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必考点07 条件概率与全概率公式
题型一 利用定义求条件概率
例题1一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；
(2)求P(B|A)．
【解题技巧提炼】
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(A∩B)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
题型二 利用基本事件个数求条件概率
例题1现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
【解题技巧提炼】
计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
题型三 条件概率的综合应用
例题1一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
【解题技巧提炼】
1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
题型四 全概率公式及其应用
例题1甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率．
【解题技巧提炼】
当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率. 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．
题型五 贝叶斯公式及其应用
例题1在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的．若已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．
【解析】设A＝“发送的信号为0”，B＝“接收的信号为0”，则＝“发送的信号为1”，＝“接收的信号为1”．由题意得，
P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.8，P(|A)＝0.2，P(B|)＝0.1，P(|)＝0.9.
由贝叶斯公式有P(|B)＝
＝＝.
【解题技巧提炼】
利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)；
第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；
第三步：代入P(B|A)＝求解．
题型六 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
例题1假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：
疾病 人数 出现S症状人数
d1 7 750 7 500
d2 5 250 4 200
d3 7 000 3 500
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？
【解题技巧提炼】
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：1如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；2如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
题型一 利用定义求条件概率
1.把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝__________．
2.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
题型二 利用基本事件个数求条件概率
1．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是( )
A. B. C. D.
2．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.
3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率．
题型三 条件概率的综合应用
1.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
2.在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
题型四 全概率公式及其应用
1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
2.有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品中正品率为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率多大？
【解析】设A，B，C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，则由已知，P(A)＝50%，P(B)＝30%，P(C)＝20%，
P(D|A)＝95%，P(D|B)＝90%，P(D|C)＝85%，
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到：
P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)
＝×＋×＋×
＝0.915.
题型五 贝叶斯公式及其应用
1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
2.某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？
题型六 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
1.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
2.一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为，，.
(1)求这位教授迟到的概率；
(2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率．
一、单选题
1．设A，B为两个事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，则P(AB)=（ ）
A． B． C． D．
2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．设，，则（ ）
A． B． C． D．
6．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8
C．0.86 D．0.9
7．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则等于
A． B． C． D．
二、多选题
9．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，则下列说法正确的是（ ）
A．第一次就接通电话的概率是
B．若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是
C．拨号不超过三次接通电话的概率是
D．若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过三次接通电话的概率是
10．假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌 乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则
C．若，则 D．若，则
12．骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6.现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，.假定每次闯关互不影响，则( )
A．直接挑战第关并过关的概率为
B．连续挑战前两关，至多过一关的概率为
C．若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，至少出现一个点”，则
D．若直接挑战第关，则过关的概率是
三、填空题
13．某种动物从出生起活到20岁的概率为0.8，从出生起活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率为____________.
14．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.
15．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件为“4名同学所报项目各不相同”，事件为“只有甲同学一人报走进社区项目”，则的值为______.
16．抛掷骰子2次，每次结果用表示，其中，分别表示第一次 第二次骰子朝上的点数.若设，，则______.
四、解答题
17．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？
18．一个盒子中装有只产品，其中只一等品、只二等品.从中取产品两次，每次任取一只，不放回抽样.求在第一次取到一等品时，第二次取到一等品的概率.
19．现有8件产品，其中有6件是一等品，在这8件产品中任取2件，若取出的2件产品中有1件确定不是一等品，求另1件是一等品的概率．
20．10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：
（1）甲中奖的概率.
（2）乙中奖的概率.
（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.
21．某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投次，先在处投一次三分球，投进得分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得分，未投进不得分.测试者累计得分高于分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
22．新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，湖北除武汉以外的地市，医疗资源和患者需求之间也存在矛盾.国家卫健委宣布建立16个省支援武汉以外地市的一一对口支援关系，以“一省包一市”的方式，全力支持湖北省加强对患者的救治工作.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴湖北新冠肺炎防治一线.
（1）设所选3人中女医生人数为，求的分布列及期望；
（2）设“男医生甲被选中”为事件，“女医生乙被选中”为事件，求和.
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必考点07 条件概率与全概率公式
题型一 利用定义求条件概率
例题1一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；
(2)求P(B|A)．
【解析】由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)＝，
P(B)＝＝＝，
P(A∩B)＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
【解题技巧提炼】
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(A∩B)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
题型二 利用基本事件个数求条件概率
例题1现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(A∩B)＝A＝12，于是P(A∩B)＝＝＝.
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
【解题技巧提炼】
计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
题型三 条件概率的综合应用
例题1一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
【解析】设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1∪(1A2)表示不超过2次按对密码．
(1)因为事件A1与事件1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝.
(2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B)＝＋＝.
【解题技巧提炼】
1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
题型四 全概率公式及其应用
例题1甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率．
【解析】设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，
由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)．
为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}，i＝1，2，3，
则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，故
P(A1)＝P(H123＋1H23＋12H3)
＝P(H1)P(2)P(3)＋P(1)P(H2)P(3)＋
P(1)P(2)P(H3)＝0.36，
P(A2)＝P(H1H23＋H12H3＋1H2H3)
＝P(H1)P(H2)P(3)＋P(H1)P(2)P(H3)＋
P(1)P(H2)P(H3)＝0.41，
P(A3)＝P(H1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14.
于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，
即飞机被击落的概率为0.458.
【解题技巧提炼】
当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率. 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．
题型五 贝叶斯公式及其应用
例题1在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的．若已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．
【解析】设A＝“发送的信号为0”，B＝“接收的信号为0”，则＝“发送的信号为1”，＝“接收的信号为1”．由题意得，
P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.8，P(|A)＝0.2，P(B|)＝0.1，P(|)＝0.9.
由贝叶斯公式有P(|B)＝
＝＝.
【解题技巧提炼】
利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)；
第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；
第三步：代入P(B|A)＝求解．
题型六 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
例题1假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：
疾病 人数 出现S症状人数
d1 7 750 7 500
d2 5 250 4 200
d3 7 000 3 500
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？
【解析】以A表示事件“患有出现S中的某些症状”，
D i表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知
P(D1)＝＝0.387 5，P(D2)＝＝0.262 5，
P(D3)＝＝0.35，P(A|D1)＝≈0.967 7，
P(A|D2)＝＝0.8，P(A|D3)＝＝0.5.
从而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式得
P(D1|A)＝＝≈0.493 4，
P(D2|A)＝＝≈0.276 3，
P(D3|A)＝＝≈0.230 3，
从而推测病人患有疾病d1较为合理．
【解题技巧提炼】
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：1如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；2如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
题型一 利用定义求条件概率
1.把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝__________．
【答案】
【解析】由题意知P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝＝.
2.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
【答案】A
【解析】设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8.
题型二 利用基本事件个数求条件概率
1．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6，共4个基本事件，所求概率为.
2．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.
【答案】
【解析】∵P(A∩B)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝.
3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率．
【解析】设事件A为“周日值班”，事件B为“周五值班”，事件C为“周六值班”，
则P(A)＝，P(AB)＝，P(AC)＝，所以P(B|A)＝＝，P(C|A)＝＝.故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝.
题型三 条件概率的综合应用
1.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
【解析】设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C.
则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.
所以P(B|A)＝＝÷＝， P(C|A)＝＝÷＝.
所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
所以所求的条件概率为.
2.在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【解析】记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝.
故所求概率为.
题型四 全概率公式及其应用
1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
【解析】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝＝，P()＝1－＝.
(1)P(A|B)＝＝.
(2)∵P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
2.有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品中正品率为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率多大？
【解析】设A，B，C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，则由已知，P(A)＝50%，P(B)＝30%，P(C)＝20%，
P(D|A)＝95%，P(D|B)＝90%，P(D|C)＝85%，
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到：
P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)
＝×＋×＋×
＝0.915.
题型五 贝叶斯公式及其应用
1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
【解析】设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”，A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有
P(A1)＝
＝＝0.8.
2.某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？
【解析】设Ai＝第i条流水线生产的产品，i＝1,2,3,4；B＝抽到不合格品，
∴P(A1)＝0.15；P(A2)＝0.20；P(A3)＝0.30；P(A4)＝0.35.
∴P(B|A1)＝0.05；P(B|A2)＝0.04；P(B|A3)＝0.03；P(B|A4)＝0.02，
(1)P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.0315.
(2)P(A4|B)＝≈0.222 2.
题型六 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
1.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
【解析】设事件A表示“取到的产品为正品” ，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
(1)由全概率公式得：
P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)＝＝≈0.220 9，
P(B2|A)＝＝≈0.314 0，
P(B3|A)＝＝≈0.465 1.
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．
2.一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为，，.
(1)求这位教授迟到的概率；
(2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率．
【解析】设A＝“迟到”；B1＝“乘飞机”；B2＝“乘动车”；B3＝“乘非机动车”．
(1)所求概率为P(A)，由全概率公式得：
P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)
＝×＋×＋×＝.
(2)所求概率为P(B1|A)，由贝叶斯公式得：
P(B1|A)＝
＝
＝＝.
一、单选题
1．设A，B为两个事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，则P(AB)=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件概率的计算公式，可得：故选：B
2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B，
则P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，
所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.故选：C.
3．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，
则所求概率为.
由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，
所以，，
故.故选：C.
4．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是5”，则事件为，，，，，，所以.故选：B.
5．设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以．故选：C．
6．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8
C．0.86 D．0.9
【答案】A
【解析】设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9.又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，
所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
故选：A
7．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件 “4个人去的景点不相同”，
事件 “小赵独自去一个景点”，
则（A），
（B），
，
则故选：A
8．已知，，则等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，根据条件概率的计算公式，
由已知，
则，故选：C.
二、多选题
9．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，则下列说法正确的是（ ）
A．第一次就接通电话的概率是
B．若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是
C．拨号不超过三次接通电话的概率是
D．若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过三次接通电话的概率是
【答案】ACD
【解析】设表示“第i次接通电话”，，2，3，…，10；表示“拨号不超过3次接通电话”．
由题意，知，选项A正确；
若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是，选项B错误；
事件，
则，选项C正确；
若已知最后一位数字是奇数，
则，选项D正确．
故选：ACD．
10．假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌 乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】依题意可得，，，，因为，所以，，故正确的有ABD；故选：ABD
11．已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】因为随机事件A，B发生的概率分别为，
对于A，因为，所以A，B相互独立，故A正确；
对于B，若A，B相互独立，则，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.故选：ABC
12．骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6.现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，.假定每次闯关互不影响，则( )
A．直接挑战第关并过关的概率为
B．连续挑战前两关，至多过一关的概率为
C．若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，至少出现一个点”，则
D．若直接挑战第关，则过关的概率是
【答案】ACD
【解析】对于选项A：当时，，因为抛掷2次出现的点数之和大于6的情况有21种，
从而直接挑战第关并过关的概率为，故A正确；
对于选项B：当时，，抛掷1次出现的点数之和大于3的情况有3种，
从而直接挑战第1关并过关的概率为，
故连续挑战前两关，至多过一关的概率为，故B错误；
对于选项C：由题意可知，抛掷3次共有个基本事件，
故事件共有个基本事件，所以，
又因为事件共有7个基本事件：
抛掷3次，点数都为5的共1种；
抛掷3次中，仅有1次点数为5的共6种，
所以，故，故C正确；
对于选项D：当时，，基本事件总数共个，
而“点数之和大于20”等价于抛掷4次中，至少有1次点数为6，
即包含以下35种基本事件：
抛掷4次，有1次点数为6的，共有4种；
抛掷4次，有2次点数为6的，共有18种；
抛掷4次，有3次点数为6的，共有12种；
抛掷4次，有4次点数都为6的，共有1种，
所以，故D正确.故选：ACD.
三、填空题
13．某种动物从出生起活到20岁的概率为0.8，从出生起活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率为____________.
【答案】
【解析】设事件A表示某动物活到20岁，则；
事件B表示该动物活到25岁，则，
所以.
故答案为：.
14．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.
【答案】##0.6
【解析】设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，
则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.
故答案为：
15．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件为“4名同学所报项目各不相同”，事件为“只有甲同学一人报走进社区项目”，则的值为______.
【答案】
【解析】根据题意得
所以故答案为：
16．抛掷骰子2次，每次结果用表示，其中，分别表示第一次 第二次骰子朝上的点数.若设，，则______.
【答案】
【解析】因为抛掷骰子2次共有36种情况，其中和为10的有（4，6），（5，5），（6，4）三种情况，当和为10时，的有1种，
所以，，
所以.故答案为：
四、解答题
17．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？
【解析】设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”．
则，，是样本空间的一个划分，且，，，
，，.
（1）由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：
18．一个盒子中装有只产品，其中只一等品、只二等品.从中取产品两次，每次任取一只，不放回抽样.求在第一次取到一等品时，第二次取到一等品的概率.
【答案】
【解析】设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则表示“第一次取到一等品时，第二次取到一等品”.
盒子中装有只产品，其中只一等品、只二等品,, ,
在第一次取到一等品时，第二次取到一等品的概率为.
故在第一次取到一等品时，第二次取到一等品的概率为.
19．现有8件产品，其中有6件是一等品，在这8件产品中任取2件，若取出的2件产品中有1件确定不是一等品，求另1件是一等品的概率．
【答案】
【解析】设“取出的2件产品中有1件确定不是一等品”为事件，“取出的2件产品中另1件是一等品”为事件，则，．
所以．
20．10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：
（1）甲中奖的概率.
（2）乙中奖的概率.
（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.
【解析】（1）设“甲中奖”为事件，则
（2）设“乙中奖”为事件，则
又，
所以
（3）因为，
所以
21．某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投次，先在处投一次三分球，投进得分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得分，未投进不得分.测试者累计得分高于分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
【解析】（1）甲同学两分球投篮命中的概率为，
甲同学三分球投篮命中的概率为，
设甲同学累计得分为，
则，
所以，甲同学通过测试的概率为；
（2）乙同学两分球投篮命中率为，
乙同学三分球投篮命中率为.
设乙同学累计得分为，则，
，
设“甲得分比乙得分高”为事件，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件，
则，
，
由条件概率公式可得.
22．新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，湖北除武汉以外的地市，医疗资源和患者需求之间也存在矛盾.国家卫健委宣布建立16个省支援武汉以外地市的一一对口支援关系，以“一省包一市”的方式，全力支持湖北省加强对患者的救治工作.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴湖北新冠肺炎防治一线.
（1）设所选3人中女医生人数为，求的分布列及期望；
（2）设“男医生甲被选中”为事件，“女医生乙被选中”为事件，求和.
【解析】（1）的所有可能取值为0，1，2.
，
，
.
所以的分布列为：
0 1 2
的期望（人）.
（2），
,
.
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