必修一第一章基本初等函数

第十课时 函数的奇偶性（1）
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学习要求
1．了解函数奇偶性的含义；
2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；
3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质
自学评价
1．偶函数的定义：
如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数．
注意：（１） “任意”、“都有”等关键词；
（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
2．奇函数的定义：
如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数．
3．函数图像与单调性：
奇函数的图像关于原点对称；
偶函数的图像关于轴对称．
4．函数奇偶性证明的步骤：
（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；
（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系 ；
(3)下结论 .
【精典范例】
一．判断函数的奇偶性：
例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数：
判断下列函数的奇偶性：
(1)　(2)
(3)，
(4)　　 (5)
析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。
【解】(1) 函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以该函数是奇函数。
(2)函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非奇非偶函数。
(3) 函数，的定义域为不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数。
(4)函数的定义域为，关于原点对称，，所以该函数既是奇函数又是偶函数。
(5) 函数的定义域为，关于原点对称，，所以该函数是偶函数。
二．根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值：
例2：已知函数是定义域为的奇函数，求的值．
【解】
∵是定义域为的奇函数，
∴对任意实数都成立，
把代入得
，
∴．
三．已知函数的奇偶性求参数值：
例3：已知函数是偶函数，求实数的值．
【解】∵是偶函数，∴恒成立，
即恒成立，
∴恒成立，∴，即．
追踪训练一
1. 给定四个函数；；；；其中是奇函数的个数是(B)
１个　　２个　　
３个　　４个
2. 如果二次函数是偶函数，则　３．
3. 判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）
解：(1)函数的定义域为，关于原点对称，
对于定义域中的任意一个，
所以该函数是偶函数；
(2)函数 的定义域得关于原点对称，此时
对于定义域中的任意一个，
所以该函数是奇函数；
(3) 函数的定义域为关于原点对称，此时，所以该函数既是奇函数又是偶函数。
【选修延伸】
构造函数的奇偶性求函数值：
例３: 已知函数若，求的值。
析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题。
【解】
方法一：　　由题意得①
　　　②
①＋②得
∵
∴
方法二：　　构造函数，
则一定是奇函数
又∵，∴
因此 所以，即．
说明：
１．如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；
根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；
２．奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；
思维点拔：
一、等式和的变形形式：
我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中，处了将进行化简，其方向是或以外，我们还可以看到其等价形式、或当恒成立时，也有、．
追踪训练
1．下列结论正确的是：　　　　　(C )
偶函数的图象一定与轴相交；
奇函数的图象一定过原点；
偶函数的图象若不经过原点，则它与轴的交点的个数一定是偶数；
定义在上的增函数一定是奇函数．
2. 若函数为奇函数，且当时，，则当时，有（C） （ ）


≤0
－
3. 设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．
①y=－| f（x）|
②y=xf（x2）
③y=－f（－x）
④y= f（x）－f（－x）
中必为奇函数的有____②④____________．（要求填写正确答案的序号）．
4. 设奇函数f（x）的定义域为[－5,5].
若当x∈[0,5]时, f（x）的图象如下图,则
不等式的解是 .
5．若是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，求的表达式．
解：由题意得：
则
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第十一课时 函数的奇偶性（2）
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学习要求
1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；
2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；
3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．
【精典范例】
一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：
例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论
思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1F(x1) －F(x2)= －=符号解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0
因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，
所以f(－x2)所以f(－x2)= －f(x2)，f(－x1)=f(x1)②
由①②得f(x2)>f(x1)>0
于是F(x1) －F(x2)= －
所以F(x)=在(－∞，0)上是减函数。
【证明】
设，则，∵在上是增函数，
∴，∵是奇函数，∴，，
∴，∴，∴在上也是增函数．
说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．
二．利用函数奇偶性求函数解析式：
例2：已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．
解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x－2|
所以f(－x)= －x|－x－2|=－x|x+2|
又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x)
所以－f(x)= －x|x+2|
所以f(x)=x|x+2|
故当x<0时
F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.
3：定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，
求实数m的取值范围．
解：因为f(m－1)+f(2m－1)>0
所以f(m－1)> －f(2m－1)
因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数
所以f(m－1)>f(1－2m)
所以
所以追踪训练一
设是定义在R上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－)与f(a2－a+1)
（）的大小关系是 （B ）
A． f(－)B． f(－)≥f(a2－a+1)
C． f(－)>f(a2－a+1)
D．与a的取值无关
2. 定义在上的奇函数，则常数 ０ ， ０ ；
3. 函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。
解：定义域是

即

又

是奇函数

在上是增函数

即
解之得

故a的取值范围是
思维点拔：
一、函数奇偶性与函数单调性关系
　　　若函数是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．
追踪训练
1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 　　　　　　 （C）
4 2 0 不能确定
2. 定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)A.ab
C.|a|<|b| D.0≤ab≥0
3. 是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（D）
A. 是减函数且有最大值
B. 是减函数且有最小值
C. 是增函数且有最小值
D. 是增函数且有最大值
4已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)= －15，则f(5)= 31 ．
5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。
（1）求证；（2）求证：是偶函数。
解（1）令，则有

（2）令，则有
这说明是偶函数
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第十二课时 函数的单调性和奇偶性
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学习要求：
1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。
2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。
3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。
【精典范例】
一、利用函数单调性求函数最值
例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －.
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y可得：
f(－x)= －f(x)，在R上任取x1则x2－x1>0，
所以f(x2) －f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2－x1).
因为x10。
又因为x>0时f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，即f(x2)由定义可知f(x)在R上是减函数.
(2)因为f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.
所以f(－3)最大，f(3)最小。
所以f(－3)= －f(3)=2
即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。
二、复合函数单调性
例2、求函数y=的单调区间，并对其中一种情况证明。
思维分析：要求出y=的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.
解：设u=x2－2x－3，则y=.
因为u≥0，所以x2－2x－3≥0.所以x≥3或x≤－1.
因为y=在u≥0时是增函数，又当x≥3时，u是增函数，
所以当x≥3时，y是x的增函数。
又当 x≤－1时，u是减函数，
所以当x≤－1时，y是x的减函数。
所以y=的单调递增区间是[3,+ ∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。
证明略
三、利用奇偶性，讨论方程根情况
例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.4 B.2 C.0
D.不知解析式不能确定
思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x1+x2+x3+x4=0.
答案：C
四、利用奇偶性，单调性解不等式
例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)思维分析：要求m的取值范围，就要列关于m的不等式，由f(1－m)0时的情况，从而使问题简单化。
解：因为函数f(x)在[－2,2]上是偶函数，则由f(1－m)又x≥0时，f(x)是单调减函数，
所以。
解之得：－1≤m<.
追踪训练
1、函数f(x)=的值域是( )
A.[，+∞) B.(－∞，]
C.(0,+∞) D.[1,+ ∞)
答案：A
2、下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A.y=1+ B.y=－(x+1)2
C.y= D.y=x3
答案：D
3、设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a2+a+1)答案：04、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x∈R且x≠±1}，若f(x)+g(x)=，则f(x)=________,g(x)=__________
答案：f(x)=，g(x)=
.
5、函数f(x)=是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()=.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)+f(t)<0；
答案：(1)f(x)=
(2)证明略
(3)0第十三课时 映射的概念
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映射
学习要求
1、了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射。
2、通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系。
自学评价
1、对应是两个集合元素之间的一种关系，对应关系可用图示或文字描述来表示。
2、一般地设A、B两个集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f:A→B
3、由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A、B为两个非空数集。
【精典范例】
一、判断对应是否为映射
例1、下列集合M到P的对应f是映射的是( )
A.M={－2，0，2}，P={－1，0，4},f：M中数的平方
B.M={0，1}，P={－1，0，1}，f:M中数的平方根
C.M=Z，P=Q，f:M中数的倒数。
D.M=R，P=R+，f:M中数的平方
【解】：
判定对应f:A→B是否是映射，关键是看是否符合映射的定义，即集合A中的每一个元素在B中是否有象且唯一，若不是映射只要举一反例即可。
答案：选择A
二、映射概念的应用
例2、已知集合A=R，B={(x,y)|x,y∈R}，f:A→B是从A到B的映射，f:x→(x+1,x2+1)，求A中的元素在B中的象和B中元素(,)在A中的原象。
思维分析：将x=代入对应关系，可求出其在B中对应元素，(,)在A中对应的元素可通过列方程组解出。
【解】：
将x=代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(+1，3). 可通过列方程组也可求出(,)在A中对应的元素为
三、映射与函数的关系
例3、给出下列四个对应的关系
①A=N*,B=Z,f:x→y=2x－3；
②A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y∈N*,y≤5}，f:x→y=|x－1|；
③A={x|x≥2}，B={y|y=x2－4x+3}，f:x→y=x－3；
④A=N,B={y∈N*|y=2x－1，x∈N*}，f:x→y=2x－1。
上述四个对应中是函数的有( )
A.① B.①③ C.②③ D.③④
思维分析：判断两个集合之间的对应是否构成函数，首先应判断能否构成映射，且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应。
【解】：
①中，对x∈A，在f作用下，在B中都有唯一的象，因此能构成映射.由于A、B均为非空数集，因而能构成函数；②中，当x=1时,y=0B，即集合A中的元素1在集合B中无象，因而不能构成映射，从而也不能构成函数；④中，当x=0时，y=－1B，即0在B中无象，因而不能构成映射，也就不能构成函数；③中的两个对应符合映射的定义，且两个集合均为非空数集，因而能构成函数。
答案：B
【选修延伸】
求映射的个数问题
例4、已知A={a,b,c}，B={－1，0，1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c)，求映射f: A→B的个数。
思维分析：可让A中元素在f下对应B中的一个、两个或三个元素，并且满足f(a)+f(b)=f(c)，需分类讨论。
【解】：(1)当A中三个元素都是对应0时，则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有1个映射。
(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个，分别为1+0=0，0+1=0，(－1)+0=－1,0+(－1)=－1.
(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时，有两个映射，分别为(－1)+1=0，1+(－1)=0.
因此满足题设条件的映射有7个。
追踪训练
1、下列对应是A到B上的映射的是( )
A.A=N*,B=N*,f:x→|x－3|
B.A=N*，B={－1,1, －2}，f:x→(－1)x
C.A=Z,B=Q,f:x→
D.A=N*，B=R，f:x→x的平方根
答案：B
2、设f:A→B是集合A到B的映射，下列命题中是真命题的是( )
A.A中不同元素必有不同的象
B.B中每一个元素在A中必有原象
C.A中每一个元素在B中必有象
D.B中每一个元素在A中的原象唯一
答案：C
3、已知映射f: A→B,下面命题：
(1)A中的每一个元素在B中有且仅有一个象；
(2)A中不同的元素在B中的象必不相同；
(3)B中的元素在A中都有原象
(4)B中的元素在A中可以有两个以上的原象也可以没有原象。
假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
4、已知映射f: A→B，其中集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：A
5、若f:y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射，该映射满足B中任何一个元素均有原象，求自然数a、k及集合A、B.
答案：a=2, k=5, A={1,2,3,5} B={4,7,10,16}
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第十四课时 分数指数幂（1）
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学习要求
1．理解n次方根及根式的概念；

2．掌握n次根式的性质,并能运用它进行化简，求值；
3．提高观察、抽象的能力．
自学评价
1．如果，则称为的 平方根 ；
如果，则称为的 立方根 ．
2. 如果，则称为的 次实数方根 ；的次实数方根等于 ．
3. 若是奇数，则的次实数方根记作； 若则为 正 数，若则为 负 数；若是偶数，且，则的次实数方根为 ；负数没有 次实数方根．
4. 式子叫 根式 ，叫 根指数 ，叫 被开方数 ； ．
5. 若是奇数，则 ；若是偶数，则 ．
【精典范例】
例1：求下列各式的值：
（1） （2）（3） （4）
【解】
（1）
（2）
（3）
（4）
点评: 正确的领会求的值的公式是求根式值的关键。
例2：设－3解：因为－3所以x+3>0
所以原式=|x－1|+|x+3|
当1≤x<3时，原式=2x+2
当－3综上所述原式=
例3．计算：
解：原式=
=
=2
追踪训练一
1. 的平方根与立方根分别是 （）
（） （）
（） （）
2. 求值：．
解：
。
3. 化简
解：原式
【选修延伸】
一、根式与方程
例4:解下列方程（1）；
（2）
分析：对原方程因式分解。
【解】（1）原方程可化为，
∴，
原方程的根为。
（2）原方程可化为，
∵，∴，
，，
原方程的根为。
点评:通过因式分解把原方程转化为二项方程，再利用根式意义求解。
思维点拔：
（1）求根式的值时要注意使根式有意义的被开方数的取值范围；（2）求形如的根式的值时要分清的奇偶性．
追踪训练二
1．成立的条件是（　　）
　　　　　　
2．在①；②；③；④（）各式中，有意义的是（　　）
①②　　　①③　　　①②③④　　①③④
3．若，则
．
学生质疑
教师释疑
第十五课时 分数指数幂（2）
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学习要求
1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；
2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简．
3．会对根式、分数指数幂进行互化；
4．培养学生用联系观点看问题．

自学评价
1．正数的分数指数幂的意义：
（1）正数的正分数指数幂的意义是
；
（2）正数的负分数指数幂的意义
．
2．分数指数幂的运算性质：
即 ，
，

．
3. 有理数指数幂的运算性质
对 无理数指数幂 指数幂同样适用.
4. 的正分数指数幂等于 .
【精典范例】
例1：求值（1） ，（2）
（3）， （4） ．
【解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
点评:解题的关键是利用分数指数幂的运算性质．
例2：用分数指数幂表示下列各式：
（1） ；（2） ；（3）．

分析：先将根式写成分数指数幂的形式，然后进行运算．
【解】（1） ．
（2）．
（3）．
点评:利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式的形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂．
例3：已知a+a－1=3，求下列各式的值：
（1）-；（2）-
解：(1)因为(-)2=a1－2+a－1=3－2=1
所以-=±1
(2) -= (-)(a+1+a－1)= ±4
【解】
（1）∵
∴
∴.
（2）
=.
点评:要学会从整体上寻求已知条件与结论的联系；指数的概念推广后，初中所学的乘法公式和因式分解的变形技巧同样适用.
追踪训练一
1. 计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
(1)(xy2··)·
(2)·
解：(1)原式=····
(2)原式=[[]
=a1·a1=a2
2. 已知，求的值.
解：，
∴，又，
，
又，
∴原式.
3. 已知，求的值.
解：，
.
【选修延伸】
一、分数指数幂与方程
例4: 利用指数的运算法则，解下列方程：
(1)43x+2=256×81－x
(2)2x+2－6×2x－1－8=0
解：(1)因为43x+2=256×81－x
所以26x+4=28×23－3x
所以6x+4=11－3x
所以x=
(2)因为2x+2－6×2x－1－8=0
所以4×2x－3×2x－8=0
所以2x=8
所以x=3
分析：利用分数指数幂的性质将方程两边转化为同底的指数幂.
【解】（1）原方程可化为：，
，，∴
原方程的解为.
（2）原方程可化为：，
∴，，
原方程的解为.
点评:将指数方程转化为一元一次或一元二次方程是解题的关键.
思维点拔：
（1）根式与分数指数幂运算要灵活地互化；（2）一般地在化简过程中，先将根式化为分数指数幂，然后利用同底运算性质进行运算.
追踪训练二
1．化简：
解：
．
2．（　）
　　　　　　
3．设a>1，b>0，ab+a－b=2，则ab－a－b（）
　或　
学生质疑
教师释疑
第十六课时 指数函数（1）
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学习要求
1．理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质；
2．初步了解函数图象之间最基本的初等变换。
3．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小．
4．提高观察、运用能力．
自学评价
1．形如 的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，函数定义域是 ，
值域是 ．
2. 下列函数是为指数函数有 ② ③ ⑤ ．
① ②
③（且）④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧．
3.指数函数恒经过点 ．
4.当时，函数单调性
为 在上是增函数 ；
当时，函数
单调性是在上是减函数 ．
【精典范例】
例1：比较大小：
（1）；（2）；（3）．
分析：利用指数函数的单调性．
【解】（1）考虑指数函数，，
在上是增函数，
∴．
（2）考虑指数函数，，
在上是减函数，
∴．
（3）在上是增函数，在上是减函数，
∴，
∴．
点评:当底数相同的两个幂比较大小时，要考虑指数函数；当底数不相同的两个幂比较大小时，要寻找第三个值来与之比较．
例2：
（1）已知，求实数的取值范围；（2）已知，求实数的取值范围.
分析：利用指数函数的单调性.
【解】（1）在上是增函数，
由得，即实数的取值范围是.
（2）在上是减函数，
又，
由得，即实数的取值范围是.
点评:通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法.
例3：设是实数，
，
（1）求的值，使函数为奇函数
（2）试证明：对于任意在为增函数；
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。
（1）∵，
由是奇函数，∴
即，∴.
（2）证明：设，则
，
由于指数函数在上是增函数，且，所以即，
又由，得，，
所以，即．
因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数.
点评:求与指数函数有关的复合函数的奇偶性、单调性时要注意运用指数函数的有关性质来解决问题.
追踪训练一
1.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 （）
（） （）
（）（）
2.已知函数在区间上的最大值与最小值的差是1，求实数的值；
解：当时，函数在区间上是增函数，，∵，∴；
当时，函数在区间上是减函数，，∵，
∴；
综上：或．
3. 解不等式：(1) (2)
析：本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围．
解：(1)∵
∴
又∵在定义域上是增函数
∴原不等式等价于
解之得
∴原不等式的解集为
(2)可以整理为
∵， ∴即，
又∵在定义域上是减函数，∴
故原不等式的解集为．
【选修延伸】
一、与指数函数有关的复合函数
例4: 求函数的定义域、值域、单调区间．
分析：原函数由函数与复合而成，求解时要统筹考虑．
【解】设，则，由于它们的定义域都是，所以函数的定义域为．
因为，
所以，又，
函数的值域为．
函数在是增函数，而在上是减函数，
所以设，则，
从而，即，
函数在是增函数，
同理：函数在是减函数，函数的增区间，
减区间是．
点评:形如的定义域与的定义域相同；求值域时要先确定的值域，再根据指数函数的性质确定的值域；
当时，与的单调性相同，
当时，与的单调性相反．
思维点拔：
（1）比较两个指数式的大小或解指数不等式往往要利用指数函数的性质；（2）与指数函数有关的复合函数的性质既要考虑到指数函数的性质，又要考虑到与之复合的函数性质．
追踪训练二
1．求下列函数的定义域、值域：
(1) (2)
解：（1） ∴
原函数的定义域是，
令 则
∴得，
所以，原函数的值域是．
（2） ∴
原函数的定义域是，
令 则，
在是增函数 ∴，
所以，原函数的值域是．
学生质疑
教师释疑
第十七课时 指数函数（2）
【学习导航】
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学习要求
1．进一步掌握指数函数的图象、性质；
2．初步掌握函数图象之间最基本的初等变换。
3．提高观察、抽象的能力．
自学评价
1．已知，与的图象关于 轴 对称；与的图象关于 轴 对称.
2. 已知，由 的图象
向左平移个单位
得到的图象；
向右平移个单位
得到的图象；
向上平移个单位
得到的图象；
向下平移个单位
得到的图象.
【精典范例】
例1： 说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）； （2）．
【解】
（1）比较函数与的关系：
与相等，
与相等，
与相等 ，
……
由此可以知道，将指数函数的图象向左平移1个单位长度，就得到函数的图象。
（2）比较函数与的关系：
与相等，
与相等，
与相等 ， ……
由此可以知道，将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象。
点评:
一般地，当时，将函数的图象向左平移个单位得到的图象；
当时，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象
例2：说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）；（2）．
【解】比较函数与的关系：
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；……；
由此可以知道，将指数函数的图象向上平移1个单位长度，就得到函数的图象。
同理可知，将指数函数的图象向下平移2个单位长度，就得到函数的图象。
点评: 当时，将函数的图象向上平移个单位得到的图象；
当时，将函数的图象向下平移个单位得到的图象。
例3：画出函数的图象并根据图象求它的单调区间：
（1）；（2）
分析：先要对解析式化简 .
【解】（1），
由图象可得函数递增区间为,递减区间为.
(2) ，
由图象可得函数递增区间为,递减区间为．
点评:画与指数函数复合的函数图象时要先化简解析式，然后再寻找它与指数函数图象之间的关系.
追踪训练一
1. （1）函数恒过定点为____________.
（2）已知函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_____________.
2. 怎样由的图象，得到函数的图象？
解：
.
∴将的图象向右平移个单位，再
向下平移个单位，就得到函数的图象.
3. 说出函数与图象之间的关系：
解：当时，函数的图象向右移个单位；得到函数的图象；
当时，函数的图象向左移个单位；得到函数的图象．
【选修延伸】
一、指数函数图象与方程和不等式
例4: （1）求方程的近似解（精确到）；（2）求不等式的解集.
【解】方程可化为，
分别画出函数与函数的图象（1）由图象可以知道，方程的近似解为；（2）不等式的解集为.
点评:与指数函数有关的方程与不等式当用代数方法比较困难时，通常将它们拆成两个函数，通过观察函数的图象来求出结果.

追踪训练二
已知是定义在上的奇函数，且时，.
求函数的解析式；（２）画出函数的图象；（３）写出函数单调区间及值域；（４）求使恒成立的实数的取值范围．
解：（１）∵，∴，
又当时，
，
∴.
函数的图象为
根据的图象知：的单调增区间为，；
值域为
.
（４）根据的图象知：使恒成立的实数的取值范围为．
学生质疑
教师释疑
第十八课时 指数函数（3）
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学习要求
1．熟练掌握指数函数的图象和性质；
2．能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题，体会指数函数是一类重要的函数模型；
3．培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的能力以及分析问题、解决问题的能力．
自学评价
1．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的总产值，可以用公式 表示.
【精典范例】
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
【解】
设该物质的质量是1,经过年后剩留量是.
经过1年,剩留量
经过2年,剩留量
…………………………
经过年,剩留量
点评:先考虑特殊情况，然后抽象到一般结论．
例2：某种储蓄按复利计算利息，若本金为元，每期利率为，设存期是，本利和（本金加上利息）为元．
（1）写出本利和随存期变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
分析：复利要把本利和作为本金来计算下一年的利息．
【解】
(1)已知本金为元,利率为则:
1期后的本利和为
2期后的本利和为
……………………………
期后的本利和为
(2)将代入上式得
(元).
答:5期后的本利和为1117.68元
点评:审清题意是求函数关系式的关键；同时要能从具体的、特殊的结论出发，归纳、总结出一般结论．
例3：年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右．按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）．
【解】设2000年我国的年生产总值为,则年生产总值随时间(年)的函数关系可
表示为
图象为
由图象可见经过10年国内生产总值约2倍.
或当时
，
答:2010年我国国内生产总值约为2000年的2倍.
点评:建立函数关系是解决实际问题的重要方法，同时利用函数图象求方程的近似解是常用方法．
追踪训练一
1.（1） 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件个,计划从今年开始的年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长,则此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式为
.
（2）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是元/个, 计划从今年开始的年内, 每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降,则此种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式是
．
2. 年月日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积与垃圾体积的加倍的周期(年)数的关系的表格,并回答下列问题:
周期数
体积
…
…
设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问年后该市垃圾的体积是多少?
根据报纸所述的信息,你估计年前垃圾的体积是多少?
如果,这时的表示什么信息?
写出与的函数关系式,并画出函数图象(横轴取轴);
曲线可能与横轴相交吗?为什么?
解:(1)由于垃圾的体积每年增加倍,年后即个周期后, 该城市垃圾的体积是.
(2) 根据报纸所述的信息,估计年前垃圾的体积是.
(3)如果,这时的表示年前,表示年前的垃圾.
（4）与的函数关系式是，图象如图
（5）对任意整数，有，所以，曲线不可能与横轴相交.
【选修延伸】
一、指数函数与二次函数的选择
例4: 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、万件、万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或（其中为常数）．已知4月份该产品的产量为万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好并说明理由．
【解】
(1)若选用二次函数,则可设为
由条件可得:
解得:

当时,(万件)
(2)若选用
解得

当时,(万件)
由(1)(2)可得选用较好.

追踪训练二
1．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木。该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为，以后每年的木材增长率为，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满。问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？（参考数据：）．
解：设新树苗的木材量为，
①若连续生长10年，木材量为
，
②生长5年重栽新树苗，木材量为
，
则．
∴，
生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量．
学生质疑
教师释疑
第十九课时 指数函数(4)
【学习导航】
学习要求：
1、巩固指数函数的图象及其性质；
2、掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数性质；
【精典范例】
复合函数的定义域与值域
例1、求下列函数的定义域与值域。
(1)y=；
(2)y=；
(3)y=
思维分析：y=a的定义域是f(x)的定义域；对于值域，要先求出f(x) 值域再利用指数函数单调性求解。
【解】：
（1）令，得。解得x1，或x<－1。故定义域为
{x│x1，或x<－1}。由于，且，所以
，
故函数y=的值域为{y│y且y};
(2) 定义域为R；由于2x－x=－(x－1)+1,所以值域为[。
（3）令3，所以x.
所以定义域为[－，值域为[。
二、利用复合函数单调性来解题
例2、求函数y=的单调区间。
【解】：
定义域是R。令，则。当时函数为增函数，是减函数，所以函数y=在上是减函数；当时函数为减函数，是减函数，所以函数y=在上是增函数。
综上，函数y=的单调增区间是，单调减区间是。
点评：y=a的单调性由a和u=f(x)两函数在相应区间上单调性确定的，遵循“同增异减”法则。
三、利用图象的性质比较大小
例3、已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，根据图象判断[f(x1)+f(x2)]与f()的大小，并加以证明。
【解】：
由a>1及0证明如下：f(x1)+f(x2)-2 f()=+－2a=( a－a),由于，所以a－a.
所以( a－a)〉0.
所以f(x1)+f(x2)-2 f()>0
即
[f(x1)+f(x2)]> f()。
四、分类讨论思想在解题中的应用
例4、已知f(x)=(ex－a)+ (e－x－a)(a0)。
f(x)将表示成u= 的函数；
求f(x)的最小值
思维分析：平方展开重新配方，就可以得到所求函数的形式；然后根据二次函数的知识确定最值。
【解】：
（1）将f(x) 展开重新配方得，f(x)
=(ex+e－x)－2a(ex+e－x)+2a－2
令u= ，得f(x)=4u－4au+2 a－2(u)
(2)因为f(u)的对称轴是u=，又a
所以当时，则当u=1时，f(u)有最小值，此时f(u) =f(1)=2(a－1)。
当a>2时，则当u=时，f(u)有最小值，此时f(u)=f ()=a－2.
所以f(x)的最小值为
f(x)=
点评：这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函数在区间上的单调性确定最值。
追踪训练
1、求下列函数定义域和值域.
(1)y=；
(2)y=
答案：（1）定义域[-1，2]；
[，1]。
（2）定义域{x│x-1}

值域{y│y>2,或02、求函数y=的单调区间.
答案：利用复合函数单调性的规律，容易得到函数y=的单调增区间是[0，1]，单调减区间是[1，2]。
3、已知f(x)=（a>0,且a）
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)判断f(x)与的关系；
(3)讨论f(x)的单调性；
答案：（1）定义域为R，
值域为（-1，1）
（2）f(－x) = －f(x)
（3）当a>1时，f(x)=在定义域上为增函数；当04、已知g(x)=()x(x>0)，而f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x>0时，f(x)=g(x)，则f(x)的解析式为_ ___________.
答案：f(x)_=
5、设a是实数，f(x)=.
(1)证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数成立。
答案：（1）证明略
（2）利用奇函数的定义式，易得a=1
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）
一、知识结构
二、重点难点
重点：
函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用；
难点：
运用函数解决问题：建立数学模型。
第一课时 函数的概念和图象（1）
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学习要求
1．理解函数概念；
2．了解构成函数的三个要素；
3．会求一些简单函数的定义域与值域；
4．培养理解抽象概念的能力．
自学评价
函数的定义：设是两个非空数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从到的一个函数，记为．其中输入值组成的集合叫做函数的定义域，所有输出值的取值集合叫做函数的值域。
【精典范例】
例1：判断下列对应是否为函数：
（1）
（2）；
（3），，
；
（4），，
．
【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合中的即可．
【解】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是。
点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。
例2：求下列函数的定义域：
（1）
（2）；
（3）．
【解】（1）；（2）；（3）。
点评: 求函数的定义域时通常有以下几种情况：
①如果是整式，那么函数的定义域是实数集；
②如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
③如果为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
④如果是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。
例3：比较下列两个函数的定义域与值域：
（1）f(x)=(x+2)2+1，x∈{－1,0,1,2,3}；
（2）．
【解】（1）函数的定义域为
∴函数值域为{2,5,10,17,26}；
（2）函数的定义域为，∵，
∴函数值域为。
点评:对应法则相同的函数，不一定是相同的函数。
追踪训练一
1. 对于集合，，有下列从到的三个对应：① ；②；③；其中是从到的函数的对应的序号为 ① ② ；
2. 函数的定义域为
；
3. 函数f(x)=x－1（且）的值域为．
【选修延伸】
一、求函数值
例4: 已知函数的定义域为
，求的值．
分析：求的值，即当时，求的值。
【解】；
二．求函数的定义域
例5．求函数的定义域。
【解】由，得，∴且，即函数的定义域为。
思维点拨
求函数定义域，不能先化简函数表达式，否则容易出错。如例5，若先化简得,此时求得的定义域为显然是错误的．
追踪训练二
1．若，则
2 ；
2．函数的定义域为
；
3．已知函数的定义域为[－2，3]，则函数的定义域为[－3，2]．
学生质疑
教师释疑
第二十课时 对数（1）
【学习导航】
知识网络
学习要求：
1. 理解对数的概念；
2. 能够进行对数式与指数式的互化；
3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。
自学评价
对数定义：
一般地，如果（）的次幂等于, 即，那么就称是以为底的对数（logarithm），记作 ，其中，叫做对数的底数(base of logarithm)，叫做真数(proper number)。
着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，与所表示的是三个量之间的同一个关系。
2. 对数的性质：
（1） 零和负数没有对数 ，
（2）
（3）
这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。
3. 两种特殊的对数是①常用对数：以10作底 简记为
②自然对数：以作底（为无理数），
= 2.718 28…… ， 简记为．
4.对数恒等式（1）
（2）
【精典范例】
例1：将下列指数式写成对数式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解】
（1） （2）
（3） （4）
例2：．将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【解】
（1） （2）
（3） （4）
点评: 两题的关键是抓住对数与指数幂的关系进行变换
例3：．求下列各式的值：
⑴； ⑵； (3)；（4）； （5）
分析：根据对数的概念，将对数式还原成指数式即可得出（1）（2）（3）（5），（4）用对数的恒等式
【解】
由，得
由，得
由，得
（4）
（5）
点评: 利用对数恒等式且，，应用此公式时，一定要注意公式的结构，当指数的底和对数的底是同一个数时，能用此公式化简。
追踪训练一
1.将化为对数式
2.将化为指数式
3.求值：（1） （2）
答案：1.
2.
3.(1)4 (2)0
【选修延伸】
一、对数式与指数式 关系的应用
例4:计算： ①，② ．
【解】解：①设 则 ， , ∴ ∴
②方法同①
例5：求 x 的值：
①；
②．
③
【解】
①
②
但必须： ， ∴舍去 ，从而．
③ ∴。
点评:本题的关键是根据对数的概念，将对数式还原成指数式，但要注意对数式中底数和真数的取值要求。
思维点拔：
要明确在对数式与指数式中各自的含义，在指数式中，是底数，是指数，是幂；在对数式中，是对数的底数，是真数，是以为底的对数，虽然在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求对数就是求中的指数，也就是确定的多少次幂等于。
追踪训练二
求下列各式中的x的值：
⑴logx9=2；⑵lgx2= -2；
⑶log2[log2(log2x)]=0
答案：（1） （2）
（3）
学生质疑
教师释疑
第二十一课时 对数（2）
学习要求
1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
2．能较熟练地运用这些法则和联系的观点解决问题；
自学评价
1．指数幂运算的性质
（1）
（2）（3）
2. 对数的运算性质
如果 a > 0 ， a ( 1， M > 0 ，N > 0， 那么
（1）；
（2）
（3）
说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；
（2）注意有时必须逆向运算：如 ；
（3）注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义。
是不成立的，
是不成立的（4）当心记忆错误：
，试举反例， ，试举反例。
（5）对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。
【精典范例】
例1：用，，表示下列各式：（1）；（2）．
分析：应用对数运算的性质可直接得出。
【解】（1）原式；
（2）原式
例2：求下列各式的值：
（1）； （2）；
（3）；
（4）
【解】
（1）
（2）
（3）
（4）
点评: 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键。
例3：已知，求下列各式的值（结果保留４位小数）：
　　(1) ；　　　(2)
【解】（1）
（2）
点评:寻找已知条件与所求结论的内在联系这是解题的一般途径。。
例4:计算：（1）14；；
（3）
【解】（1）解法一：
解法二：
=；
（2）原式
（3）原式

点评:灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用。在化简变形的过程中，要善于观察比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案。
是一个重要的结论。
追踪训练一
1. 用，，表示：
2.求值：（1）
（2）
3. 已知，求的值（结果保留４位小数）：
答案：１．
２．（１）－３２　（２）１
３．


【选修延伸】
一、对数与方程
例5：已知，求之间的关系。
分析：由于在幂的指数上，所以可考虑用对数式表示出。
【解】∵ ，∴两边取以10为底的对数得：
∴，∵
∴
点评:本题要求关于的代数式的值，必须对已知等式两边取对数，恰当的选取对数的底数是十分重要的，同时是关键。
例6．设，
求：的值
分析：本题只需求出的值，从条件式出发，设法变形为的方程。
【解】当时，原式可化为：，即
，∴或（舍）
∴
思维点拔：
本题在求时，不是分别求出的值，而是把看成一个字母，这种方法称为“整体”思想方法。是关于的齐次式，对于齐次式通常都用本题的方法处理。
对于连比式，通常对等式两边取对数，转化为对数运算，同时化对数的底数相同也是解决对数问题的常用策略．
追踪训练二
1．设，求的值。
2．已知：，求
学生质疑
教师释疑
答案：１．∵　
∴　∴
∴
２．（法一）由对数定义可知：．
（法二）由已知移项可得，
即，由对数定义知：，
∴ ．
（法三），
∴，
∴ ．
第二十二课时 对数（3）
学习要求
1．初步掌握对数运算的换底公式及其简单应用。
2．培养学生的数学应用意识。
自学评价
1．对数换底公式
2．说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）：
① ；
② ；
③
３．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则，所以利用换底公式可以解决一些对数的底不同的对数运算。
【精典范例】
例1：计算
（1）
（2）
（3）
分析：这是底不同的对数运算，可考虑用对数换底公式求解。
【解】
（1）原式
（2）原式
另解：原式（3）原式
点评: 利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：⑴针对具体问题，选择恰当的底数；⑵注意换底公式与对数运算法则结合使用；⑶换底公式的正用与逆用；
（4） 变形公式可简化运算。
例2：1）已知，试用表示
（2）已知，，用、表示
（3）已知，用表示
【解】（1）
∵
∴
（2）∵，
∴
（3）由，得
∴
点评:当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，统一到一种表达式上，在求解过程中，根据题目的需要，将指数式转化为对数式，或将对数式转化为指数式，这正是数学数学转化思想的具体表现。
追踪训练一
1.利用换底公式计算：
（1）
（2）
2.求证：
3．
答案：1．（1）2 （2） 2。略
3．2
【选修延伸】
一、对数的应用
例3：如图,2000年我国国内生产总值（GDP）为89442亿元.如果我国GDP年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年以后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？
【解】
设经过年后我国的GDP实现比2000年翻两番. 则:

∴
答:约经过19年以后,我国GDP才能实现比2000年番两番.
例4: 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性.动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变.经过5730年（的半衰期），它的残余量只有原始量的一半.我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代.
分析：
【解】设经过年后的残余量是，由的半衰期是5730年，即时，得 ，
∴，，∴由，知
∴，∴
∴古莲子约是1066年前的遗物。
思维点拔：
有关增长率问题，满足关系式，其中是增长（降低）前的量，为增长率（降低率），为增长（降低）次数，是增长（降低）后的量，要求 或需要对等式两边取对数，选择恰当的底数是关键，在解题过程中，常取常用对数。
追踪训练二
1．
2．
3．
学生质疑
教师释疑
第二十三课时 对数函数（1）
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．要求了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系。
2．了解对数函数与指数函数的互为反函数，能利用其相互关系研究问题，会求对数函数的定义域；
3．记住对数函数图象的规律，并能用于解题；
4．培养培养学生数形结合的意识用联系的观点研究数学问题的能力。
自学评价
对数函数的定义：
函数 叫做对数函数(logarithmic fun_ction),
定义域是
思考：函数与函数的定义域、值域之间有什么关系？
2. 对数函数的性质为
图
象

性
质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即当时，
（4）在（0，+∞）上是增函数
（4）在上是减函数
3. 对数函数的图象与指数函数的图象
关于直线对称。
画对数函数的图象，可以通过作关于直线的轴对称图象获得，但在一般情况下，要画给定的对数函数的图象，这种方法是不方便的。所以仍然要掌握用描点法画图的方法，注意抓住特殊点（1，0）及图象的相对位置。
4.指数函数与对数函数称为互为反函数。
指数函数的定义域和值域分别是对数函数的值域和定义域。
5．一般地，如果函数存在反函数，那么它的反函数，记作
思考：互为反函数的两个函数的定义域和值域有什么关系？
原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域。
【精典范例】
例1：求下列函数的定义域
（1）；
（2） ；
（3）
（4）
[分析]：此题主要利用对数函数的定义域求解。
（1）由得，
∴函数的定义域是；
（2）由得，
∴函数
的定义域是
（3）得
或
∴函数的定义域是
（4）由 得
∴，函数的定义域是
例2：利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小：
（1），；　（2），；
（3），； （4），，
【解】（1）对数函数在上是增函数，
于是；
（2）对数函数在上是减函数，
于是；
（3）．∵，
，
；
（4）∵，
而
∴（1）
点评: 本例是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1 或0），间接比较上述两个对数的大小。
例3若且，求的取值范围
（2）已知，求的取值范围；
【解】（1）当时在上是单调增函数，
当时在上是单调减函数，
综上所述：的取值范围为
（2）当，即时
由， 解得：

∴
当，即时
由， 解得：
，此时无解。
综上所述：的取值范围为
点评:本题的关键是利用对数函数的单调性解不等式，一定要注意对数函数定义域。
追踪训练一
1.求函数的定义域，并画出函数的图象。
2. 比较下列各组数中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），.
（4），，
3.解下列方程：
（1） （2）
（3）
（4）
4．解不等式：
（1）
（2）
答案：1．略
2．（1）
（2）
（3）当时，，
当时，
（4）
3．（1） （2）
（3） （4）
4．（1） （2）
学生质疑
教师释疑

第二十四课时 对数函数（2）
学习要求
1.复习巩固对数函数的图象和性质；
2.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域等；
3.了解函数图像的平移变换、对称变换、绝对值变换。．
自学评价
1．函数的图象是由函数
的图象向左平移2个单位 得到。
2. 函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位，得到。
3. 函数（）的图象是由函数的图象当时先向左平移 b个单位，再向上平移c 个单位得到; 当时先向右平移| b|个单位，再向上平移c 个单位得到; 当时先向左平移 b个单位，再向下平移|c |个单位得到; 当时先向右平移| b|个 单位，再向下平移|c| 个单位得到。
4.说明：上述变换称为平移变换。
【精典范例】
例1：说明下列函数的图像与对数函数的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：
(1)； (2)；　
(3) ；(4)
分析：由函数式出发分析它与的关系，再由的图象作出相应函数的图象。
【解】（1）
图象（略）
由图象知：单调增区间为，单调减区间为。
（2）
由图象知：单调增区间为，单调减区间为。
（3）
由图象知：单调减区间为。
（4）
由图象知：单调减区间为。
点评:
（1）上述变换称为对称变换。一般地：
①；
②；
③；
④
（2）练习：怎样由对数函数的图像得到下列函数的图像？
(1)；
(2)；
答案：（1）由的图象先向2左平移1个单位，保留上方部分的图象，并把轴下方部分的图象翻折上去得到
的图象。
（2）的图象是关于轴对称的图象。
例2：求下列函数的定义域、值域：
（1）； （2）； （3）（且）．
分析：这是复合函数的值域问题，复合函数的值域的求法是在定义域的基础上，利用函数的单调性，由内而外，逐层求解。
【解】（1）由得
的定义域为，值域为
（2）由得，的定义域为
由，令,则，
的值域为
（3）由得，即定义域为
设则
当时在上是单调增函数，的值域为
当时在上是单调减函数，的值域为
点评: 求复合函数的值域一定要注意定义域。
例3：设f (x)＝lg(ax2－2x＋a),
(1) 如果f (x)的定义域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围；
(2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围．
【解】(1) ∵f (x)的定义域是(－∞, ＋∞),
∴ 当x∈(－∞, ＋∞)时,都有ax2－2x＋a>0, 即满足条件a>0, 且△<0, 4－4a2<0, ∴a>1.
(2) ∵f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，即当x在定义域内取值时，可以使y∈(－∞, ＋∞).
要求ax2－2x＋a可以取到大于零的一切值，∴ a>0且△≥0 (4－4a≥0)或a＝0,
解得0≤a≤1.
点评:第一小题相当于ax2－2x＋a>0,恒成立，；
第二小题是要ax2－2x＋a 能取到大于零的一切值，两题都利用二次函数的性质求解，要能正确区分这两者的区别。
追踪训练一
1. 比较下列各组值的大小：
（1），；
（2），，；
2.解下列不等式：
（1） （2）
3.画出函数与的图象，并指出这两个函数图象之间的关系。
答案：1。（1）；
（2）
2．（1） （2）
3．图象略函数的图象向右平移2个单位得到的图象。
【选修延伸】
例4: 已知，比较，的大小。
[分析]：由条件可得：
；
所以，，则。
[变式]：已知，则，的大小又如何？
【解】∵，
∴，
当，时，得，
∴， ∴．
当，时，得，
∴， ∴．
当，时，得，，
∴，， ∴．
综上所述，，的大小关系为或或
思维点拔：
对于不同底的对数式，一般的方法是转化为同底的对数式，然后再利用对数函数的单调性求解，此类题目也可以用对数函数的图象的分布特征求解。数形结合是解决函数问题的重要思想方法。
追踪训练二
1比较下列各组值的大小．
，，
答案：
学生质疑
教师释疑

第二十五课时 对数函数（3）
学习要求
1.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域和单调性等；
2.能熟练地运用对数函数的性质解题；
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
自学评价
1．
2.
3.
4.
【精典范例】
例1：讨论函数的奇偶性与单调性。
【解】由题意可知：解得：
定义域为
又
为偶函数
证明：在是任取
令,,则
，
即
又在上是增函数
即
在上单调递增。
同理可证：在上单调递减。
点评:判断函数奇偶性，必须先求出定义域，单调性的判断在定义域内用定义判断。
例2：(1)求函数的单调区间．
(2)若函数在区间上是增函数，的取值范围．
【解】(1)令在上递增，在上递减，
又∵， ∴或，
故在上递增，在上递减， 又∵为减函数，
所以，函数在上递增，在上递减．
(2)令，
∵函数为减函数，
∴在区间上递减，
且满足，
∴，解得
，
所以，的取值范围为．
点评:利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间．
例3：已知满足
，
求函数的最值。
【解】由题意：
可转化为：，将看作整体，
解得：，
即，
所以
令，
则
则
所以，
点评:利用函数的单调性求函数最值（或值域）是求函数最值（或值域）的主要方法之一，本题首先要根据条件求出的取值范围，体现了整体思想方法，然后转化为二次函数，体现了化归的思想方法，换元法的使用是实现化归思想的一种手段，也是化归的一个过程。
追踪训练一
函数的定义域
是（0，2）,值域是，
单调增区间是（0，1）
2．求函数
的最小值和最大值。
答案：1。定义域：
值域：
单调增区间：
2．最小值， 最大值7
【选修延伸】
一、对数与方程
例4:若方程的所有解都大于1，求的取值范围。
分析：由对数函数的性质，方程可变形为关于的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论。
【解】原方程可化为：

即
令，则方程等价于
若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解都大于0，则
解得：
思维点拔：
（1）有关对数方程解的情况讨论，通常是利用换元法，将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论；如果是方程解的个数问题，又可以用函数的图象求解，如求方程的实根的个数。
（2）换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。
追踪训练二
已知方程
（1）若方程有且只有一个根，求的取值范围 ．
（2）若方程无实数根，求的取值范围 ．
答案：（1）
（2）
学生质疑
教师释疑
第26课时 对数函数（4）
【学习导航】
学习要求
进一步巩固对数函数的性质；
掌握简单的对数不等式求解方法；
掌握对数函数与恒成立问题。
【精典范例】
一、对数不等式的求解方法
例1、解关于x的对数不等式；
2 loga (x－4)>loga(x－2).
思维分析：可以去掉对数符号，化为一般的代数不等式求解；同时考虑到底数a的取值范围不确定，故应进行分类讨论。
解：原不等式等价于
(1)当a>1时，又等价于
解之，得x>6。
(2)当0解之，得4综上，不等式的解集，当a>1时，为(6，+ ∞)；
当0二、以对数函数为模型的抽象函数问题
例2、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y).(1)证明f(1)=0；(2)求f(16)；(3)试证f(xn)=nf(x)，n∈N*.
思维分析：这显然是一个抽象函数。根据题目给定的三个条件，可以将对数函数y=log4x作为该函数的原型，从而找到问题的解决思路与方法。
(1)证明：令x=y=1，则得f(1)=f(1)+f(1)，故f(1)=0；
(2)解：令x=y=4，则有f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=1+1=2；
(3)证明：f(xn)=f(x·x·…·x) (n个x)
=f(x)+f(x)+…+f(x)=nf(x) (n个f(x))
三、对数函数与恒成立问题
例3: 已知：在上恒有，求实数的取值范围。
分析：去掉绝对值符号，转化为含对数式的不等式。
【解】∵，∴当时，，由在上恒成立 ，得 在上恒成立，
∴，∴ （1）
当时，，由在上恒成立 ，得 在上恒成立，∴，
∴（2）
由（1）（2）可知，实数的取值范围为
思维点拔：
本题的特点是给出了自变量的取值范围，求字母的取值范围，它与解不等式有本质的区别，在上恒成立，是指在
上的所有值都大于1，这是一个不定问题，但转化为函数的最大（最小）值后，问题就简单了，这类问题的一般结论是：
（1）（为常数，）恒成立，
（2）（为常数，）恒成立，
利用这两个结论，可以把“不定”问题转化为“定”的问题。
追踪训练
1、解不等式
解答：{x|－12、若函数f(x)满足f(x+y)+f(x－y)=f(x2－y2)，则f(x)可以是( )
A.f(x)=2x B.f(x)=x2 C.f(x)=log2x D.f(x)=2x
解答：C
3、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，且对任意的x、y>0满足f()=f(x)－f(y)，当x>1时有f(x)<0，试判断f(x)的单调性并证明.
解答：f(x)在(0，+∞)上是减函数。证明略。
4、已知函数，
当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：要使当时，恒成立，即要：当恒成立
令
当，即时，得

当，即时，得
（舍去）
当，即时，得
∴
由（1）（2）（3）可知，实数的取值范围为。
第二十七课时 幂函数（1）
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学习要求
1．了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；；
2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；
3．进一步体会数形结合的思想．
自学评价
1．幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点；
（2）当时，幂函数在上单调递增；当时，幂函数在上 单调递减；
（3）当时，幂函数是 偶函数 ；
当时，幂函数是 奇函数 ．
【精典范例】
例1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；
【解】（1）此函数的定义域为R，

∴此函数为奇函数．
（2）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
此函数为非奇非偶函数．
（3）
∴此函数的定义域为

∴此函数为偶函数
（4）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（5）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
（6）

∴此函数的定义域为
∴此函数既是奇函数又是偶函数
点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．
例2：比较大小：
（1） （2）
（3）
（4）
分析：抓住各数的形式特点，联想相应函数的性质，是比较大小的基本思路．
【解】（1）∵在上是增函数，，∴
（2）∵在上是增函数，
，∴
（3）∵在上是减函数，
，∴；
∵是增函数，，
∴；
综上，
（4）∵，，，
∴
点评: 若两个数是同一个函数的两个函数值，则可用函数的单调性比较大小；若两个数不是同一个函数的函数值，则可利用0，1等数架设桥梁来比较大小．
追踪训练一
1．在函数（1）（2）（3），（4）中，是幂函数序号为 （1） ．
2.已知幂函数的图象过，试求出这个函数的解析式；
答案：
3．求函数的定义域．
答案：
【选修延伸】
一、幂函数图象的运用
例3：已知，求的取值范围．
【解】在同一坐标系中作出幂函数和的图象，可得的取值范围为．
点评:数形结合的运用是解决问题的关键．
二、幂函数单调性的证明
例4: 证明幂函数在上是增函数．
分析：直接根据函数单调性的定义来证明．
【解】证：设，
则

即
此函数在上是增函数
追踪训练二
1．下列函数中，在区间上是单调增函数的是 （ B ）
A． B．
C． D．
2．函数的值域是 （ D ）
A． B． C． D．
3．若，则的取值范围是 （ C ）
A． B． C． D．
4．证明：函数在上是减函数．
证：略．
学生质疑
教师释疑
第二十八课时 幂函数（2）
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学习要求
1．了解幂函数的概念，能画出一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征；
2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；
3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养．
自学评价
1．幂函数的性质：
（1）都过点；
（2）任何幂函数都不过 第四 象限；
（3）当时，幂函数的图象过 原点 ．
2．幂函数的图象在第一象限的分布规律：
（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 下 到 上 分布；
（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在
第一 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 原点 对称．
【精典范例】
例1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1） （2）
（3）（4）（5）
分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．
【解】（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．
（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，在上单调递减．
（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．
（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．
（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．
点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．
例2：将下列各组数用小于号从小到大排列：
（1）
（2）
（3）
分析：（1）底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了．
（2）观察发现，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小．
【解】（1）
（2）
（3）
点评: 比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
例3：已知的图象如图所示：

则，，，的大小关系是：
分析：对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：正抛物负双曲，大竖直小横铺．即
【解】有幂函数的性质，当自变量时，幂指数大的函数值比较大，故有
点评: 幂函数在第一象限内的图象均过点，在区间 上，值越小，图象越靠近轴．
追踪训练一
1. 图中曲线是幂函数在第一相限的图象，已知取， 四个值，则相应与曲线、、、的值依次为（ B ）
，，，
，，，
，，，
，，，
2.给出下列四个函数：；；；，其中定义域和值域相同的是 （2）（3） （写出所有满足条件的函数的序号）
3. 比较下列几组数大小
（1），，；
（2），，．
解：（1）∵幂函数在上单调递增，且，
∴；
（2），，，
∵幂函数在上单调递减，且，，
∴即．
【选修延伸】
一、幂函数性质的运用
例4: 已知，求的取值范围．
分析：数形给合思想的运用．由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解．
【解】因为在和上为减函数，时，；时，．原不等式可以化为
（1）（2）
（3）
（1）无解；（2），（3）
所以所求的取值范围为
{}
点评:利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式．
二、幂函数图象的性质特征
例5：已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合，便可逐步确定的值．
【解】 ∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，
∴是奇数，∴或．
点评: 掌握幂函数图象的特征，是顺利解题的关键．
思维点拔：
（1）比较同指数幂的大小，利用幂函数的单调性；
（2）根据幂函数的图象，判断指数的大小，或根据幂函数的指数的大小，描述其图象的特征；
（3）判断幂函数的奇偶性，宜先将分数指数化为根式的形式．
追踪训练二
1．设满足，下列不等式中正确的是 （ C ）
A．B．C． D．
2．函数在第二象限内单调递增，则的最大负整数是．
3．求函数的值域．
答案：
学生质疑
教师释疑
第二十九课时 指数函数、对数函数、幂函数
【学习导航】
学习要求
1、进一步巩固指数、函数，幂函数的基本概念。
2、能运用指数函数，对数函数，幂函数的性质解决一些问题。
3、掌握图象的一些变换。
4、能解决一些复合函数的单调性、奇偶性等问题。
【精典范例】
例1、已知f(x)=x3·()；
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明：f(x)>0.
【解】：(1)因为2x－1≠0，即2x≠1，所以x≠0，即函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0} .
又f(x)=x3()=，
f(－x)==f(x)，
所以函数f(x)是偶函数。
(2)当x>0时，则
x3>0，2x>1，2x－1>0，
所以f(x)=
又f(x)=f(－x),
当x<0时，f(x) =f(－x)>0.
综上述f(x)>0.
例2、已知f(x)=若f(x)满足f(－x)=－f(x).
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性。
【解】：(1)函数f(x)的定义域为R，
又f(x)满足f(－x)= －f(x)，
所以f(－0)= －f(0)，即f(0)=0.
所以，解得a=1，
(2)设x1则f(x1) －f(x2)=
=
所以f(x1) －f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在定义域R上为增函数.
例3、已知f(x)=log(x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点()在函数y=g(x)的图象上运动。
(1)写出y=g(x)的解析式；
(2)求出使g(x)>f(x)的x的取值范围；
(3)在(2)的范围内，求y=g(x) －f(x)的最大值。
【解】：(1)令，
则x=2s,y=2t.
因为点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动
所以2t=log2(3s+1)，
即t=log2(3s+1)
所以g(x)= log2(3s+1)
(2)因为g(x)>f(x)
所以log2(3x+1)>log2(x+1)
即
(3)最大值是log23－
例4、已知函数f(x)满足f(x2－3)=lg
(1)求f(x)的表达式及其定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值.
解：(1)设x2－3=t，则x2=t+3
所以f(t)=lg
所f(x)=lg
解不等式，得x<－3，或x>3.
所以f(x)-lg，定义域为(－∞，－3)∪(3，+∞).
(2)f(-x)=lg=－f(x).
(3)因为f[g(x)]=lg(x+1)，f(x)=lg，
所以lg，
所以
().
解得g(x)=,
所以g(3)=5
追踪训练
1、函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a=( )
A. B.2 C.4 D.
答案：B
2、函数y=2x与y=x2的图象的交点个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：D
3、已知函数y=log(3－ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A.(0，1) B.(1，3) C.(0，3 ) D.[3，+∞)
答案：B
4、y=log2|ax－1|(a≠0)的图象的对称轴为x=2，则a的值为( )
A. B.－ C.2 D.－2
答案：A
5、若函数f(x)=logax(其中a>0，且a≠1)在x∈[2，+∞)上总有|f(x)|>1成立，求a的取值范围。
答案：(,1)∪(1，2)
6、如果点 P0(x0,y0)在函数y=a (a>0且a≠1)的图象上，那么点P0关于直线y=x的对称点在函数y=logax的图象上吗？为什么？
答案：点P0关于直线y=x的对称点在函数y=logax的图象上。证明略。
第二课时 函数的概念和图象（2）
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学习要求
1．理解函数图象的意义；
2．能正确画出一些常见函数的图象；
3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；
4．从“形”的角度加深对函数的理解．
自学评价
1．函数的图象：将函数自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
2．函数的图象与其定义域、值域的对应关系：函数的图象在轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域，在轴上的射影构成的集合对应着函数的值域．
【精典范例】
例1：画出下列函数的图象：
（1）；
（2）；
（3），；
（4）．
【解】
点评:函数图象可以由直线或曲线（段）构成，也可以是一些离散的点．画函数的图象，必须注意图象的范围、图象经过的关键点、图象的变化趋势等．
例2：画出函数的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）比较的大小；
（2）若（或，或
）比较与的大小；
（3）分别写出函数（），
（）的值域．
【解】
（1）
（2）若，则
；
若，则；
若，则．
点评: 函数的图象能形象地反映函数的性质（定义域、值域、函数值的变化趋势等）．
追踪训练一
1．根据例1（2）中的图象可知，函数
的值域
为 ；
2. 直线与抛物线的交点有
1 个；直线与抛物线的交点可能有 1 个；
3. 函数与的图象相同吗？答：　不同　　．
【选修延伸】
一、函数值域
例4: 已知函数，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域：
（1）； （2）； （3）．
【解】
（1）；
（2）；
（3）．
例5．集合与集合相同吗？请说明理由．
【解】不相等．集合是坐标平面内的一个点集，表示函数的图象；集合是一个数集，表示函数的值域．
思维点拨
利用二次函数的图象求函数值域，作图时必须抓住以下关键点：抛物线的开口方向、对称轴、顶点以及区间的端点；解决集合问题，首先必须弄清集合中的元素是什么．
追踪训练二
1．已知函数f(x)=
(1)画出函数图象；
(2)求f{f[f(－2)]}
(3)求当f(x)= －7时，x的值；
解：(1)图象略
(2)f(－2)=2x(－2)+3=－1
f(－1)=( －1)2=1
f(1)=1
所以f{f[f(－2)]}=1
(3)因为f(x)= －7
所以2x+3=－7
所以x=－5
学生质疑
教师释疑
第三十课时二次函数与一元二次方程
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学习要求
1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；
2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；
3．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．
自学评价
1.二次函数的零点的概念
一元二次方程的根也称为二次函数（≠0）的零点．
2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系
（1）一元二次方程（≠0）有两个不相等的实数根，判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有两个交点为，对应的二次函数（≠0）有两个不同的零点，；
（2）一元二次方程（≠0）有两个相等的实数根=判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有唯一的交点为（，0）对应的二次函数（≠0）有两个相同零点=；
（3）一元二次方程（≠0）没有实数根判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴没有交点对应的二次函数（≠0）没有零点．
3. 推广
⑴函数的零点的概念
一般地，对于函数，我们把使的实数叫做函数 的零点．
⑵函数的零点与对应方程的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
【精典范例】
例1：求证：一元二次方程有两个不相等的实数根．
【解】证法1
∵=
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
证法2 设，
∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且∴函数的图象与轴有两个不同的交点，即一元二次方程有两个不相等的实数根．
点评:例1还可用配方法将方程化为再证明．也可仿照证法2，由抛物线开口向上及来推证．
例2：右图是一个二次函数的图象．
（1）写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析式；
（3）试比较，与的大小关系．
【解】（1）由图象可知此函数的零点是：，．
（2）由（1）可设=
∵ ∴
∴．即这个二次函数的解析式为．
（3）∵，，
，，
∴，．
点评:例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想．
例3：当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：
（1）方程的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程的两根都小于；
（3）方程的两根都在区间上；
（4）方程的一个根在区间上，另一根在区间上；
（5）方程至少有一个实根小于．
分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定的不等式（组）．
【解】⑴ 设，其图象为开口向上的抛物线．若要其与轴的两个交点在点的两侧，只需，即，∴ ．
⑵ 当时，满足题意．
当时，设. 若要
方程两根都小于1，只要
综上，方程的根都小于1时，
⑶ 设则方程两个根都在 上等价于：
∴．
（4）设，则方程一个根在上，另一根在上等价于
或．
（5）设，若方程的两个实根都小于，则有
若方程的两个根一个大于，另一个小于1，则有, ∴．
若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为，
∴， ∴．
综上，方程至少有一实根小于时，．
点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力．
追踪训练一
1. 函数的最大值是，则 （ D ）
A． B． C． D．
2. 设，, ，则 （ B ）
A． B． C． D．
3. 若关于的方程有一根在内，则_____．
4.若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是_________________．
【选修延伸】
一、二次函数与一元二次方程根的关系
例4:已知，是方程
()的两个实根，求的最大值和最小值．
分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系．要求的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以为自变量的的函数解析式．
【解】因为方程()有两个实根，所以
，解得
又，，
所以
．
而是减函数，因此当时，取最大值，当时，取最小值．
点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定的取值范围，否则无法确定函数的单调性．
．
追踪训练二
1． 若方程在内恰有
一解，则的取值范围是（ B ）
A． B．
C． D．
2．已知，并且、是方程的两个根，则实数、、、的大小关系可能是（ A ）
A．　　　B．
C．　D．
3．不等式对一切实数都立，则的取值范围是.
4． 已知二次函数和一次函数，其中，且，
（1）求证：两函数、的图象交于不同两点、；
（2）求线段在轴上投影长度的取值范围．
答案：（1）∵，，∴,．由 得，
因为．
所以两函数、的图象必交于不同的两点；
（2）设，，则 ．∵，，∴．
∴（，）．
学生质疑
教师释疑
第三十一课时用二分法求方程的近似解
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学习要求
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；
2．能借助计算器用二分法求方程的近似解；
3．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
自学评价
1．二分法
对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，验证，给定精度；
（2）求区间的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；
② 若·<，则令=（此时零点）；
③若·<，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度：即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤2~4．
【精典范例】
例1：利用计算器，求方程的一个近似解（精确到0.1）．
【解】设，
先画出函数图象的简图.
(如右图所示)
因为
，
所以在区间内，方程有一解，记为.取与的平均数，因为
，
所以 .
再取与的平均数，因为，
所以 .
如此继续下去，得
，因为与精确到的近似值都为，所以此方程的近似解为
.
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
点评:①第一步确定零点所在的大致区间，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；
②建议列表样式如下：
零点所在区间
区间中点函数值
区间长度
1
0.5
0.25
0.125
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．
例2：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）．
分析：分别画函数和
的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程的解．由函数与的图象可以发现，方程有惟一解，记为，并且这个解在区间内.
【解】设，利用计算器计算得
因为与精确到的近似值都为，所以此方程的近似解为
.
思考:发现计算的结果约稳定在.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．
除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．
例3：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）．
【解】方程
可以化为．
分别画函数
与的图象，由图象可以知道，方程的解在区间内，那么对于区间，利用二分法就可以求得它的近似解为.
追踪训练一
1. 设是方程的解，则所在的区间为 （ B ）
A． B．
C． D．
2. 估算方程的正根所在的区间是 （ B ）
A． B．
C． D．
3．计算器求得方程的负根所在的区间是（ A ）
A．（，0） B．
C． D．
4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到)
(1) (2)
答案: (1)(2),
【选修延伸】
一、含字母系数的二次函数问题
例4：二次函数中实数、、满足，其中，求证：
（1）)；
（2）方程在内恒有解．
分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：是区间 内的数，且，这就启发我们把区间 划分为(，)和（，）来处理．
【解】（1）

，
由于是二次函数,故，又，所以，．
⑵ 由题意，得, ．
①当时，由（1）知
若，则，又,所以 在（，）内有解．
若，则
，又，所以在（,）内有解．
②当时同理可证．
点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．
（2）对字母、分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对分类，然后对分类显然是比较好．
追踪训练二
1．若方程在内恰有一则实数的取值范围是 (B )
A． B．
C． D．
2.方程的两个根分别在区间和内，则的取值范围是；
3．已知函数，在上存在，使，则实数的取值范围是_________________．
4．已知函数
⑴试求函数的零点；
⑵是否存在自然数，使？若存在，求出，若不存在，请说明理由．
答案：（1）函数的零点为；
（2）计算得，，
由函数的单调性，可知不存在自然数，使成立．
学生质疑
教师释疑
第三十二课时函数与方程小结与复习
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学习要求
1．了解函数的零点与方程根的关系；
2．根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；
3．体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．
自学评价
1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．
2．函数与方程
两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．
3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
【精典范例】
例1：已知二次函数的图象经过点三点，
（1）求的解析式；
（2）求的零点；
（3）比较，，，与的大小关系．
分析：可设函数解析式为，将已知点的坐标代入方程解方程组求、、．
【解】（1）设函数解析式为，
由解得，
∴．
（2）令得或，
∴零点是．
（3） ，
，，．
点评：当二次函数的两个零点都在（或都不在）区间中时，；有且只有一个零点在区间中时，．
例2：利用计算器，求方程的近似解（精确到）．
分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解．
解法一：设，通过观察函数的草图得：
，，
∴方程有一根在内，设为，
∵，∴，
又∵，∴，如此继续下去，得
，
，
∵精确到的近似值都为，所以方程的一个近似值都为，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为．
点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号．
分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解．
解法二：将原方程写成 ①
取代入等式右边得，再将代入方程①右边，得，……
如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在，∴该方程的近似解为，精确到后为．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为．
点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法．
例3：已知函数的图象与轴在原点的右侧有交点，试确定实数的取值范围．
分析：
【解】（1）当时，与轴的交点为，符合题意；
（2）时，，
时，的图象是开口向下的抛物线，它与轴的两交点分别在原点的两侧；
时，的图象是开口向上的抛物线，必须，解得
综上可得的取值范围为.
追踪训练一
1．函数的图象与轴交点横坐标为 （ D ）
）
A. B. C.或 D.
2．已知则方程的解的个数是（ A ）
A. B. C. D. 不确定
3．直线与曲线
只有一个公共点，则k的值为（ A ）
A. 0， B. 0，
C. D. 0，
4．函数与轴交点坐标是 、，方程的根为 或 ．
5．已知方程在区间中有且只有一解，则实数的取值范围为 .
学生质疑
教师释疑
6．已知函数过点，则方程的解为 ．
7．求方程的近似解（精确到）．
答案：和
8．判断方程（其中）在区间内是否有解．
答案：有解．
第三十三课时函数模型及其应用(1)
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学习要求
1．了解解实际应用题的一般步骤；
2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；
3．渗透建模思想，初步具有建模的能力.
自学评价
1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括
建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键．
3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ．
【精典范例】
例1．写出等腰三角形顶角（单位：度）与底角的函数关系．
【解】
点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义．
例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本 (万元)、单位成本（万元）、销售收入（万元）以及利润（万元）关于总产量（台）的函数关系式.
分析：销售利润销售收入成本,其中成本 (固定成本可变成本).
【解】总成本与总产量的关系为
.
单位成本与总产量的关系为
.
销售收入与总产量的关系为
.
利润与总产量的关系为
．
例3．大气温度随着离开地面的高度增大而降低，到上空为止，大约每上升，气温降低，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为）．
求：（1）与的函数关系式；
（2）以及处的气温．
【解】（1）由题意，
当时，，
∴当时，，
从而当时，．
综上，所求函数关系为
；
（2）由（1）知，处的气温为
，
处的气温为．
点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题．
追踪训练一
1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为件时的成本函数是（元），若每售出一件这种商品的收入是元，那么生产并销售这种商品的数量是件时，该企业所得的利润可达到
.
2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（为线段，为某二次函数图象的一部分，为原点）.
（1）写出服药后与之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.
解：（1）由已知得
（2）当时，，得；
当时，，
得 ， ∴ ∴， ∴，
因此服药一次治疗疾病有效的时间约为小时.
【选修延伸】
一、函数与图象
高考热点1: （2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
A.气温最高时，用电量最多
B.气温最低时，用电量最少
C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加
答案：C
分析：该题考查对图表的识别和理解能力.
【解】经比较可发现，月份用电量最多，而月份气温明显不是最高.因此项错误.同理可判断出项错误.由、、三个月的气温和用电量可得出项正确.
思维点拔：
数学应用题的一般求解程序
（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；
（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
（3）解模：求解数学模型，得到数学结论；
（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．
追踪训练二
1. 有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是⊙O的直径，上底的端点在圆周上，写出这个梯形周长和腰长间的函数关系式，并求出它的定义域．
分析：关键是用半径与腰长表示上底，由对称性：，故只要求出．
解：设腰长，作垂足为， 连结，则，∴∽，
∴，，
∴
∴周长
，
∵是圆内接梯形
∴，
即，解得，
即函数的定义域为
本节学习疑点：如何根据题意建立恰当的函数模型来解决实际问题.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
第三十四课时函数模型及其应用（2）
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学习要求
1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题，
2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.
自学评价
1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为，每期利率为，存期为，则本金与利息和 ．
2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为，每期利率为，存期为，则本金与利息和 ．
3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的总产值，可以用公式 表示．
【精典范例】
例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是,经过一定时间后的温度是,则
,
其中表示环境温度,称为半衰期.
现有一杯用热水冲的速容咖啡,放在的房间中,如果咖啡降到需要,那么降温到时,需要多长时间?
【解】由题意知,即,解之,得,故
,
当时,代入上式, 得
,
即 ， 两边取对数,
用计算器求得
因此,约需要,可降温到
点评: 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.
例2：现有某种细胞个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由个细胞分裂成个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.
分析：现有细胞个，先考虑经过、、、
个小时后的细胞总数，
【解】小时后，细胞总数为
；
小时后，细胞总数为
；
小时后，细胞总数为
；
小时后，细胞总数为
;
可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，
由，得，两边取以10为底的对数，得，
∴， ∵，
∴.
答：经过小时，细胞总数超过个.
点评:本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数与时间之间的函数关系式；解类似这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．
这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．
例3：某公司拟投资万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率，按单利计算，年后收回本金和利息；另一种是年利率，按每年复利一次计算，年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资年可多得利息多少元？参考数据：，
分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．
【解】本金万元，年利率，按单利计算，年后收回的本息和是
万元，
本金万元，年利率，按每年复利一次计算，年后收回的本息和是万元，
因此，按年利率的复利一次计算要比按年利率的单利计算更有利，年后多得利息万元．
点评：我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．
追踪训练一
1．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加，第三年比第二年增加，求这两年的平均增长率 ．
解：设该产品第一年的年产量为，两年的平均增长率为，则
解得
2．在银行进行整存整取的定期储蓄，当到期时，银行会将本息和进行自动转存，某人年月日在银行存入元的一年定期，年利为，若他暂时不取这笔钱，当到年月日时，该笔存款的本息和为多少元？（精确到元）
答案：元.
3. 已知镭经过年剩留原来质量的，计算经过多少年剩留原来质量的一半？
分析：设原来的质量为，由题意可知
经过乘年剩留，
经过乘年剩留，
……
经过乘年剩留，
依题意有
【解】设经过乘年后剩留原来质量的一半，
依题意，有，
两边取对数，得
解得.
（年）.
答：约经过年剩留原来质量的一半.
【选修延伸】
一、函数与图像
高考热点1.（1998全国文11，理10）向高为的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
【解】答案
分析：如上图所示，取水深时，注水量，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量之半.中，、中，故排除、、，选.
思维点拔：
（1）解答应用题的基本步骤：①设：合理、恰当的设出变量；②写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；③算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；④答：将数学问题的解还原到生活实际问题，给出最终的答案.
（2）在用数学方法解决实际问题时的能力要求有：①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力.
（3）分析图表是数学应用的一个重要方面，特别要能够结合图表分析函数，应好好体会．
追踪训练二
1．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的．某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费．该市规定：（1）若每户每月用水量不超过最低限量立方米时，只付基本费元和每月的定额损耗费元；（2）若每户每月用水量超过立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付元的超额费；（3）每户每月的损耗费不超过元．
（Ⅰ）求每户月水费（元）与月用水量（立方米）的函数关系；
（Ⅱ）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求的值．
（Ⅰ）由题意，每月用水量为（立方米），支付费用（元），则
（Ⅱ）∵，∴，由表知，一、二月份的水费均大于元，故用水量立方米，立方米都大于最低限量立方米，将和分别代入的解析式，得 ，
由②①得，从而 ③，
又∵三月份用水量为立方米，
若，将代入
得，即这与③矛盾，
∴，即三月份用水量立方米没有超过最低限量．
此时有， ∴，代入③得，
综上：一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且．
点评：本例中对三月份的用水量是否超过最低限量的分析采用了假设检验的思想
学生质疑
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【师生互动】
第三十五课时函数模型及其应用(3)
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学习要求
1．根据条件题意写出满足题意的函数；
2． 能够根据一次函数、二次函数的单调性来求出所写函数的最大值和最小值.
自学评价
1．一次函数求最值主要是利用它的 单调性 ；
2. 二次函数求最值也是要利用它的单调性，一般我们都先 配方 .
3.无论什么函数求最值都要注意 能够取到最值的条件 .例如 定义域 等.
【精典范例】
例1：在经济学中,函数的边际函数定义为=.某公司每月最多生产台报警系统装置,生产台()的收入函数(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入 与成本之差.
（1）求利润函数及边际利润函数;
（2）利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值?
【解】由题意知,,且.
(1)=


(2)

当或时, 的最大值为 (元).
因为是减函数,所以当时, 的最大值为 (元).
因此,利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值.
例2：某租赁公司拥有汽车辆．当每辆车的月租金为元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费元，未租出的车每辆每月需要维护费元．
（1）当每辆车的月租金定为时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【解】（1）当每辆车的月租金定为时，
未租出的车辆数为，
∴租出了辆车．
（2）设每辆车的月租金为元，则租赁公司月收益为
整理后得

∴当时，的最大值为，即当每辆车的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大为元．
点评：月收益每辆车的租金租出车辆数车辆维护费．最值问题一定要考察取最值的条件，
因此，求定义域是必不可少的环节．
例3：南京的某报刊零售点，从报社买进某报纸的价格是每份元，卖出的价格是每份元，卖不掉的报纸可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以天计算）里，有天每天可卖出份，其余每天只能卖出份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
分析：此问题是关于利润和份数的关系, 根据经验我们知道:利润每份报纸赚的钱份数卖不掉的报纸份数每份报纸亏的钱,的取值范围是.
【解】设每天从报社买进份报纸，每月获得总利润元，则由题意，
，，
∵函数在上是单调递增函数，
∴时，元，
所以，该摊主每天从报社买进份时，每月所获利润最大，最大利润为元．
点评: 建立目标函数后一定要注意实际应用问题中变量的取值范围
追踪训练一
1.冬季来临，某商场进了一批单价为元的电暖保，如果按元一个销售，能卖个；若销售单价每上涨元，销售量就减少个，要获得最大利润时，电暖保的销售单价应该为多少？
提示：设单价为元，利润为元，则
所以当时，的最大值为.
2．某商品在近天内每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系是
，
该商品的日销售量（件）与时间（天）
的函数关系是
，
求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是天中的第几天．
解：第天，日销售金额最大为元．
【选修延伸】
一、函数与图表
高考热点1． （2001上海，12）根据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．图2—6中（1）表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图1中（2）中图示为：
【解】如图2所示.
解：由图中的沙化面积可以利用＝平均面积．因为题中是分了五六十年代、六七十年代、九十年代三段．
所以可分别求出三段的平均面积
，
2.如图，河流航线长，工厂位于码头正北处，原来工厂所需原料需由码头装船沿水路到码头后，再改陆运到工厂，由于水运太长，运费颇高，工厂与航运局协商在段上建一码头，并由码头到工厂修一条新公路，原料改为按由到再到的路线运输，设，每吨的货物总运费为元，已知每吨货物每千米运费水路为元，陆路为元.
（1）试写出元关于的函数关系式；
（2）要使运费最省，码头应建在何处？
分析：①.总运费元水路运费陆路运费
②.水路运费元,陆路长度
可以勾股定理求
得:
陆路运费
(元).
③.建立此问题的函数模型:
.
对于问题(2)我们可以利用求函数值域的方法求得运费最省时,点的位置.
以上建立实际问题的函数模型均是在弄清题意的基础上,根据几何、物理等相关的知识建立的函数模型
思维点拔：
一次函数求最值主要是利用它的单调性；函数在上的最值：当时，时有最小值，时有最大值；当时， 时有最大值，时有最小值
二次函数求最值也是利用它的单调性，一般都先配方.而求最值都要考虑取最值的条件.
追踪训练二
1．某电脑公司在甲乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑台，乙分公司现有同一型号 的电脑台.现地某单位向该公司购买该型号的电脑台，地某单位向该公司购买该型号的电脑台.已知甲地运往、两地每台电脑的运费分别是元和元，乙地运往、两地每台电脑的运费分别是元和元.
（1）设甲地调运台至地，该公司运往和两地的总运费为元，求关于的函数关系式.
（2）若总运费不超过元，问能有几种调运方案？
（3）求总运费最低的调运方案及最低运费.
分析：本题的关键在于表示出、两地的电脑台数，再用函数单调性求最低运费.
【解】（1）设甲地调运台至地，则剩下台电脑调运到地；乙地应调运台电脑至地，运往地
台电脑
.则总运费
，
.
（2）若使，即，得
又，
.，即能有种调运方案.
（3）是上的增函数，又，时，有最小值为.
所以，从甲地运台到地，从乙地运台到地、运台到地，运费最低为元.
点评:本例题属于经费预算问题，其数学模型表现为一次函数模型求最值的问题.
3
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教师释疑
第三课时 函数的概念和图象（3）
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学习要求
1．掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法；
2．能选用恰当的方法来求出两个变量之间的函数关系；
3．培养抽象概括能力和解决问题的能力．
自学评价
1．用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的输入值与输出值一目了然；用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法（这个等式通常叫函数的解析表达式，简称解析式），其优点是函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质；用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法，其优点是能直观地反映函数值随自变量变化的趋势．
2．购买某种饮料听，所需钱数元 ．若每听元，试分别用列表法、解析法、图象法将表示成的函数，并指出函数的值域．
解：解析法：；
/听
1
2
3
4
/元
2
4
6
8
列表法：
图象法：
【精典范例】
例1：画出函数的图象，并求， ，，的值．
【解】
图象如右。
，
。
例2：某市出租汽车收费标准如下：在以内（含）路程按起步价元收费，超过以外的路程按元/收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式；并画出图象．
【解】设路程为，收费为元，则
，即
图象如图：
点评: 分段函数是指函数的解析式是分段表示的。分段是对于定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应法则不一样。分段函数是一个函数，而不是几个函数。
例3．（1）已知一次函数满足
，图象过点，求；
（2）已知二次函数满足，，图象过原点，求；
（3）已知二次函数与轴的两交点
为，，且，求；
（4）已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点．
解：（1）由题意设 ，
∵ 且图象过点，
∴
∴．
（2）由题意设 ，
∵，，且图象过原点，
∴ ∴
∴．
（3）由题意设 ，
又∵，
∴ 得 ∴．
（4）由题意设 ，
又∵图象经过原点，
∴，∴ 得，
∴．
点评：此为待定系数法求函数解析式，用此方法必须知道函数的类型，才能设出含有参数的解析式，从而代入条件，解方程（组）得到参数值，即得到函数解析式。
追踪训练一
1．设f(x)=
求f[f()]
解：f()=3－=
f()=+1=
所以f[f()]=
2. 已知函数与分别由下表给出：
1
2
3
4
2
1
4
2
1
2
3
4
2
3
4
5
则函数的值域为 。
3.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1) －f(x)=2x，求f(x).
解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=1得c=1，由f(x+1)－f(x)=2x，得
a(x+1)2+b(x+1)+1－(ax2+bx+1)=2x
整理，得
2ax+(a+b)=2x
所以 所以
所以f(x)=x2－x+1
【选修延伸】
一、分段函数
例4: 夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关．小李到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0．4元．6斤以上9斤以下，每斤0．5元，9斤以上，每斤0．6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧。可小李马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱。当小李讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．
同学们，你知道小李是怎样知道店主坑人的吗?其实这样的数学问题在我们身边有很多，只要你注意观察，积累，并学以致用，就能成为一个聪明人，因为数学可以使人聪明起来．
【解】若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元,若西瓜重9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现5.1元这样的价钱,所以店主坑人了．
学生质疑
教师释疑
第四课时 函数的表示方法（1）
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学习要求
1．进一步理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法；
2．能根据条件求出两个变量之间的函数解析式；
3．培养抽象概括能力和解决问题的能力．
自学评价
1．二次函数的形式：
（1）一般式：
；
（2）交点式： ，其中，分别是的图象与轴的两个交点的横坐标；
（3）顶点式：， 其中是抛物线顶点的坐标；
2．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法。例如，求二次函数解析式的基本步骤是：
（1）设出函数的一般式（或顶点式、交点式）；
（2）代入已知条件，列方程（组）；
（3）通过解方程（组）确定未知系数；
3．分别求满足下列条件的二次函数 的解析式：
（1）图象与轴的两交点为，，且；
（2）图象的顶点是，且经过原点。
答案：（1）；
（2）。
【精典范例】
例1：函数在闭区间上的图象如下图所示，则求此函数的解析式．
【解】由图象可知，
当时，；
当时，，
所以
例2：（1）已知，；
（2）已知，求．
【解】（1）；
（2）。
点评: 已知的解析式，求时，将中的用代替，这时中的相当于中一个取值；已知的解析式，求时，常用配凑法或换元法；
例3．某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，再把车速表示为时间的函数．
【解】从地到地所需时间为，
从地到地所需时间为，
所以，当时，；
当时，；
当时，
；
所以，
追踪训练一
1．若，则的解析式为 。
（答案：）
2．已知，，则 ，
。
答案：，
。
【选修延伸】
一、复合函数
例4: 已知，求函数的解析式。
【解】
（答案：）
例5．已知一个函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数。
【解】
思维点拨
解决例5这类问题，可以先写出自己熟悉的一个函数，然后再改变定义域。如本题可先写出满足条件的函数，注意到函数图象关于轴对称，设是的任意一个子集，则形如的函数都满足条件。
追踪训练二
1、已知a,b为常数，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，则5a－b=_________.
2．已知一个函数的解析式为，它的 值域为，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．
答案：(1)5或－1。
(2)无数个，如定义域为，等。
学生质疑
教师释疑
第五课时 函数的表示方法（2）
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学习要求
1．掌握函数的概念，能正确求出函数的定义域、值域；
2．领会题意正确地求出两个变量的函数关系；
3．能解决简单的复合函数的解析式和定义域问题．
自学评价
1．下列函数中，与相同的函数是 （ D ）
A． B．
C． D．
2．下列图象中，表示函数关系的是 （ A ）
3．作出函数的图象。
解：
【精典范例】
例1：（1）若设函数，则此函数的定义域为 ， ，函数的定义域为 。
（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 。
解：（1）由得，∴的定义域为，，
∴的定义域为。
（2）从（1）的解决可以体会，（1）中函数的定义域实际可以由求出。从形式上看，函数的定义域为，即“”后面的“（ ）”内的范围为，故的定义域应由得到，即。
例2：如图实线部分，某电影院的窗户的上部呈半圆形，下部呈矩形。已知窗户的外框的周长是，矩形的水平边的长是，求窗户的采光面的面积与的函数解析式，并指出函数的定义域。
【解】由题意，
，
，
∴，
即。
由问题的实际意义可知：
，解得。
所以，与的函数解析式是
，函数的定义域是
。
例3．若函数的定义域为，求实数的取值范围．
【解】由题意知，方程
① 无实数解，
（1）若，则方程①即，无实数解；
（2）若，则“方程①无实数解”等价于，
解得，
综上所述，实数的取值范围为
。
追踪训练一
1．函数的定义域为　　　　　　 　（）
　　　　 　
2．动点从边长为的正方形的顶点出发，顺次经过、、再回到，设表示点的行程，表示线段的长，求关于的函数解析式。
答案：
【选修延伸】
一、函数的值域
例4: 求函数的值域。
【分析】解析式的分子、分母都含变量，我们应设法减少变化的地方；
【解】，
　　∵， ∴，
即函数的值域为．
例5．求函数的值域。
【解】令 （），
则，
，
　　当时，，
∴函数的值域为．
思维点拨
例4中我们减少了的个数后就可以求出函数的值域，该方法我们称为分离常数法，容易知道：形如 的值域为；例5通过换元解决根号的问题我们称这种方法为换元法。
追踪训练二
1．函数的值域为( )


2．函数的值域是 。
学生质疑
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第六课时 函数的单调性（1）
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学习要求
1．理解函数单调性概念；
2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；
3．提高观察、抽象的能力．；
自学评价
1．单调增函数的定义：
一般地，设函数的定义域为，区间．
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增　函数，称为的单调　增　区间．
注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；
⑵. 单调性、单调区间是有区别的；
2．单调减函数的定义：
一般地，设函数的定义域为，区间．
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有　，那么就说在区间上是单调　减函数，称为的单调　减　区间．
3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是　上升　　图像；而函数在其单调减区间上的图像是　下降　　的图像。（填＂上升＂或＂下降＂）
4．函数单调性证明的步骤：
（1） 根据题意在区间上设 ；
（2） 比较大小 ；
(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间：
例1：画出下列函数图象，并写出单调区间．
（1）；
（2）；
（3）．
【解】
（图略）
（１）函数的单调增区间为，单调减区间为；
（２）函数在和上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是和．
（３）函数在实数集上是减函数；
二．证明函数的单调性：
例2：求证：函数f(x)= －x3+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数
证明：设x1，x2∈R且x1=(x2－x1)(x22+x1x2+x12)
因为x2>x1，x22+x1x2+x12>0
所以f(x1) －f(x2)>0即
f(x1)>f(x2)
所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减
追踪训练一
1. 函数 (C)
在内单调递增
在内单调递减
在内单调递增
在内单调递减
2. 函数的单调增区间为　　　．.
3. 求证：在区间上是减函数．
证明：设，则
∴
即
故在区间上是减函数．
【选修延伸】
如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集：
例３: 函数在其定义域上是减函数吗？
分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的，并加以说明．
【解】
该命题是假命题；例如时， ，显然且，所以＂函数在其定义域上是减函数＂是不成立的．
点评:
1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；
2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。
思维点拔：
一、利用图像写函数的单调区间？
我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间．
追踪训练
1．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是
（B　）
2. 若函数是上的增函数，对于实数，若，则有(A　)
3. 函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是，则f(x)的单调递减区间是________．
4. 函数y=的单调减区间为(－∞，0).
5．讨论函数在上的单调性.
解：
设，则
∴
∵
当时，，此时函数在上是单调减函数；
当时，，此时函数在上是单调增函数；
【师生互动】
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第七课时 函数的单调性（2）
【学习导航】
学习要求
1．熟练掌握证明函数单调性的方法；
2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；
3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．
【精典范例】
一．较复杂函数的单调性证明：
例1：判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
【证明】函数是增函数．证明如下：
设，则
，
∵，∴，，∴，
即，∴函数是增函数．
说明：本题中的函数可视作函数和的和，这两个函数在内都是增函数，也是增函数．由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。
二．证明函数的单调性：
例2：求证：函数在上是单调减函数．
【证明】
设 ，则
，
∵，∴；
∵，∴，
同理，
∴，∴，即，
∴在上是单调减函数．
例３：(1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为 ；
（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ；
（3）若函数的单调递增区间为，则实数的值为 ．
解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；
（２）由题意可以知道即；
（３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；
追踪训练一
1. 函数是定义域上单调递减函数，且过点和，则的自变量的取值范围是（　B）
　　　
　　　
2. 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与的大小关系是　　　　小于等于　　．
3. 函数y=|x+1|的单调递减区间为[－1，+∞)单调递减区间(－∞，－1]
【选修延伸】
已知函数单调性，求参数范围：
例4: 已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围．
【解】∵时，，
∴函数是减函数，
∴由得：，解得，
∴的取值范围是．
点评:
注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。若本例题中的定义域改为的的范围又怎样了呢？
追踪训练
1．已知函数和在上都是减函数，则 在上（ A）
是增函数
是减函数
既不是增函数也不是减函数
的单调性不能确定
2. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ．
3. 若在上是增函数，且，则 ＞ ．
（注：从、、中选择一个填在横线上）
4. 函数在上递减，在上递增，则实数的取值范围　　.
5．用函数单调性的定义证明：函数在上是增函数．
证明：设
∴
即
故函数在上是增函数．
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第八课时 函数的最值
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学习要求
1．了解函数的最大值与最小值概念；
2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；
3．能求一些常见函数的最值和值域．
自学评价
1．函数最值的定义：
一般地，设函数的定义域为．
若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最大值，记为；
若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最小值，记为；
2．单调性与最值：
设函数的定义域为，
若是增函数，则 ， ；
若是减函数，则 ， ．
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间和最值：
例1：如图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解】
由图可以知道：
当时，该函数取得最小值；
当时，函数取得最大值为；
函数的单调递增区间有２个：和；
该函数的单调递减区间有三个：、和

二．求函数最值：
例2：求下列函数的最小值：
（1）；
（2），．
【解】
（１）
∴当时，；
（２）因为函数在上是单调减函数，所以当时函数取得最小值为．
追踪训练一
1. 函数在上的最小值（A　）
　　
　　
与的取值有关　　
不存在
2. 函数的最小值是　０　，最大值是　　　．
3. 求下列函数的最值：
(1)；
(2)
析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的．
解：(1);;
所以当时，；当时，；
(2)函数是一次函数，且
故在区间上是增函数
所以当时，；
当时，；
【选修延伸】
含参数问题的最值：
例３: 求，的最小值．
【解】
，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线．
①若，则在上是增函数，∴；
②若，则；
③若，则在上是减函数，∴的最小值不存在．
点评:
含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！
思维点拔：
一、利用单调性写函数的最值？
我们可以利用函数的草图，如果函数在区间上是图像连续的，且在 是单调递增的，在上是单调递减的，则该函数在区间上的最大值一定是在处取得；同理，若函数在区间上是图像连续的，且在 是单调递减的，在上是单调递增的，则该函数在区间上的最小值一定是在处取得．
追踪训练
１．函数的最大值是
　　　　　　　　( D)

2. y=x2+的最小值为( C )
A.0 B. C.1 D不存在.
3. 函数在区间上的最大值为，则________．
4.函数的最大值为　　　　　.
5．已知二次函数在上有最大值4，求实数的值．
解：函数的对称轴为，
当时，则当时函数取最大值，即即；
当时，则当时函数取得最大值，即，即
所以，或。
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第九课时 分段函数
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分段函数
学习要求
1、了解分数函数的定义；
2、学会求分段函数定义域、值域；
3、学会运用函数图象来研究分段函数；
自学评价：
1、分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
2、分段函数定义域，值域；
分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)
3、分段函数图象
画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；
【精典范例】
一、含有绝对值的解析式
例1、已知函数y=|x－1|+|x+2|
(1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。
【解】：
(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)
所以已知函数可写为分段函数形式：
y=|x－1|+|x+2|=
在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图象略）
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，+∞）
二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。
【解】：
先考虑由甲地到乙地的过程：
0≤t≤2时， y=6t
再考虑在乙地耽搁的情况：
2最后考虑由乙地返回甲地的过程：
3所以S(t)=
函数图象（略）
点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.
三、二次函数在区间上的最值问题
例3、已知函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).
(1)求g(a)的函数表达式
(2)求g(a)的最大值。
【解】：
对称轴x=
得g(a)
利用分段函数图象易得：g(a)max=3
点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。
追踪训练
1、设函数f(x)=则f(－4)=___________,若f(x0)=8，则x0=________
答案：18；或4。
2、已知函数f(x)=
求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.
答案：1；1；1。
出下列函数图象
y=┃x+2┃－┃x－5┃
解：原函数变为 y=
下面根据分段函数来画出图象
图象（略）。
4、已知函数y=，则f(4)=_______.
答案：22。
5、已知函数f(x)=
(1)求函数定义域；
(2)化简解析式用分段函数表示；
(3)作出函数图象
答案：（1）函数定义域为{x┃x}
( 2 )
f(x)=┃x-1┃+
=
(3) 图象（略）。
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学生质疑
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