(共16张PPT)
01
02
03
学习目标
情境引入
新知探究
04
课堂小结
随堂练习
05
1.体会确定二次函数表达式所需要的条件.
2.体会用待定系数法确定二次函数表达式.
生活中有很多类似抛物线形状的建筑物,如果你是设计师,你能设计出这些建筑物吗
初步探究确定二次函数表达式所需要的条件
如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗
解: 如图所示，(4,3)是抛物线的顶点坐标,
∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3,
把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a= ,
因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y= .
总结:
(1)形如y=ax2的二次函数,因为只有一个系数a是未知的,所以只需要知道图象上一个点的坐标即可.
(2)形如y=a(x-h)2和y=ax2+k的二次函数,有两个系数是未知的,所以需要知道图象上两个点的坐标即可.
(3)形如y=a(x-h)2+k的二次函数,如果已知二次函数的顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
二次函数表达式的确定方法
例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.
〔解析〕由于函数图象经过点(2,3)和(-1,-3),所以直接把两个点的坐标代入y=ax2+c,得到关于a和c的二元一次方程组,解方程组得出a,c的值即可.
解:将点(2,3)和(-1,-3)的坐标分别代入表达式y=ax2+c,得
解这个方程组,得
所以,所求二次函数表达式为y=2x2-5.
【做一做】
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.
思考下面的问题:
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点坐标是什么
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标与系数c有什么关系
3.二次函数表达式y=ax2+bx+c中除了系数c之外,还有几个未知系数
解:因为二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1,所以c=1.
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(2,5)和(-2,13)代入y=ax2+bx+1,得
解得
所以所求二次函数的表达式为y=2x2-2x+1.
【做一做】
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.
归纳确定二次函数表达式所需要的条件
【想一想】
在什么情况下,已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式
总结:
1.二次函数y=ax2+bx+c可化成:y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),如果已知顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
确定表达式的步骤和方法:
设表达式为顶点式:y=a(x-h)2+k,再把另一个点的坐标代入,求出a的值,就可以确定所求二次函数的表达式.
2.已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数,再知道图象上的任意两个点的坐标,也可以确定二次函数的表达式.
确定表达式的步骤和方法:
把两个点的坐标代入表达式,得到二元一次方程组,解这个方程组,得到两个未知系数的值,就可以确定所求二次函数的表达式
解析:∵抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2,把(2,1)代入得1=a(2-1)2-2,
解得a=3,
∴y=3(x-1)2-2=3x2-6x+1.
故选B.
1.某抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),则抛物线的解析式为 ( )
A.y=3x2-6x-5 B.y=3x2-6x+1
C.y=3x2+6x+1 D.y=3x2+6x+5
B
2. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是( )
A.y=2x2-4x B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2 D.y=-2x2+4x
解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为(1,2),
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,
将(2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,
则抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.
故选D.
D
解析:设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),而a=1,
所以二次函数的解析式y=(x-3)(x-4)=x2-7x+12.
故填y=x2-7x+12.
3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的表达式是 .
y=x2-7x+12
4.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为 .
y=x2-2x-3
5.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是A(2,1),且经过点B(1,0),求此抛物线的解析式.
解析:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将点B(1,0)代入解析式即可求出a的值,从而得到二次函数解析式.
解:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,
将B(1,0)代入y=a(x-2)2+1,得a=-1,
所以二次函数解析式为y=-(x-2)2+1,展开得y=-x2+4x-3.
1. 确定二次函数表达式所需要的条件是什么？
2.如何用待定系数法求二次函数表达式？(共15张PPT)
01
02
03
学习目标
情境引入
新知探究
04
课堂小结
随堂练习
05
1.体会确定二次函数表达式所需要的条件.
2.会运用用待定系数法确定二次函数表达式.
某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的B处安装一个喷头向外喷水(如图示),该喷泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距离(OA的长度)是3 m.
某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的B处安装一个喷头向外喷水,该喷泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距离(OA的长度)是3 m,李冰同学建立了如图所示的直角坐标系,得到该抛物线还经过(2,1), 两点,你能根据李冰同学给出的数据求出此抛物线的表达式吗
思考下面的问题:
1.题目中给出了几个点的坐标
2.你能运用上节课的知识求该抛物线的表达式吗
3.应该把二次函数表达式设成什么形式 顶点式还是一般式
【引例】已知一个二次函数的图象经过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,求这个二次函数的表达式.
解:∵抛物线经过(0,4),∴c=4.
故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+4,
把(1,-1),(2,-4)分别代入二次函数y=ax2+bx+4中,
得
解方程组,得
∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.
解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(1,-1),(2,-4)和(0,4)分别代入表达式,
得
例 一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗 你有几种方法 与同伴进行交流.
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
解法1:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,
得
例 一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗 你有几种方法 与同伴进行交流.
解法2:∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,
∴c=1.
可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
例 一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗 你有几种方法 与同伴进行交流.
解法3:由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.
∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,
将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,
得a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.
例 一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗 你有几种方法 与同伴进行交流.
解法3:由A(0,1),C(2,1)两个点的特征以及二次函数图象的对称性(如图),
可设二次函数的表达式为y=ax(x-2)+1,
将点(1,2)代入y=ax(x-2)+1,
得-a+1=2
∴a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-x(x-2)+1,即y=-x2+2x+1.
1.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5.则这个二次函数的关系式是 ( )
A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5
C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5
解析:设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0),∵当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=-4,当x=-2时,y=5,∴ 解方程组,得
∴二次函数的关系式为y=4x2+3x-5.故选A.
A
2.过A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是( )
A.(1,2) B. C.(-1,5) D.
解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(-1,0), (3,0), (1,2)分别代入,得
解方程组,得
所以该函数的解析式为y=- x2+x+ ,顶点坐标是(1,2).故选A.
A
3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的解析式为 .
解析:根据题意,得 解方程组,得
所以该抛物线的解析式为y=2x2-3x+5.
故填y=2x2-3x+5.
y=2x2-3x+5
4.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标.
解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知抛物线
经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,可得
解这个方程组,得
∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.
(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2
∴该抛物线的顶点坐标为 .
运用代入法求二次函数解析式的类型：
（1）给定三个无规律的点，设表达式为y=ax2+bx+c，分别带入求值；
（2）给定三个点，其中含与y轴的交点(0,m)，可设表达式为y=ax2+bx+m，另外两点带入求值；
（3）给定顶点坐标（m,n）和另外一点，设表达式为y=a(x-m)2+n，另一点带入求a值.
