1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 教案

单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
【教学目标】
能借助单位圆了解正弦函数、余弦函数的有关性质：定义域、值域、最值、周期性、单调性、符号．
【教学重难点】
正弦函数、余弦函数的单调性.
【教学过程】
一、基础铺垫
1．正弦函数、余弦函数的定义域是R.
2．当x＝2kπ＋(k∈Z)时，正弦函数y＝sinx取得最大值1；当x＝2kπ-(k∈Z)时，正弦函数y＝sinx取得最小值-1．
当x＝2kπ(k∈Z)时，余弦函数y＝cosx取得最大值1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，余弦函数y＝cosx取得最小值-1
3．正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx是周期函数，它们的周期都是2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π.
4．正弦函数在区间(k∈Z)上是增函数，在区间(k∈Z)上是减函数．
5．正弦函数、余弦函数值的符号
二、合作探究
【例1】求函数v=cosα在区间上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.
【解】画出图，可知：
当时，函数v=cosα取得最大值，最大值为
当时，函数v=cosα取得最小值，最小值为.
【例2】
（1）α是第二象限角，判断sin αcos α的正负；
（2）若sin αcos α＜0，判断α是第几象限角．
解（1）∵α是第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin αcos α＜0.
（2）由sin αcos α＜0知有两种可能：
或
故α是第二象限角或第四象限角．
【教师小结】正余弦函数符号的确定：
（1）终边在坐标轴上的角：
终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(－1,0)，故sinα＝0，cosα＝－1．
（2）终边在各个象限内的角：
利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正．
【变式训练】判断下列各式的符号．
（1）sin 105°·cos 230°；
（2）sin 240°·sin 300°；
（3）cos·sin π；
（4）cos 4·cos 5．
解析：
（1）因为105°是第二象限角，所以sin 105°＞0，又因为230°是第三象限角，所以cos 230°＜0，所以sin 105°·cos 230°＜0.
（2）因为240°是第三象限角，所以sin 240°＜0；又因为300°是第四象限角，所以sin 300°＜0，所以sin 240°·sin 300°＞0.
（3）因为sin π＝0.所以cos·sin π＝0.
（4）因为4是第三象限角，所以cos 4＜0，又因为5是第四象限角，
所以cos 5＞0，所以cos 4·cos 5＜0.
三、课堂达标
1．若角α的终边过点，则cos α的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：易知点在单位圆上，故cos α＝.
2．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为________．
解析：由题意知，角α的终边上一点的坐标为.
∴cos α＝＝.
又α的终边在第四象限．
∴α的最小值为.
3．若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f＝1，则f的值是________．
解析：f()＝f(2π＋＋)＝f()＝1.
4．已知角α的终边与单位圆相交于点Ρ(a，b)，若sin α＝－，求a、b的值，并说明α是第几象限角．
解：由正弦函数的定义可知b＝sin α＝－.
又a2＋b2＝1，∴a2＝1－b2＝，∴a＝±.
故a＝±，b＝－.
当a＝，b＝－时，点P在第四象限，此时角α是第四象限角；
当a＝－，b＝－时，点P在第三象限，此时角α是第三象限角．
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