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必考点09 二项分布、超几何分布
与正态分布
题型一 独立重复试验与二项分布
例题1九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：
质量/g [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55]
数量 4 12 11 8 5
(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列.
【解题技巧提炼】
独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.
(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.
题型二 正态分布
例题1.设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
例题2.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2＜X＜4)＝( )
A.0.682 6 B.0.341 3
C.0.460 3 D.0.920 7
例题3.某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X～N(90，a2)(a＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人.
【解题技巧提炼】
正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.
题型三 超几何分布
例题1在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
【解题技巧提炼】
1.随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然.
2.求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列.
题型一 二项分布
1.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2.若某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手次射击中恰有次击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型” “升级题型” “创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）
A． B． C． D．
题型二 正态分布
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于( )
A.0.3 B.0.35
C.0.5 D.0.7
2.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若在边长为1的正方形内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为（ ）
附：若随机变量，则，.
A．0.1359 B．0.6587 C．0.7282 D．0.8641
3.通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量，且.则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若，有，，）
A．0.0456 B．0.6826
C．0.9987 D．0.9772
题型三 超几何分布
1．在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（ ）
A． B． C． D．
2.某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为p＝0.2.若从该批产品中任意抽取3件．
(1)求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
(2)求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．
一、单选题
1．如果随机变量，且，那么的值为（ ）
A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8
2．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．
A． B． C． D．
3．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若，则，，.有如下命题：甲：；乙：；丙：；丁：假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.其中假命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（ ）
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
5．某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（ ）
A． B． C． D．
7．1654年，法国贵族德 梅雷骑士偶遇数学家布莱兹 帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（ ）
A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板
8．已知圆的圆心到直线的距离为，若，则使的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则下列说法正确的是（ ）
A．该产品能销售的概率为
B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
D．
10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ）
附:随机变量服从正态分布，则，，.
A．该市学生数学成绩的标准差为100
B．该市学生数学成绩的期望为100
C．该市学生数学成绩的及格率超过0.8
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
11．若随机变量服从参数为4，的二项分布，则（ ）
A． B．
C． D．
12．设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．存在，满足 D．存在，满足
三、填空题
13．设随机变量，若，则_______．
14．已知随机变量，若随机变量，则的数学期望______.
15．若随机变量，且，写出一个符合条件的___________.
16．设随机变量，则X的密度函数为________，________，________，________，________．（精确到0.0001．）
四、解答题
17．高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
(1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率；
(2)若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望.
18．某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6 篇，试求：
(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；
(2)他能过关的概率．
19．体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平.某校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图：
(1)从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；
(2)从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为.求的分布列和期望；
(3)从样本频率分布直方图中发现该校男生的1000米成绩近似服从，已知样本方差，高一年男生共有1000人，试预估该校高一年男生1000米成绩在89.2分以上的人数.
附：.若，则，.
20．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中的各位数中，，出现0的概率为，出现1的概率为．记，若运行该程序一次，则
（1）求的概率；
（2）求的分布列．
21．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.
年份
年份代号
年利润（单位：亿元）
（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司年（年份代号记为）的年利润；
（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率.
参考公式：，.
22．“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数 课后服务活动 1天 2~4天 5天
仅参加学业辅导 10人 11人 4人
仅参加体育锻炼 5人 12人 1人
仅参加实践能力创新培养 3人 12人 1人
(1)从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
(2)从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；
(3)老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．
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必考点09 二项分布、超几何分布
与正态分布
题型一 独立重复试验与二项分布
例题1九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：
质量/g [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55]
数量 4 12 11 8 5
(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列.
【解析】(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为
×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，
所以这批九节虾的数量约为1 186只.
(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p＝＝，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝4＝，
P(X＝1)＝××3＝，
P(X＝2)＝×2×2＝，
P(X＝3)＝×3×＝，
P(X＝4)＝4＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
【解题技巧提炼】
独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.
(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.
题型二 正态分布
例题1.设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
【答案】C
【解析】由正态曲线的性质及题图知，μ1＜μ2,0＜σ1＜σ2.故对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)正确.
例题2.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2＜X＜4)＝( )
A.0.682 6 B.0.341 3
C.0.460 3 D.0.920 7
【答案】A
【解析】因为随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.158 7，所以P(X≤2)＝0.158 7，所以P(2＜X＜4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝0.682 6，故选A.
例题3.某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X～N(90，a2)(a＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人.
【答案】180
【解析】因为数学成绩服从正态分布X～N(90，a2)，
所以其正态分布曲线关于直线x＝90对称，
又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，
由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的×＝，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×900＝180(人).
【解题技巧提炼】
正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.
题型三 超几何分布
例题1在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
【解题技巧提炼】
1.随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然.
2.求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列.
题型一 二项分布
1.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，取得红球的概率为，
说明前11次取球中，有9次取得红球、2次取得白球，
且第12次取得红球，故.故选：D.
2.若某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手次射击中恰有次击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】这名射手3次射击中恰有次击中目标，则另外两次没有击中，
所以概率为.故选：C.
3.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型” “升级题型” “创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，
每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：
．故选：A．
题型二 正态分布
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于( )
A.0.3 B.0.35
C.0.5 D.0.7
【答案】B
【解析】∵P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，∴μ＝＝4.又P(2≤ξ≤6)＝1－P(ξ＜2)－P(ξ＞6)＝0.7，∴P(2≤ξ＜4)＝＝0.35，故选B.
2.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若在边长为1的正方形内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为（ ）
附：若随机变量，则，.
A．0.1359 B．0.6587 C．0.7282 D．0.8641
【答案】D
【解析】因为
由题意，故选：D
3.通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量，且.则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若，有，，）
A．0.0456 B．0.6826
C．0.9987 D．0.9772
【答案】D
【解析】每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量,且
根据原则可知
则
由正态分布的对称性可知
则故选:D
题型三 超几何分布
1．在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，
由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时
当1个正品3个次品时
所以正品数比次品数少的概率为 所以选A
2.某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为p＝0.2.若从该批产品中任意抽取3件．
(1)求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
(2)求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．
【解析】设该批产品中次品有x件，由已知＝0.2，∴x＝2.
(1)设取出的3件产品中次品的件数为X，则X服从超几何分布，且N＝10，M＝2，n＝3.取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为P(X＝1)＝＝.
(2)∵X的可能取值为0,1,2，
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝.
∴X的概率分布列为
X 0 1 2
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
一、单选题
1．如果随机变量，且，那么的值为（ ）
A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8
【答案】A
【解析】已知随机变量，，
则，
根据正态密度曲线的对称性得出.故选：A
2．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为，
满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为，
因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，
所以，故选：B.
3．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若，则，，.有如下命题：甲：；乙：；丙：；丁：假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.其中假命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】由题意可知，正态分布的；
甲．因为，所以，故正确；
乙．因为，所以，故正确；
丙．因为，且，
所以，故正确；
丁．因为一只口罩过滤率小于等于的概率为，
又因为，故错误；选：D.
4．如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（ ）
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
【答案】B
【解析】由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数（均值）相等，
由正态密度曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平，越小，正态曲线越尖陡，
故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，故选：B.
5．某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】记投篮命中的次数为随机变量，
由题意，，
则投篮命中次的概率为，
由得，即，即，
解得，又，
因此时，取最大值.
即该运动员10次投篮中，最有可能投中的次数为次.故选：D.
6．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则，
由题可知：，即，
解得.故选：C.
7．1654年，法国贵族德 梅雷骑士偶遇数学家布莱兹 帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（ ）
A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板
【答案】B
【解析】由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，
先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：
，，
，，
显然有，即，
所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.故选：B
8．已知圆的圆心到直线的距离为，若，则使的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，知圆心坐标为，
圆心到直线的距离为
则，解得或．
因为，所以．
因为，
所以．故选：D．
二、多选题
9．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则下列说法正确的是（ ）
A．该产品能销售的概率为
B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
D．
【答案】ABD
【解析】选项A. 该产品能销售的概率为,故选项A正确.
选项B. 由A 可得每件产品能销售的概率为
一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则，故选项B正确.
选项C. 由题意，不选项C不正确.
选项D. 由题意，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售.
所以,故选项D正确.
故选：ABD
10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ）
附:随机变量服从正态分布，则，，.
A．该市学生数学成绩的标准差为100
B．该市学生数学成绩的期望为100
C．该市学生数学成绩的及格率超过0.8
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
【答案】BC
【解析】X服从正态分布在，则标准差为10，期望为100，A错，B正确，
，
，
，C正确；
及格线，而优秀线是，
，这是优秀率，优秀率与及格率相差很大，人数相差也很大，D错．故选：BC．
11．若随机变量服从参数为4，的二项分布，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意，根据二项分布中概率的计算公式，，
则，，
，，
，
因此，，．
故选：BD．
12．设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．存在，满足 D．存在，满足
【答案】BC
【解析】由题设知，的正态分布的参数为，，的正态分布的参数为，.
A：，，所以，错误；
B：，，所以，正确；
C：由，所以，正确；
D：大致作出和的正态曲线，如图所示，可知在轴左侧，的正态曲线总在的正态曲线的下方，的正态曲线下方的区域面积总小于的正态曲线下方的区域面积，即，从而，错误.
故选：BC
三、填空题
13．设随机变量，若，则_______．
【答案】
【解析】随机变量，对称轴为，因为，所以，根据对称性可得，所以.
故答案为：0.6.
14．已知随机变量，若随机变量，则的数学期望______.
【答案】80
【解析】由题设随机变量，
知，
因为，
所以.
故答案为：80
15．若随机变量，且，写出一个符合条件的___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为随机变量，所以，
所以一个符合条件的，
故答案为：（答案不唯一）
16．设随机变量，则X的密度函数为________，________，________，________，________．（精确到0.0001．）
【答案】
【解析】由题意，机变量，则的密度函数为，
因为，
根据正态分布曲线的对称性，可得，，
，
四、解答题
17．高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
(1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率；
(2)若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望.
【解析】 (1)设这个小球掉入2号球槽为事件A.
掉入2号球槽，需要向右1次向左5次,
所以
所以这个小球掉入2号球槽的概率为.
(2)小球掉入偶数号球槽的概率为,
由题意知，且的可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,
由，，
可得分布列为：
0 1 2 3 4 5
P
18．某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6 篇，试求：
(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；
(2)他能过关的概率．
【解析】 (1)记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3，，，，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望
(2)他能过关的概率为
19．体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平.某校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图：
(1)从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；
(2)从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为.求的分布列和期望；
(3)从样本频率分布直方图中发现该校男生的1000米成绩近似服从，已知样本方差，高一年男生共有1000人，试预估该校高一年男生1000米成绩在89.2分以上的人数.
附：.若，则，.
【解析】 (1)这100名学生中，成绩低于60的人数为，
故两人测试成绩都低于60分的概率为.
(2)从该校所有高一年男生中任意取一人，
其成绩70分以上的概率为，
若70分以上的人数为，则，
故，，
，
.
故的分布列为：
0 1 2 3
.
(3)由频率分布直方图可得
.
故，
故预估该校高一年男生1000米成绩在89.2分以上的人数为.
20．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中的各位数中，，出现0的概率为，出现1的概率为．记，若运行该程序一次，则
（1）求的概率；
（2）求的分布列．
【解析】（1）已知，要使，只需后四位中出现2个1和2个0．
所以．
（2）令，则．
易知，，所以的可能取值为．
，，
，，
．
所以的分布列为
1 2 3 4 5
21．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.
年份
年份代号
年利润（单位：亿元）
（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司年（年份代号记为）的年利润；
（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率.
参考公式：，.
【解析】（Ⅰ）根据表中数据，计算可得，，，
又，，
，关于的线性回归方程为.
将代入回归方程得（亿元），
该公司年的年利润的预测值为亿元.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有年.
故这年中被评为级利润年的有年，评为级利润年的有年.
记“从年至年这年的年利润中随机抽取年，恰有年为级利润年”的概率为，.
22．“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数 课后服务活动 1天 2~4天 5天
仅参加学业辅导 10人 11人 4人
仅参加体育锻炼 5人 12人 1人
仅参加实践能力创新培养 3人 12人 1人
(1)从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
(2)从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；
(3)老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．
【解析】 (1)由题意得，样本中仅参加某一类课后服务的学生共有
（人）
又样本中未参加任何课后服务的有14人，
故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有（人）
则从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的频率为
由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率
(2)样本中，上个月仅参加学业辅导的有（人），对应频率为0.25
以频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为0.25，
X的可能取值为0，1，2，3，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望
(3)由题意可知随机变量X服从二项分布，故.
又知：上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导（样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．），
则本月从全校学生中随机抽取1人仅参加学业辅导的概率估计为P ，且.
以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，由题意可知随机变量Y服从二项分布，
故,.
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