2022年山西省普通高中学业水平考试数学模拟试题
一、单选题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分)
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，所以，
由于，所以.故选：B
2．复数的虚部为（ ）
A．3 B． C．3i D．
【答案】B
【详解】虚部为.故选：B.
3．若正方形的边长为，则斜二测画法所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】斜二测画法所得直观图为平行四边形，如下图所示，
其中，，，直观图面积.故选：B.
4．函数，的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的最小正周期.故选：B.
5．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（ ）
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3
【答案】A
【详解】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，
圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ，其比例为1:1，故选：A.
6．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在中，，
可得.故选：C.
7．已知函数的图像是连续的，根据如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
23 9 -7 11 -5 -12 -26
函数在区间上的零点至少有（ ）．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【详解】函数的图像是连续的，；
；，
所以在、，之间一定有零点，
即函数在区间上的零点至少有3个.故选：C
8．设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数为偶函数，则，，
当时，是减函数，又，
则，则.故选：C
9．函数则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.故选：D.
10．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为，则满足的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】二、三月份利润的月增长率为，
则二月份获得利润为万元，三月份获得利润为万元，
依题意得：.故选：D.
11．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
,故.故选：A
12．以下各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】对于A，，对应法则不同，故不是同一函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数；
对于C，的定义域为，的定义域为，故是同一函数；
对于D，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数.故选：C．
13．函数的定义域为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】要是函数有意义，必须，解之得
则函数的定义域为故选：D
14．在10件同类产品中有2件次品，若从中任取3件产品，则下列事件中是不可能事件的为（ ）.
A．3件都是正品； B．3件都是次品；
C．至少有1件次品； D．至少有1件正品．
【答案】B
【详解】在10件同类产品中有2件次品，若从中任取3件产品，可能3件都是正品；至少有1件次品；至少有1件正品．
10件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品.故选：B.
15．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】该函数的定义域为，由，得，所以可知函数只有一个零点，故排除ABC.故选：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分)
16．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.
【答案】
【详解】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，
甲和丙被录取的概率为，
乙和丙被录取的概率为
则他们三人中恰有两人被录取的概率为，故答案为：.
17．如图，在正方体ABCD－EFMN中，现有下列四个命题：
①BM与ED平行； ②CN与BM是异面直线；
③CN与BE是异面直线； ④DN与BM是异面直线．
其中，真命题的序号是______．
【答案】②④
【详解】由图可知：
①直线BM与ED既不平行也不相交，故为异面直线，故不平行，错误；
②直线CN与BM即不平行也不相交，故为异面直线，正确；
③平面CBEN为平行四边形，且CN与BE是一组对边，故平行，错误；
④直线DN与BM既不平行也不相交，故为异面直线，正确.故答案为：②④
18．若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】令，
因为方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，
所以，解得，所以实数的取值范围为，
故答案为：
19．已知函数是偶函数，则a＝______．
【答案】1
【详解】函数是偶函数，
则，即，解之得
经检验符合题意.故答案为：1
三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，满分24分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤)
20．从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65 分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
（1）求第七组的频率；
（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分；
（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．
【答案】（1）0.08；（2）102；（3）．
【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
．
（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：，
（3）样本成绩属于第六组的有人，设为A，B，C，样本成绩属于第八
组的有人，设为a，b，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，有，，，，，，，，，共10种，
他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件有
，，，，共4种，
∴他们的分差的绝对值小于10分的概率．
21．已知函数.
（1）若在上单调递增，求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【详解】（1）的对称轴为，
因为在上单调递增，所以，解得.
（2）因为，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为.
试卷第1页，共3页2022年山西省普通高中学业水平考试数学模拟试题
一、单选题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分)
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数的虚部为（ ）
A．3 B． C．3i D．
3．若正方形的边长为，则斜二测画法所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．函数，的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
5．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（ ）
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3
6．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图像是连续的，根据如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
23 9 -7 11 -5 -12 -26
函数在区间上的零点至少有（ ）．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（ ）．
A． B．
C． D．
9．函数则（ ）
A． B． C． D．
10．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为，则满足的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．以下各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
13．函数的定义域为（ ）．
A． B．
C． D．
14．在10件同类产品中有2件次品，若从中任取3件产品，则下列事件中是不可能事件的为（ ）.
A．3件都是正品； B．3件都是次品；
C．至少有1件次品； D．至少有1件正品．
15．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分)
16．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.
17．如图，在正方体ABCD－EFMN中，现有下列四个命题：
①BM与ED平行； ②CN与BM是异面直线；
③CN与BE是异面直线； ④DN与BM是异面直线．
其中，真命题的序号是______．
18．若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.
19．已知函数是偶函数，则a＝______．
三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，满分24分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤)
20．从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65 分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
（1）求第七组的频率；
（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分；
（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．
21．已知函数.
（1）若在上单调递增，求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式.
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