设的内角，，所对边的长分别为，，，则下列命题正确的是（ ）．
（1）若，则． （2）若，则．
（3）若，则． （4）若，则．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
【答案】B
【解析】（1），可以得出，所以，故正确；
（2），得出，故错误；
（3）假设，则，与矛盾，∴正确；
（4）取，满足，，错误．故选：B
10．（2020·山西运城市·高一月考）若，且，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角或等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】若，由正弦定理得，即
又，，由正弦定理及，得，即，
又，所以，即，
又，所以是等边三角形故选：.
11．（2020·衡水市第十四中学高一月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为( )
A．a＝8 B．a＝9 C．a＝10 D．a＝11
【答案】B
【解析】由正弦定理知，
由题意知，若，则，只有一解；若，则A＞B，只有一解；
从而要使的值解三角形有两解，
则必有，且，即，
解得，即，因此只有B选项符合条件，故选B.
12．（2020·全国高一课时练习）在中,内角所对的边分别是若,,则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由及余弦定理的推论得:,即.
又 , , ,即,
解得或(不合题意,舍去).故选:B.
13．（多选）（2020·江苏南京市·高一期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】CD
【解析】①b＞csinB＝6．三角形有两解
②当b＝3时，三角形有一解．
③当b＝6时，三角形为等腰直角三角形，有一解．
④当b＜3时，三角形无解，故选：CD．
14．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）中，已知，若解此三角形时有两解，则的取值范围为 _________．
【答案】
【解析】由余弦定理有，，即，因为此方程有两解，所以 ，且，解得．
15．（多选）（2020·江苏泰州市·高一期末）中，，，则下列叙述正确的是（ ）
A．的外接圆的直径为4.
B．若，则满足条件的有且只有1个
C．若满足条件的有且只有1个，则
D．若满足条件的有两个，则
【答案】ABD
【解析】由正弦定理得，故正确；
对于，，选项：如图：以为圆心，为半径画圆弧，该圆弧与射线的交点个数，即为解得个数．
易知当，或即时，三角形为直角三角形，有唯一解；
当时，三角形是等腰三角形，也是唯一解；
当，即，时，满足条件的三角形有两个．
故，正确，错误．
故选：．
16（多选）．（2020·湖北武汉市·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角三角形中，不等式恒成立
C．在中，若，，则为等腰直角三角形
D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为
【答案】ABC
【解析】对选项A，在中，由，
故A正确.
对选项B，若，则，
又因为，所以为锐角，符合为锐角三角形，故B正确.
对选项C，，整理得：.
因为，所以，即.
所以，即，
，
即，又，所以.
故，则为等腰直角三角形，故C正确.
对选项D，，解得.
，
所以.
又因为，，故D错误.
故选：ABC
【题组四 三角形的面积】
1．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是 ，则 b=（ ）
A．1+ B． C． D．2+
【答案】A
【解析】由已知，，
所以，解得．故选：A．
2．（2019·重庆外国语学校龙洲湾校区高一期中）已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为,所以，由 ，可得，
根据余弦定理，，所以 ，故选C.
3．（2020·霍邱县第二中学高一月考）在中，已知，，若的面积，则的外接圆直径为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】，，，，得；
所以由余弦定理可得，则；
因此，由正弦定理可得，的外接圆直径为. 故选：C
4．（2020·盐城市伍佑中学高一期中）的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵的面积为，，
∴，∴．
由余弦定理得，
∴．由正弦定理得．故选A．
5．（2020·安徽宣城市·高一期末（理））在中，角，，所对的边分别为，，．若，，时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，解得，，
又，所以，
故．
因为，，故，故．故选:B．
6．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）在中，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，在中，利用三角形的面积公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，
由正弦定理得，故选A.
7．（2020·胶州市教育体育局教学研究室高一期中）在中，、、分别是角、、的对边，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可知
已知，所以和，
所以，，所以是等腰直角三角形，
由条件可知外接圆的半径是，即等腰直角三角形的斜边长为，
所以.故选：A
8．（2020·吉化第一高级中学校）在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由余弦定理得，，所以
又，，所以有，即，所以，
由正弦定理得，，得所以外接圆的面积为．答案选D．
9．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】①∵，∴，又∵∴∴故①成立；
②∵∴∴∴；
故②成立；
③∵∴
∴∴ ；故③成立；
④∵表示为边的单位向量， 表示为边的单位向量，∴所以（）.表示，又∵，∴°
所以为等边三角形故④成立.故选：D.
10．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高一月考）中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】，，
即，，①
的面积为，，，，②，由①②可得，
即，，或，
当，由，可得，不合题意，故舍去，故故选：．
11．（2020·安徽亳州市·涡阳四中）已知的三边分别为，且边上的高为，则的最大值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题，三角形的面积：
由余弦定理： 可得：
所以 所以的最大值为4.故选：C
12．（2020·江西省临川第二中学）若的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为____．
【答案】
【解析】设中，，，且，
由余弦定理可知,
又，由正弦定理可知外接圆直径为：故答案为：
13．（2020·北京高一期末）在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，，，那么b等于________.
【答案】
【解析】，，，，
由余弦定理可得.故答案为：.
14．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高一期末）在中，已知，，且最大内角为120°，则的面积为________．
【答案】
【解析】∵，∴，又，∴，∴最大，∴，
由得，，由，解得，
．故答案为：．
15．（2020·河北唐山市·唐山一中高一月考）已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________.
【答案】
【解析】因为，所以根据正弦定理得:，
化简可得:，即，(A为三角形内角)解得:，
又，(b=c时等号成立)故.故答案为：
16（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）设内角的对边分别为.若°，的面积为2，则的外接圆的面积为________.
【答案】
【解析】由题意可得，则，
再由余弦定理可得，，
则，再由正弦定理可得，，
三角形外接圆的半径为：，的外接圆的面积为.故答案为：.
17．（2020·北京101中学高一期末）在中，，，面积为，则________．
【答案】
【解析】，，面积为,解得，
由余弦定理可得：，
所以,故答案为：
18．（2020·淮南第一中学）锐角中, 分别为内角的对边,已知，，，则的面积为__________．
【答案】
【解析】，由得，
又为锐角三角形，，
又，即，解得，
.由正弦定理可得，解得，
又，，
.故答案为.
19．（2019·浙江湖州市·湖州中学高一月考）在中，，，，则的内切圆面积为__________.
【答案】
【解析】如图，设，
由余弦定理得，，
设内切圆的半径为，
则，
，解得，
所以圆的面积为.
故答案为：.
20．（2020·兴化市板桥高级中学高一期中）在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________．
【答案】 2
【解析】△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1.又B为三角形的内角，所以B＝，
所以c＝＝＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.故答案为：；.
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