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必考点08 离散型随机变量的分布
及其数字特征
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
例题1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 2－3q q2
则q的值为( )
A.1 B. ±
C. － D. ＋
【答案】C
【解析】由分布列的性质知解得q＝－.
2.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由×a＝1，知a＝1，得a＝.
故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
【解题技巧提炼】
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
题型二 求离散型随机变量的分布列
例1.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
【解析】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400，
则P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X 200 300 400
P
【解题技巧提炼】
离散型随机变量分布列的求解步骤
题型三 离散型随机变量的均值与方差
例题1为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).
【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为
P3＝×＝＝，
故两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝40)＝＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
ξ的分布列为：
ξ 0 40 80 120 160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
【解题技巧提炼】
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
1.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列.
【解析】(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为：
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而Y＝2X＋1的分布列为
Y 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(3)首先列表为
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
从而ξ＝X2的分布列为
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
题型二 求离散型随机变量的分布列
1．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设小华每次投掷的结果相互独立．
（1）求小华恰好套中一次的概率；
（2）求小华总分X的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）设“小华恰好套中一次”为事件A，
则.
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，
；；
；；
；；
∴的分布列为：
0 1 2 3 4 5
.
题型三 离散型随机变量的均值与方差
1．已知随机变量满足，随机变量，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【解析】，，
，，
∴．故选:B
2．已知随机变量的取值为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，设，则，
又，解得，
所以，，
则，
所以.故选：C.
3．设，随机变量的分布如下表所示，则当在内增大时，（ ）
0 1 2
A．先减少后增大 B．先增大后减少
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】D
【解析】由期望公式，得，在内一直增大.
由方差公式，得.为开口向下，对称轴的抛物线,在内，先增大后减少,
故当在内增大时先增大后减少.故选:D.
一、单选题
1．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史 思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】记抽到自己准备的书的学生数为，则可能值为0，1，2，4
，，
，，
则．故选：B
2．随机变量的分布列为
若，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由分布列性质知：，解得：；
，；
.故选：A.
3．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】可能的取值为；可能的取值为，
，，，
故，.
，，
故，,
故，.故选B.
4．某射手射击所得环数的分布列如下：已知的数学期望，则的值为（ ）
7 8 9 10
0.1 0.3
A．0.8 B．0.6
C．0.4 D．0.2
【答案】C
【解析】由表格可知： ，
解得.故选：．
5．组数、、、…、的平均数是，方差是，则另一组数、、、…、的平均数和方差分别是
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】由题意可知，，，，
根据数学期望与方差的公式得：，
，故选：B.
6．已知随机变量满足，且为正数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由方差的性质可得，，
因为，所以，
又a为正数，所以．故选：C.
7．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为
A．0≤ξ≤5,ξ∈N B．-5≤ξ≤0,ξ∈Z
C．1≤ξ≤6,ξ∈N D．-5≤ξ≤5,ξ∈Z
【答案】D
【解析】第一枚的最小值为，第二枚的最大值为，差为.第一枚的最大值为，二枚的最小值为，差为.故的取值范围是，故选D.
8．将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为一共有3个盒子，所以，
因此，，
由题意可知：，
，，
，
，所以，故选：C
二、多选题
9．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为随机变量服从两点分布，且，所以，
，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确.故选：ABC
10．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球（，，，），从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
①放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为
②放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．则（）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为，，所以随机变量的分布列为：
1 2
因为，，，所以随机变量的分布列为：
1 2 3
所以，，所以．
因为，，所以，所以．故选：AD．
11．已知随机变量满足，，，若，则（ ）
A．有最大值 B．无最小值
C．有最大值 D．无最小值
【答案】BD
【解析】由题意可得，，
因为在上单调递减，
所以当时，无最大值和最小值.故A错误，B正确.
，
因为在上单调递减，
所以当时，无最大值和最小值.故C错误，D正确.
故选:BD.
12．设，则随机变量的分布列是
0 1
则当在内增大时，（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】AD
【解析】由分布列可得：，所以当在内增大时，增大，故选项A正确；
，
当时减小，当时增大，
所以先减小后增大，故选项D正确，故选：AD.
三、填空题
13．随机变量的概率分布满足，则______________.
【答案】
【解析】由题意可得，
则.
倒序：.
，，，，
故，则.故答案为：.
14．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________．
【答案】##0.4
【解析】设，则，从而，解得：，所以故答案为：
15．一批产品分为一，二，三3个等级，期中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则______
【答案】
【解析】设二级品有个，则一级品有个，三级品有个，总数为个，
则．故答案为：.
16．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则_________．
【答案】
【解析】依题意可知的可能取值为，且：
，
，
，
，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．受新冠肺炎疫情的影响，2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业的线上招聘方式分资料初审 笔试 面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立.现有甲 乙 丙三名大学生报名参加了企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试 面试的概率分别为 ，；乙通过笔试 面试的概率分别为，；丙通过笔试 面试的概率与乙相同.
（1）求甲 乙 丙三人中恰有一人被企业正式录取的概率；
（2）求甲 乙 丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率；
（3）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
参与环节 笔试 面试
补贴(元) 100 200
记甲 乙 丙三人获得的所有补贴之和为元，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）设事件表示“甲被企业正式录取”，事件表示“乙被企业正式录取”，事件表示“丙被企业正式录取”，
则，，
所以甲 乙 丙三人中恰有一人被企业正式录取的概率
.
（2）设事件表示“甲、乙、丙三人都没有被企业正式录取”，
则，
所以甲 乙 丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率.
（3）的所有可能取值为300，500，700，900，
，
，
，
.
所以的分布列为
300 500 700 900
.
18．假设在A军与B军的某次战役中，A军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；B军有8位将领，善用骑兵的将领有4人.
(1)现从A军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；
(2)在A军和B军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的分布列，并求.
【解析】 (1)若从A军将领中随机选取4名将领，则有4名是善用骑兵的将领的概率为，故从A军将领中随机选取4名将领，至多有3名是善用骑兵的将领的概率为.
(2)由题意知，则：
，
，
，，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
.
19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
【解析】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以的分布列为
1 2 3
所以的数学期望为.
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.
20．“学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分，失败积1分，每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为，参与“双人对战”获胜的概率为，且每次答题相互独立.
(1)求该人在一天的“四人赛”中积4分的概率；
(2)设该人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为，求的分布列和.
【解析】 (1)依题意可知，若该人积分为4分，则在“四人赛”中首局积3分，第二局积1分，或者首局积2分，第二局积2分，所以.
(2)由题意知，的可能取值为3，4，5，6，7，
，
，
，
，
.
故的分布列为：
3 4 5 6 7
P
所以.
21．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人(其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生).
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差.
【解析】（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
22．甲 乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；
（2）小王打算到甲 乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
【解析】（1）设乙公司送餐员送餐单数为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，，
故的所有可能取值为、、、、，
故的分布列为：
228 234 240 247 254
故.
（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：
，
则甲公司送餐员日平均工资为元，
因为乙公司送餐员日平均工资为元，，
所以推荐小王去乙公司应聘.
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必考点08 离散型随机变量的分布
及其数字特征
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
例题1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 2－3q q2
则q的值为( )
A.1 B. ±
C. － D. ＋
2.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为( )
A. B.
C. D.
【解题技巧提炼】
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
题型二 求离散型随机变量的分布列
例1.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
【解题技巧提炼】
离散型随机变量分布列的求解步骤
题型三 离散型随机变量的均值与方差
例题1为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).
【解题技巧提炼】
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
1.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列.
题型二 求离散型随机变量的分布列
1．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设小华每次投掷的结果相互独立．
（1）求小华恰好套中一次的概率；
（2）求小华总分X的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）设“小华恰好套中一次”为事件A，
则.
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，
；；
；；
；；
∴的分布列为：
0 1 2 3 4 5
.
题型三 离散型随机变量的均值与方差
1．已知随机变量满足，随机变量，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
2．已知随机变量的取值为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，随机变量的分布如下表所示，则当在内增大时，（ ）
0 1 2
A．先减少后增大 B．先增大后减少
C．先减小后增大 D．先增大后减小
一、单选题
1．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史 思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．随机变量的分布列为
若，则（ ）A． B． C． D．
3．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则
A．， B．，
C．， D．，
4．某射手射击所得环数的分布列如下：已知的数学期望，则的值为（ ）
7 8 9 10
0.1 0.3
A．0.8 B．0.6
C．0.4 D．0.2
5．组数、、、…、的平均数是，方差是，则另一组数、、、…、的平均数和方差分别是
A．，
B．，
C．，
D．，
6．已知随机变量满足，且为正数，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为
A．0≤ξ≤5,ξ∈N B．-5≤ξ≤0,ξ∈Z
C．1≤ξ≤6,ξ∈N D．-5≤ξ≤5,ξ∈Z
8．将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球（，，，），从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
①放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为
②放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．则（）
A． B．
C． D．
11．已知随机变量满足，，，若，则（ ）
A．有最大值 B．无最小值
C．有最大值 D．无最小值
12．设，则随机变量的分布列是
0 1
则当在内增大时，（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
三、填空题
13．随机变量的概率分布满足，则______________.
14．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________．
15．一批产品分为一，二，三3个等级，期中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则______
16．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则_________．
四、解答题
17．受新冠肺炎疫情的影响，2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业的线上招聘方式分资料初审 笔试 面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立.现有甲 乙 丙三名大学生报名参加了企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试 面试的概率分别为 ，；乙通过笔试 面试的概率分别为，；丙通过笔试 面试的概率与乙相同.
（1）求甲 乙 丙三人中恰有一人被企业正式录取的概率；
（2）求甲 乙 丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率；
（3）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
参与环节 笔试 面试
补贴(元) 100 200
记甲 乙 丙三人获得的所有补贴之和为元，求的分布列和数学期望.
18．假设在A军与B军的某次战役中，A军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；B军有8位将领，善用骑兵的将领有4人.
(1)现从A军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；
(2)在A军和B军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的分布列，并求.
19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
.
20．“学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分，失败积1分，每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为，参与“双人对战”获胜的概率为，且每次答题相互独立.
(1)求该人在一天的“四人赛”中积4分的概率；
(2)设该人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为，求的分布列和.
21．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人(其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生).
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差.
22．甲 乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；
（2）小王打算到甲 乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
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