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必考点04 简单几何体的表面积与体积
题型一 证明（判断）函数的单调性
例题1已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，
令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝，
(ⅰ)若a＝1，则f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(ⅱ)若0
1，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
(ⅲ)若a>1，则0<<1，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
综上所述，当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当0当a>1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
【解题技巧提炼】
讨论函数f(x)单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
题型二 求函数单调区间
例题1已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．当x>1时，求f(x)的单调区间．
【解析】f′(x)＝·x＋ln x－k－1＝ln x－k，
①当k≤0时，因为x>1，所以f′(x)＝ln x－k>0，
所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．
②当k>0时，令ln x－k＝0，解得x＝ek，
当1ek时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．
综上所述，当k≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当k>0时，函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．
【解题技巧提炼】
利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
[提醒] 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
题型三 利用导数解决函数的极值问题
例题1已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【答案】D
【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
例题2设函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3,1,3}中，求f(x)的极小值．
【解析】因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)·(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，从而f′(x)＝3(x－b).
令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.
因为a，b，都在集合{－3,1,3}中，且a≠b，
所以＝1，a＝3，b＝－3.
此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.列表如下：
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.
【解题技巧提炼】
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
求函数的极值或极值点的步骤
(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．
题型四 利用导数求函数的最值
例题1已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意．
②若a<－，令f′(x)>0得 a＋>0，结合x∈(0，e]，
解得0令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，∴f(x)max＝f＝－1＋ln.
令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，即a＝－e2.
∵－e2<－，∴a＝－e2为所求．
故实数a的值为－e2.
【解题技巧提炼】
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；
(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
题型一 证明（判断）函数的单调性
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
【答案】B
【解析】对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，∴函数f(x)＝x3－x在和上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)>0，得02．已知函数f(x)＝(m≥0)，其中 e为自然对数的底数．讨论函数 f(x)的单调性．
【解析】由题得f′(x)＝－＝－，
当m＝0，即1－m＝1时，f′(x)＝－≤0，f(x)在R上单调递减；
当m>0，即1－m<1时，令f′(x)<0得x<1－m或x>1，令f′(x)>0得1－m∴f(x)在(－∞，1－m)，(1，＋∞)上单调递减，在(1－m,1)上单调递增.
题型二 求函数单调区间
1．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
【答案】D
【解析】设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)<0，得－22．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，
知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－(x>0)，
则f′(x)＝，令f′(x)＝0，
解得x＝－1或x＝5，
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，所以舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内单调递减；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内单调递增．
故f(x)的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，＋∞).
题型三 利用导数解决函数的极值问题
1．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值
【答案】C
【解析】当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值，故选C.
2．(2021·安徽毛坦厂中学4月联考)已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．－
C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2
【答案】B
【解析】由题意得，f′(x)＝＋2ax－3，∵f(x)在 x＝2处取得极小值，∴f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝，∴f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝，∴f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－.故选B.
3．已知函数f(x)＝ln x.
(1)求f(x)图象过点P(0，－1)的切线方程；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围．
【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为y＝x＋ln x0－1.
把点P(0，－1)代入切线方程，得ln x0＝0，∴x0＝1.
∴过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1.
(2)因为g(x)＝f(x)－mx＋＝ln x－mx＋(x>0)，
所以g′(x)＝－m－＝＝－，
令h(x)＝mx2－x＋m，
要使g(x)存在两个极值点 x1，x2，
则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2，
故只需满足即可，解得0题型四 利用导数解决函数的最值问题
1．(2021·河北省九校第二次联考)函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A．1＋ln 2 B．1－ln 2
C. D.
【答案】C
【解析】因为f(x)＝x2－ln x(x>0)，所以f′(x)＝2x－，令2x－＝0得x＝，令f′(x)>0，则 x>；令f′(x)<0，则02．已知奇函数 f(x)＝则函数h(x)的最大值为________．
【答案】1－e
【解析】先求出x>0时，f(x)＝－1的最小值．当x>0时， f′(x)＝，∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x) >0，函数单调递增，∴x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e.
一、单选题
1．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，则．
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，所以在区间上单调递减，排除A，B．
又，排除D．故选：C．
2．对于函数，，下列说法正确的有（ ）
①在处取得极大值；
②有两个不同的零点；
③；
④在上是单调函数.
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】
当时，；当时，
在上单调递增，在上单调递减，④错误；
在处取得极大值，①正确；
在必有一个零点
又，即为的一个零点且在无零点
恰有两个不同的零点，②正确；
，
又在上单调递减
，③正确
则正确的命题为：①②③，共个故选：
3．已知函数对任意都有，则正数t的最小值为（ ）
A． B． C．e D．
【答案】D
【解析】根据题意得，
即，
令，则，
由于都在单调递增
故在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，
令
令，故函数在单调递增；
令，故函数在单调递减
故
所以，即，所以正数t的最小值为.
故选：D
4．已知函数，给出四个函数①|f（x）|，②f（-x），③f（|x|），④-f（-x），又给出四个函数的大致图象，则正确的匹配方案是（ ）
A．甲-②，乙-③，丙-④，丁-① B．甲-②，乙-④，丙-①，丁-③
C．甲-④，乙-②，丙-①，丁-③ D．甲-①，乙-④，丙-③，丁-②
【答案】B
【解析】根据题意，函数，其导数，
在区间上，，为增函数，且，
在区间上，，为减函数，且（3），其简图如图：
对于①，有，其图象全部在轴上和轴上方，对应图象丙，
②，其图象与的图象关于轴对称，对应图象甲，
③，有，为偶函数，对应图象丁，
④，其图象与的图象关于原点对称，对应图象乙，
故选：．
5．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调速增，
所以在上恒成立，
即所以在上恒成立，
因为，所以，经检验等号成立，
所以实数a的取值范围是，故选：D
6．定义在上的函数满足，，则关于的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
因为时，，
所以，
即函数在上单调递增；
又，所以；
由得，
所以，
因此，，解得.故选：A.
7．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D
8．已知函数在区间内有且仅有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数取得极大值，则
则
当时，不满足题意.
当时，
当时，
则时，
函数在区间内有且仅有一个极大值点，设为.
即，且
即，解得，即，
当时，
当时，
当时，不成立，故不满足条件.
综上所述：的最大值为：故选：D
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有两个零点 B．当时，有极小值点
C．当时，没有零点 D．不论a为何实数，总存在单调递增区间
【答案】ABD
【解析】，当时，，在上单调递增
当时，由可得，由可得
所以在上单调递减，在上单调递增
所以是的极小值点，故B正确
不论a为何实数，有总存在单调递增区间，故D正确
的零点个数等价于的图象与的图象的交点个数
设为直线与相切的切点，
则，解得，所以直线与相切
由图可得，当时，有一个零点，故C错误
当时，有两个零点，故A正确
故选：ABD
10．定义在上的函数满足，且当时，.若，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】设
由得，即，是偶函数，
又，而时，，所以，
在递增，则其在上递减．
化为，即，
所以，解得．AB均满足．故选：AB．
11．定义在R上的函数，其导函数满足，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】令，则，
，在上恒成立，
在上单调递增，
对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确；故选：ABD.
12．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则（ ）
A．的最小值为
B．使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C．函数至少存在一个零点
D．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
【答案】ABD
【解析】令，得，令，得，
则点、，如下图所示：
由图象可知，，其中，
令，则，则函数单调递增，且，当时，，当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，A选项正确；
，，则，，
曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线斜率为，
令，即，即，
则满足方程，所以，使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，B选项正确；
构造函数，可得，
函数在上为增函数，由于，，
则存在，使得，可得，
当时，；当时，.
，
所以，函数没有零点，C选项错误；
设曲线在点处的切线与曲线相切于点，
则曲线在点处的切线方程为，即，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
所以，，消去得，
令，则，
函数在上为减函数，，，
则存在，使得，且.
当时，，当时，.
所以，函数在上为减函数，，，
由零点存在定理知，函数在上有零点，
即方程有解.
所以，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线.
故选：ABD.
三、填空题
13．若函数在内是增函数，则实数b的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意得在内恒成立，
即在内恒成立，
所以．
故答案为：
14．若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是________ .
【答案】
【解析】，则，
函数在区间（-1，1）上存在减区间，
只需在区间上有解，，
记，对称轴，开口向下，
只需，
所以，解得，
故答案为：
15．已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为时，，所以在上单调递增.
又是奇函数，由，
得，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
16．函数在区间（其中）上存在最小值，则实数的取值范围为______
【答案】
【解析】因为，所以，，
所以在单调递减，在单调递增，
因为在区间（其中）上存在最小值，
所以解得：，
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数在定义域内存在单调递减区间，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】∵函数在定义域内存在单调递减区间，
∴在上能成立，∴.
令，即为.
∵的最大值为，∴，
∴实数的取值范围为.
18．已知函数，.
（I）若的极值为，求的值；
（Ⅱ）若时，恒成立，求的取值范围
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I），.
，
当时，恒成立，故无极值点，
当时，令，则，
当时，，时，，
所以，在区间上递减，在区间上递增，
所以当且仅当时，取到极小值，
，
设函数，
，
当时，，时，，
∴在区间上递增，在区间上递减，
∴在时取得最大值，
所以是唯一解
（II），，
(1)当时，，在单调递增，
，
不恒成立.
(2)当时，，在单调递增，
，恒成立.-
(3)当时，，，
在单调递减，在单调递增，
令，，
在单调递减，单调递增
，，
在单调递增，，
，
，
，
在单调递减，在单调递增，
，
在上单调递增，
恒成立，
，恒成立.
综上：
19．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解析】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
20．已知函数.
（1）若，求k；
（2）确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
【解析】（1），.
若，由，得不符合题意；
若，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
则
令，，在单调递增；在单调递减；
，则.
（2）由（1）知，当时，对于，
则，从而不存在满足题意；
当时，，，
则有.
由得，，
则（舍），.
当时，，故在上单调速增.
从而当时，，即.
综上，k的取值范围是.
21．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【解析】 (1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
切线方程为：,
与联立得，
化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得,
，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
22．已知函数，．
（1）若在定义域内是减函数，求的最小值；
（2）若有两个极值点分别是，，证明：．
【解析】（1）定义域为，，
在定义域内是减函数，在上恒成立，
即，，
令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：，
的最小值为.
（2）由（1）知：若有两个极值点，则；
令，则，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则；
令，
则，
在上单调递增，，
，即，
又，，
，，
又，在上单调递增，
，即.
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必考点04 简单几何体的表面积与体积
题型一 证明（判断）函数的单调性
例题1已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
【解题技巧提炼】
讨论函数f(x)单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
题型二 求函数单调区间
例题1已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．当x>1时，求f(x)的单调区间．
【解题技巧提炼】
利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
[提醒] 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
题型三 利用导数解决函数的极值问题
例题1已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
例题2设函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3,1,3}中，求f(x)的极小值．
【解题技巧提炼】
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
求函数的极值或极值点的步骤
(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．
题型四 利用导数求函数的最值
例题1已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
【解题技巧提炼】
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；
(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
题型一 证明（判断）函数的单调性
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
2．已知函数f(x)＝(m≥0)，其中 e为自然对数的底数．讨论函数 f(x)的单调性．
题型二 求函数单调区间
1．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
2．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
题型三 利用导数解决函数的极值问题
1．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值
2．(2021·安徽毛坦厂中学4月联考)已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．－
C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2
3．已知函数f(x)＝ln x.
(1)求f(x)图象过点P(0，－1)的切线方程；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围．
题型四 利用导数解决函数的最值问题
1．(2021·河北省九校第二次联考)函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A．1＋ln 2 B．1－ln 2
C. D.
2．已知奇函数 f(x)＝则函数h(x)的最大值为________．
一、单选题
1．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．对于函数，，下列说法正确的有（ ）
①在处取得极大值；
②有两个不同的零点；
③；
④在上是单调函数.
A．个 B．个 C．个 D．个
3．已知函数对任意都有，则正数t的最小值为（ ）
A． B． C．e D．
4．已知函数，给出四个函数①|f（x）|，②f（-x），③f（|x|），④-f（-x），又给出四个函数的大致图象，则正确的匹配方案是（ ）
A．甲-②，乙-③，丙-④，丁-① B．甲-②，乙-④，丙-①，丁-③
C．甲-④，乙-②，丙-①，丁-③ D．甲-①，乙-④，丙-③，丁-②
5．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．定义在上的函数满足，，则关于的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在区间内有且仅有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有两个零点 B．当时，有极小值点
C．当时，没有零点 D．不论a为何实数，总存在单调递增区间
10．定义在上的函数满足，且当时，.若，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．定义在R上的函数，其导函数满足，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则（ ）
A．的最小值为
B．使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C．函数至少存在一个零点
D．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
三、填空题
13．若函数在内是增函数，则实数b的取值范围是_________．
14．若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是________ .
15．已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______.
16．函数在区间（其中）上存在最小值，则实数的取值范围为______
四、解答题
17．已知函数在定义域内存在单调递减区间，求实数的取值范围.
18．已知函数，.
（I）若的极值为，求的值；
（Ⅱ）若时，恒成立，求的取值范围
19．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
20．已知函数.
（1）若，求k；
（2）确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
21．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
22．已知函数，．
（1）若在定义域内是减函数，求的最小值；
（2）若有两个极值点分别是，，证明：．
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