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6.4.3 正余弦定理的实际运用（精讲）
考法一 正余弦定理的综合运用
【例1-1】（2020·内蒙古赤峰市）在的中，角，，的对边分别为，且
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
【例1-2】．（2020·全国高一）在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知， .求，的值.
【一隅三反】
1．（2020·江苏南京市·南京师大附中高一期末）在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
2．（2020·吉林白城市·白城一中高一期末（文））的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
3．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，，满足.
（1）求的大小；
（2）若，求面积的最大值.
考法二 正余弦定理与三角函数综合运用
【例2】（2020·湖北荆门市·高一期末）已知
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.
【一隅三反】
1．（2020·黄梅）已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长.
2．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三期中（理））已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若的内角，，的对边分别为，，且满足，，求的值.
3．（2020·江苏）已知函数，．
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．
考法三 正余弦定理在几何中的运用
【例3】（2020·河北邢台市·高一期中）如图，在中，AD平分，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
【一隅三反】
1．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________.
2．（2020·成都市第十八中学校高一期中）在中，点在边上，，
（1）若，求
（2）若，求的值
3．（2020·株洲市九方中学高一月考）如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求B；
（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积
4．（2020·全国高一课时练习）在四边形ABCD中，AD//BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3．
（1）求AD的长；
（2）若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．
考法四 正余弦定理在实际生活中的运用
【例4】（1）（2020·江苏高一课时练习）如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（ ）
A．m B．m C．m D．m
（2）（2020·安徽亳州市·涡阳四中高一月考（理））如图，无人机在离地面高200m的处，观测到山顶处的仰角为15°、山脚处的俯角为45°，已知，则山的高度为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2020·江苏高一课时练习）某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为（ ）
A．akm B． C． D．2akm
2．（2020·北京二十中高一期末）2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ）
A．50米 B．57米 C．64米 D．70米
3．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·四川绵阳市·高一期末）如图，轮船A和轮船B同时离开海港匀速直线航行，其中轮船A的航行速度是v(nmile/h)，轮船B的航行速度比轮船A快10(nmile/h)．已知航行lh后，测得两船之间的距离为（v+20）nmile，如果两艘轮船的航行方向之间的夹角为钝角，则v的取值范围是_____．
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6.4.3 正余弦定理的实际运用（精讲）
考法一 正余弦定理的综合运用
【例1-1】（2020·内蒙古赤峰市）在的中，角，，的对边分别为，且
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，及正弦定理得，
由余弦定理得，又，所以；
（2）由及，得，即，
所以，所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，
所以的取值范围为.
【例1-2】．（2020·全国高一）在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知， .求，的值.
【答案】答案见解析.
【解析】选择条件①，，，
，，
选择条件②，，，，，由正弦定理得：，，，.
【一隅三反】
1．（2020·江苏南京市·南京师大附中高一期末）在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知，
即，
由正弦定理得
由余弦定理得，
又.
（2），
则的周长
.
，
，
周长的取值范围是.
2．（2020·吉林白城市·白城一中高一期末（文））的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
由正弦定理可得：，可得，
为三角形内角，，可得，
，．
（2），，由余弦定理可得，
，，．
3．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，，满足.
（1）求的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）．
，
，
，
，
．
（2），
，
，当时取得等号，
面积的最大值.
考法二 正余弦定理与三角函数综合运用
【例2】（2020·湖北荆门市·高一期末）已知
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）.
令，即时，取最大值;
所以，此时的取值集合是；
（2）由，得，
因为，所以，所以，则；
在中，由余弦定理，
得，即，当且仅当时取等号，
所以的面积
因此的面积的最大值为.
【一隅三反】
1．（2020·黄梅）已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长.
【答案】（1）；（2）8.
【解析】（1）
，
又，所以，
所以当即时，取得最小值，
所以，
（2）因为，，
所以，
又，所以，所以由正弦定理有，所以.
2．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三期中（理））已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若的内角，，的对边分别为，，且满足，，求的值.
【答案】(1)；(2)1.
【解析】（1）
，∴，，∴.
（2）∵由题意可得 有，
，
化简可得：，∴由正弦定理可得：，∵，∴余弦定理可得： ，∵，∴，所以.
3．（2020·江苏）已知函数，．
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．
【答案】（1）的最小值是，最小正周期是；（2），．
【解析】（1），则的最小值是，最小正周期是；
（2），则，
，，，，，
，由正弦定理，得，①
由余弦定理，得，即，②
由①②解得，．
考法三 正余弦定理在几何中的运用
【例3】（2020·河北邢台市·高一期中）如图，在中，AD平分，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）3；（2）.
【解析】（1）在中，，在中，.
因为AD平分，且，所以.
（2）由正弦定理及（1）可知.
因为，，所以，
.
因为
，
所以.
【一隅三反】
1．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________.
【答案】
【解析】因为，，，
所以，
又，
则△的面积为，
又，所以在△中由正弦定理得：
，则.故答案为：；.
2．（2020·成都市第十八中学校高一期中）在中，点在边上，，
（1）若，求
（2）若，求的值
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由余弦定理得，，
即，解得，(负值舍去).
（2）在中，
∵，，∴，
在中，由正弦定理得，∴①，
在中，由正弦定理得，∴②，
由①②得，
∴，
即，
∴，
即，
∴.
3．（2020·株洲市九方中学高一月考）如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求B；
（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理得，
得.
因为，
所以，即.
（2）在中AB=2，BC=3，，，
解得.
在中，，A，B，C，D在圆上，
因为，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以四边形ABCD的面积.
4．（2020·全国高一课时练习）在四边形ABCD中，AD//BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3．
（1）求AD的长；
（2）若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，
∴由余弦定理得cos 120°＝，解得AD＝ (AD＝－2舍去)，
∴AD的长为．
（2）∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°，
∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，
∴由正弦定理得＝＝，
解得BC＝3－3，DC＝．
如图
过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD，交BD于点F，
则AE＝AB＝，CF＝BC＝，
∴四边形ABCD的面积
S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×(＋)＝．
考法四 正余弦定理在实际生活中的运用
【例4】（1）（2020·江苏高一课时练习）如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（ ）
A．m B．m C．m D．m
（2）（2020·安徽亳州市·涡阳四中高一月考（理））如图，无人机在离地面高200m的处，观测到山顶处的仰角为15°、山脚处的俯角为45°，已知，则山的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）D
【解析】（1）∵中，，，
∴.
又∵中，m，
∴由正弦定理可得：，则m.故选：A.
（2）∵，∴，∴，
又，，∴，
在中，，∴，
∴.故选：D．
【一隅三反】
1．（2020·江苏高一课时练习）某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为（ ）
A．akm B． C． D．2akm
【答案】C
【解析】由题意知AC＝BC＝akm，∠ACB＝50°+70°＝120°，
由余弦定理得，
，
所以，
即门店A，B间的距离为.
故选：C.
2．（2020·北京二十中高一期末）2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ）
A．50米 B．57米 C．64米 D．70米
【答案】D
【解析】由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，
则李华的行走路线，如图所示，
在中，因为，
由余弦定理可得：
米，
即李华回到自家楼下至少还需走70米.
故选：D.
3．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得
，所以.
故选：C.
4．（2020·四川绵阳市·高一期末）如图，轮船A和轮船B同时离开海港匀速直线航行，其中轮船A的航行速度是v(nmile/h)，轮船B的航行速度比轮船A快10(nmile/h)．已知航行lh后，测得两船之间的距离为（v+20）nmile，如果两艘轮船的航行方向之间的夹角为钝角，则v的取值范围是_____．
【答案】
【解析】不妨设海港所在点为，作图如下：
根据题意可得，
因为，根据余弦定理可得：
，
即，
解得，
又要满足三角形三边关系，即可得：，
即.
故的取值范围是.故答案为：
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