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6.4.3 正余弦定理的实际运用（精练）
【题组一 正余弦定理的综合运用】
1．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知的内角，，的对边分别是，，，且．
（1）求的大小；
（2）若的面积等于，，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，由余弦定理得，
∵，∴．
（2）因为，
所以，又，故，
于是，
∴，，
所以．
2．（2020·霍邱县第一中学高一期末）在中，分别为内角所对的边长，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由内角和定理得，
因为，故，
因为，所以.
所以根据正弦定理得：，
因为，，所以，
所以.
（2）由（1）得，，
所以
.
3．（2020·三门峡市外国语高级中学高一期中）已知中，内角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若边长，求的周长最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），根据正弦定理得，，
即，由余弦定理得.
又，所以；
（2），，，由正弦定理得，
可得：，，
，
由可得，可得.
.
因此，的周长的最大值为.
4（2020·四川高一月考（文））已知的内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）当时，求面积的最大值，并指出面积最大时的形状.
【答案】（1）；（2）有最大值，此时为等腰三角形.
【解析】（1）由正弦定理及已知得到，
又，
所以，
从而，
所以，
又在中，，所以.
又，所以.
（2）由（1）及正弦定理知道，
所以，.
所以
.
因为，所以.
从而
.
因为，所以当时，有最大值，
此时，为等腰三角形.
5．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足且.
（1）求角B；
（2）求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）∵，
由正弦定理，得，
∴，
即，又，
∴，
又得.
（2）在中，，由正弦定理
，
，.
6．（2020·安徽和县·高一期末（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得，由余弦定理得．
又为的内角，所以.
（2）由正弦定理得，即有，.
所以
因为，所以，所以，
所以即.
故的取值范围为．
7．（2020·浙江高一期末）在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，结合余弦定理，可得：
，∴，∴
又∵，∴
（2）因为，，所以，所以，
所以
∵是锐角三角形，所以，解得
∴,
∴
∴,
∴
综上，的取值范围是
8．（2020·浙江高一期末）在中，角，，的对边分别为，，，.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）因为，
由正弦定理可得，即为.
由余弦定理可得，
因为，
所以.
（Ⅱ）在中由正弦定理得，又，
所以，，
所以，
，
，
因为为锐角三角形，
所以，且，
所以且，
所以且，
所以，
所以，
所以周长的取值范围是.
9．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．
（1）求．
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
由正弦定理可得：
，
，
，
，
，
，，
．
（2）由，，
由余弦定理得，
，
即有，
，
故的面积为
．
10．（2021·湖南益阳市·高二期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中，并完成问题的解答．
问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若________，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1），由正弦定理可得，
又，，
又由已知，，
由．
（2）①若选择，由余弦定理得：，
，，
．
②若选择，由余弦定理得：
，
整理得：，
解得：，或（舍去），
．
③若选择，则，
由正弦定理得：，．
．
【题组二 正余弦定理与三角函数综合运用】
1．（2020·浙江）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最小值；
（2）中，，，的对边分别为，，，已知，，，求，的值.
【答案】（1）最小正周期为；最小值为.（2），
【解析】（1）.
所以的最小正周期，的最小值为.
（2）因为，所以，
又，，
所以，
得，
因为，
由正弦定理得，
由余弦定里得，
又，
所以，.
2．（2020·河南新乡市）已知函数．
（1）求函数在上的最大值和最小值；
（2）在中，角、、所对的边分别为、、，满足，，，求的值．
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）．
【解析】（1）
（3分）
， ， ，
所以的最大值为，最小值为．
（2）因为，即
， ， ，
又在中，由余弦定理得，
，所以，
由正弦定理得，即，所以．
3．（2021·柳州市第二中学高二期末（理））已知函数，.
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量与共线，求，的值.
【答案】（1）函数的最小值为，最小正周期为；（2），.
【解析】（1）由于函数，
故函数的最小值为，最小正周期为.
（2）中，由于，又，所以，∴.
又向量与共线，所以.
由正弦定理得，且.
故有，化简可得，又，∴，∴.
又，可得，
解得，.
4．（2020·江西南昌市·高一月考）已知，函数.
（Ⅰ）求函数零点；
（Ⅱ）若锐角的三内角的对边分别是，且,求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（Ⅰ）由条件可知，
所以函数零点满足,
由，解得．
（Ⅱ）由正弦定理得，
由（Ⅰ），
而，得，
又，得，代入上式化简得：
又在锐角中，有
，
则有，即：.
5．（2021·江西新余市·高三期末（文））已知函数中，角的对边分别为，且．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求三角形中的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)依题
又故的单调递减区间为
(2)由题意知，又，故，
依题意，
在三角形中，由余弦定理
故.
6．（2020·全国）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）在中，角的对边分别为，若，，，求①求的值；②求.
【答案】（1），；（2）①，；②.
【解析】解：（1），
最小正周期．
因为，
所以，
所以所求函数的单调递减区间为．
（2）因为，又，所以，
所以，①
又因为，由正弦定理可得，，②
由①②可得，．
由正弦定理可得，所以，又所以
所以
7．（2020·山东）已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围
【答案】（1）；（2）
【解析】（1
由
解得：，
故函数的单调递增区间为．
（2），，
又，，，又，
在中，由正弦定理得：，得
又为锐角三角形，且，故，解得
，即
面积S的取值范围是：
【题组三 正余弦定理在几何中的运用】
1．（2020·湖北武汉市·高一期末）如图，在中，点在边上，，，．
（Ⅰ）求边的长；
（Ⅱ）若的面积是，求的值．
【答案】（1）2（2）
【解析】（Ⅰ）在中，设，则由余弦定理得：
即：，解之得：
即边的长为2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得为等边三角形，作于，则，
∴，故 ，，
∴在中，由余弦定理得：
∴在中由正弦定理得：
，∴，∴
2．（2020·江西）如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝，求AB的长．
【答案】(1) ；（2）4.
【解析】(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝，所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.
因为D∈(0，π)，所以sin D＝＝.
因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，所以AC＝2.
因为BC＝2，＝，所以＝＝＝＝，所以AB＝4.
3．（2020·湖北省崇阳县第一中学高一月考）在中，D为上一点，，，，.
（1）求角B；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，
所以，又，所以；
（2）在中，，所以
因为，所以，
在中，由余弦定理得，所以.
4．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，且，
所以，
在中，,所以,
所以，
所以 因为在中，，
所以 因为是的内角所以.
（2）在中，，
因为是等腰直角三角形，
所以，
，
所以平面四边形的面积
因为，所以
所以当时，，
此时平面四边形的面积有最大值
5．（2020·福建泉州市·高一期末）在平面四边形中，，.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）由题，在中，根据正弦定理，，
因为，．所以，
，．
（2）由（1）可知，．
，
中，，，，
中，，
，
解得或（舍，
的面积．
【题组四 正余弦定理在实际生活中的运用】
1．（2020·黑龙江大庆市·铁人中学高一期末）如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意有：底面，
在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，
，，，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
∴，
解得：.
故选：B.
2．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由题意，∴，
在中，，即，．
∴，
（米/秒）．
故选B．
3．（2020·邵东市第一中学高一月考）如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为，则山高BC=（ ）
A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米
【答案】D
【解析】依题意，过点作于，于，
，米，米，
依题意，在中，，，
在中，，，
在中，米，
米，
故选：D．
4．（2020·雅安市教育科学研究所高一期末）如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
在中，由余弦定理可得 ，
所以．故选A．
【解题必备】当的长度不可直接测量时，求，之间的距离有以下三种类型．
（1）如图1，A，B之间不可达也不可视，计算方法：测量，及角，由余弦定理可得 ．
（2）如图2，B，C与点A可视但不可达，计算方法：测量，角，角，则，由正弦定理可得．
（3）如图3，C，D与点A，B均可视不可达，计算方法：测量
在中由正弦定理求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求．
图1 图2 图3
5．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30°且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为______分钟.
【答案】
【解析】由题意知：，，，
则在中，
利用余弦定理知：，
代入数据，得，
解得：，
则从到所用时间为，则，
即.
故答案为：.
6．（2020·和县第二中学高一期中（文））和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔的高度，如图所示，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为，在水平面上测得，两地相距，则文昌塔AB的高度是____________.
【答案】30
【解析】设塔高，在中，由已知可得，
在中，由已知，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得（负值舍去）．
故答案为：30
7．（2020·广东云浮市·高一期末）在相距3千米的，两个观察点观察目标点，其中观察点在观察点的正东方向，在观察点处观察，目标点在北偏东方向上，在观察点处观察，目标点在西北方向上，则，两点之间的距离是______千米．
【答案】
【解析】由题设可知，在中，，，所以，
由正弦定理得，即，解得．
故答案为：.
8．（2020·山东济宁市·高一期末）如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km.
【答案】
【解析】在中，因为，，，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍去），
在中，因为，，
所以，
由正弦定理得： ，
所以.
故答案为：
9．（2020·山东临沂市·高一期末）如图，在四边形ABCD中，已知，，，，
19．（2020·苏州新草桥中学高一期中）如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：
（1）轮船D与观测点B的距离；
（2）救援船到达D点所需要的时间．
【答案】（1）海里；（2）1小时.
【解析】（1）由题意可知：在中，，，则，
由正弦定理得：，
由，
代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.
（2）在中，，，，
由余弦定理得：
，
，，
即该救援船到达点所需的时间小时.
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6.4.3 正余弦定理的实际运用（精练）
【题组一 正余弦定理的综合运用】
1．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知的内角，，的对边分别是，，，且．
（1）求的大小；
（2）若的面积等于，，求的值．
2．（2020·霍邱县第一中学高一期末）在中，分别为内角所对的边长，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
3．（2020·三门峡市外国语高级中学高一期中）已知中，内角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若边长，求的周长最大值.
4（2020·四川高一月考（文））已知的内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）当时，求面积的最大值，并指出面积最大时的形状.
5．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足且.
（1）求角B；
（2）求周长的取值范围.
6．（2020·安徽和县·高一期末（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的取值范围.
7．（2020·浙江高一期末）在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
8．（2020·浙江高一期末）在中，角，，的对边分别为，，，.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
9．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．
（1）求．
（2）若，，求的面积．
10．（2021·湖南益阳市·高二期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中，并完成问题的解答．
问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若________，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【题组二 正余弦定理与三角函数综合运用】
1．（2020·浙江）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最小值；
（2）中，，，的对边分别为，，，已知，，，求，的值.
2．（2020·河南新乡市）已知函数．
（1）求函数在上的最大值和最小值；
（2）在中，角、、所对的边分别为、、，满足，，，求的值．
3．（2021·柳州市第二中学高二期末（理））已知函数，.
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量与共线，求，的值.
4．（2020·江西南昌市·高一月考）已知，函数.
（Ⅰ）求函数零点；
（Ⅱ）若锐角的三内角的对边分别是，且,求的取值范围.
5．（2021·江西新余市·高三期末（文））已知函数中，角的对边分别为，且．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求三角形中的值．
6．（2020·全国）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）在中，角的对边分别为，若，，，求①求的值；②求.
7．（2020·山东）已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围
【题组三 正余弦定理在几何中的运用】
1．（2020·湖北武汉市·高一期末）如图，在中，点在边上，，，．
（Ⅰ）求边的长；
（Ⅱ）若的面积是，求的值．
2．（2020·江西）如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝，求AB的长．
3．（2020·湖北省崇阳县第一中学高一月考）在中，D为上一点，，，，.
（1）求角B；
（2）求.
4．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.
5．（2020·福建泉州市·高一期末）在平面四边形中，，.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
【题组四 正余弦定理在实际生活中的运用】
1．（2020·黑龙江大庆市·铁人中学高一期末）如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A． B． C． D．
3．（2020·邵东市第一中学高一月考）如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为，则山高BC=（ ）
A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米
4．（2020·雅安市教育科学研究所高一期末）如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30°且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为______分钟.
6．（2020·和县第二中学高一期中（文））和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔的高度，如图所示，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为，在水平面上测得，两地相距，则文昌塔AB的高度是____________.
7．（2020·广东云浮市·高一期末）在相距3千米的，两个观察点观察目标点，其中观察点在观察点的正东方向，在观察点处观察，目标点在北偏东方向上，在观察点处观察，目标点在西北方向上，则，两点之间的距离是______千米．
8．（2020·山东济宁市·高一期末）如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km.
19．（2020·苏州新草桥中学高一期中）如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：
（1）轮船D与观测点B的距离；
（2）救援船到达D点所需要的时间．
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