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必考点01 等差数列与等比数列
题型一 等差数列等比数列基本量运算
例题1 (2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
例题2我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【解题技巧提炼】
等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．
等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
Sn＝
题型二 等差数列等比数列的判定与证明
例题1若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
例题2已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【解题技巧提炼】
等差数列的判定与证明方法
方法 解读 适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列 解答题中的证明问题
等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差数列
通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列
【提醒】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．
等比数列的判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法 若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
题型三 等差数列等比数列的性质与应用
例题1(1)(2021·咸阳二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝( )
A．58 B．54
C．56 D．52
(2)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )
A．100 B．120
C．390 D．540
(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，，则S2 019＝________.
例题2(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A. B．－
C. D.
(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
【解题技巧提炼】
一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．
应用等比数列性质解题时的2个注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
题型一 等差数列等比数列基本量运算
1．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1
C. D.
2．(2022·湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
3．(2022·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1＞0，则S20＝( )
A．420 B．340
C．－420 D．－340
4．(2022·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4＜S3 B．S4＝S3
C．S4＞S1 D．S4＝S1
题型二 等差数列等比数列的判定与证明
1．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．
2．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
3．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．
题型三 等差数列等比数列的性质与应用
1．(2021·宁德二检)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝( )
A．33 B．16
C．13 D．12
2．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝________.
3．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100
C．95 D．80
4．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则＝________.
一、单选题
1．设是公差为-2的等差数列，且，则（ ）
A．-8 B．-10 C．8 D．10
2．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前n项和，将数列依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2021在第几组（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.故选：C.
5．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，值为（ ）
A．6 B．6或7 C．8或9 D．9
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，因为，
，所以
所以
所以当时，取得最小值，故选：A.
6．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．243 B．248 C．363 D．1092
【答案】D
【解析】记第1轮感染人数为，第2轮感染人数为，…，第轮感染人数为，则数列是等比数列，公比为，由题意，即，所以，
总人数为人.故选：D．
7．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】（2）以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；
以2为首项的等比数列为2，4，8；
以4为首项的等比数列为4，6，9；
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8个.故选：D.
8．定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”。已知在“等差比数列”中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，，
是以1为首项，2为公差的等差数列，，
．故选：C.
二、多选题
9．在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（ ）
A．实数的取值范围是或
B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为
C．若数列为等比数列且，则
D．若数列为等比数列且，则的最小值为4
10．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】时，，数列不一定是等比数列，
时，，数列不一定是等比数列，
由等比数列的定义知和都是等比数列．故选AD．
11．（多选）已知，，成等差数列，则（ ）
A．，，一定成等差数列
B．，，可能成等差数列
C．，，（为常数）一定成等差数列
D．，，可能成等差数列
12．已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）
A．该椭圆的焦距为6 B．的最小值为2
C．的值可以为 D．的值可以为
三、填空题
13．数列的前项和为,则通项公式_________.
14．设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.
【答案】4
【解析】由等差数列性质可知，
又，∴,解得，故答案为：4
15．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
．
16．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_____.
四、解答题
17．已知数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和.
18．某学校实验室有浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液各300 ml分别装入两个容积都为500 ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为an g/ml，B瓶中溶液浓度为bn g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
（1）请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
（2）若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次？
19．等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；
（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由.
20．各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.
21．等差数列的前n项和为，已知，为整数，当且仅当时取得最大值.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
22．已知等比数列的前项和为，且.
（1）求与；
（2）记，求数列的前项和.
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必考点01 等差数列与等比数列
题型一 等差数列等比数列基本量运算
例题1 (2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
例题2我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.
【解题技巧提炼】
等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．
等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
Sn＝
题型二 等差数列等比数列的判定与证明
例题1若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，
因为Sn≠0，所以－＝2，
又＝＝2，
故是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝
当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝
例题2已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【证明】因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
【解题技巧提炼】
等差数列的判定与证明方法
方法 解读 适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列 解答题中的证明问题
等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差数列
通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列
【提醒】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．
等比数列的判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法 若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
题型三 等差数列等比数列的性质与应用
例题1(1)(2021·咸阳二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝( )
A．58 B．54
C．56 D．52
(2)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )
A．100 B．120
C．390 D．540
(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，，则S2 019＝________.
【答案】(1)D (2)A (3)8 076
【解析】(1)∵a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，
∴a4＋a10＝8，∴a1＋a13＝8，
∴S13＝＝＝52.
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，
则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，
∴2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
(3)由等差数列的性质可得也为等差数列．
设其公差为d，则＝6d＝6，∴d＝1.
故＋2 018d＝－2 014＋2 018＝4，
∴S2 019＝4×2 019＝8 076.
例题2(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A. B．－
C. D.
(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
【答案】(1)B (2)A (3)2
【解析】(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.
(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，
所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，
所以a7＋a8＋a9＝.
(3)由题意，得
解得所以q＝＝2.
【解题技巧提炼】
一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．
应用等比数列性质解题时的2个注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
题型一 等差数列等比数列基本量运算
1．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1
C. D.
【答案】C
【解析】由{an}为等比数列，得a3a5＝，
又a3a5＝4(a4－1)，所以＝4(a4－1)，解得a4＝2.
设等比数列{an}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.
2．(2022·湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
【答案】C
【解析】当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；
当q≠1时，由得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C.
3．(2022·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1＞0，则S20＝( )
A．420 B．340
C．－420 D．－340
【答案】D
【解析】设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12，得d＝±2，由a1＞0，a2＝0，可知d＜0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋×(－2)＝－340.
4．(2022·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4＜S3 B．S4＝S3
C．S4＞S1 D．S4＝S1
【答案】B
【解析】设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得解得于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋×3＝－18，S4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S4＝S3，S4＜S1，故选B.
题型二 等差数列等比数列的判定与证明
1．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．
【证明】因为bn＋1－bn＝＝，
所以{bn}为等差数列，
又b1＝＝0，所以bn＝n－1，
所以an＝(n－1)·3n＋2n.
2．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)证明：因为，
所以bn＋1－bn＝，
所以数列{bn}是等差数列．
(2)由(1)及b1＝＝＝1，
知bn＝n＋，
所以an－1＝，所以an＝.
3．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
【答案】D
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即＝a3·a9.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3；
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9；
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.
(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.
下面证明{an＋3}为等比数列：
∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，
∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴＝2，
∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．
∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*)．
题型三 等差数列等比数列的性质与应用
1．(2021·宁德二检)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝( )
A．33 B．16
C．13 D．12
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＋a5＝14，所以a2＋a6＝14，
又a2a6＝33，所以或
当时，d＝＝2，
所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝13；
当时，d＝＝－2，
所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝13.
综上，a1a7＝13，故选C.
2．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝________.
【答案】
【解析】由等差数列前n项和的性质，
得＝.
3．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100
C．95 D．80
【答案】A
【解析】由等比数列的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为，所以a7＋a8＝40×＝135.
4．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则＝________.
【答案】
【解析】因为数列1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.因为数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以＝1×9＝9，又b2＝1×q2＞0(q为等比数列的公比)，所以b2＝3，则＝.
一、单选题
1．设是公差为-2的等差数列，且，则（ ）
A．-8 B．-10 C．8 D．10
【答案】D
【解析】，
，故选：D.
2．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得所以第二天织布的尺数为.故选：C
3．已知数列的前n项和，将数列依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2021在第几组（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】因为数列的前n项和，当时，；
当时，，当时也成立，故，令解得，故为数列的第项，
依题意将数列依原顺序按照第n组有项的要求分组，则前组一共有个数，
当时，即前8组有个数；
当时，即前9组有个数；
故第项在第9组；故选：B
4．数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.故选：C.
5．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，值为（ ）
A．6 B．6或7 C．8或9 D．9
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，因为，
，所以
所以
所以当时，取得最小值，故选：A.
6．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．243 B．248 C．363 D．1092
【答案】D
【解析】记第1轮感染人数为，第2轮感染人数为，…，第轮感染人数为，则数列是等比数列，公比为，由题意，即，所以，
总人数为人.故选：D．
7．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】（2）以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；
以2为首项的等比数列为2，4，8；
以4为首项的等比数列为4，6，9；
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8个.故选：D.
8．定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”。已知在“等差比数列”中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，，
是以1为首项，2为公差的等差数列，，
．故选：C.
二、多选题
9．在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（ ）
A．实数的取值范围是或
B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为
C．若数列为等比数列且，则
D．若数列为等比数列且，则的最小值为4
【答案】AD
【解析】对A，有两个根，
，
解得：或，故A正确；
对B，若数列为等差数列，
和是关于的一元二次方程的两个根，
，
则，故B错误；
对C，若数列为等比数列且，由韦达定理得：，
可得：，，
，
由等比数列的性质得：，
即，故C错误；
对D，由C可知：，且，，
，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选AD.
10．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】时，，数列不一定是等比数列，
时，，数列不一定是等比数列，
由等比数列的定义知和都是等比数列．故选AD．
11．（多选）已知，，成等差数列，则（ ）
A．，，一定成等差数列
B．，，可能成等差数列
C．，，（为常数）一定成等差数列
D．，，可能成等差数列
【答案】BCD
【解析】对于A，取，，，则，，，
此时，，不成等差数列，故A错误；
对于B，令，则，
此时，，是公差为0的等差数列，故B正确；
对于C，∵，，成等差数列，∴（为常数）．
又，，
∴（为常数），
∴，，（为常数）为等差数列，故C正确；
对于D，令，则，
此时，，是公差为0的等差数列，故D正确．
故选：BCD
12．已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）
A．该椭圆的焦距为6 B．的最小值为2
C．的值可以为 D．的值可以为
【答案】ABC
【解析】由椭圆，得，，，故A正确；
椭圆上的动点，，即有，
故的最小值为2，B正确；
设，，，…组成的等差数列为，公差，则，
又，所以，所以，所以的最大值是，
故C正确，D错误.故选：ABC.
三、填空题
13．数列的前项和为,则通项公式_________.
【答案】
【解析】因为数列的前项和为,
所以当时，，
当时，，不满足上式，
即通项公式，故答案为.
14．设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.
【答案】4
【解析】由等差数列性质可知，
又，∴,解得，故答案为：4
15．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】.
【解析】设等比数列的公比为，由已知
，即解得，
所以．
16．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_____.
【答案】-21
【解析】设这三个数为，，，则
解得或这三个数为，，或，，.
它们的积为故答案为：
四、解答题
17．已知数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和.
【解析】（1）当时，；
当时，，经验证满足上式；
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知，其中，
故的前10项和为
.
18．某学校实验室有浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液各300 ml分别装入两个容积都为500 ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为an g/ml，B瓶中溶液浓度为bn g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
（1）请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
（2）若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次？
【解析】（1）由题意，得b1＝＝0.65 g/ml，
a1＝＝1.55 g/ml.
当n≥2时，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)，
an＝(200an－1＋100bn)＝(3an－1＋bn－1)，
∴an－bn＝(an－1－bn－1)，
∴等比数列{an－bn}的公比为，
其首项a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，
∴an－bn＝0.9·()n-1.
(2)由题意可知，问题转化为解不等式0.9·()n-1<10－2，
∴n>1＋≈7.49，
∴至少要操作8次才能达到要求.
19．等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；
（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由.
【解析】（1）由题意可知：有两种组合满足条件：
①，，，此时等差数列，，，
所以其通项公式为.
②，，，此时等差数列，，，
所以其通项公式为.
（2）若选择①，.
则.
若，，成等比数列，则，
即，整理，得，即，
此方程无正整数解，故不存在正整数，使，，成等比数列.
若选则②，，
则，
若，，成等比数列，则，
即，整理得，因为为正整数，所以.
故存在正整数，使，，成等比数列.
20．各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.
则，即，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1），可知，
所以.
21．等差数列的前n项和为，已知，为整数，当且仅当时取得最大值.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【解析】（1）由题意可知，且， ∴，解得，
∵为整数，∴，∴的通项公式为.
（2）∵，
∴
.
22．已知等比数列的前项和为，且.
（1）求与；
（2）记，求数列的前项和.
【解析】（1）由，得，
当时，，得；
当时，，得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
（2）由（1）可得，
则，
，
两式相减得，
所以
.
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