新课标高二下学期期中考试 数学（理）

2012-2013学年度下学期期中考试
高二数学（理）试题【新课标】
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合，则是（ ）
A. B.
C. D.
2.用数学归纳法证明等式，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（ ）
A. B. C. D.
3.若函数在处有定义，则“在处取得极值”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知随机变量服从正态分布且，则（ ）
A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585
5.实验测得四组的值分别为，则y关于x的线性回归方程必过点（ ）
A.（2，8） B.（2.5，8）
C.（10，31） D.（2.5，7.75）
6.若，则
（ ）
A.2009 B.2010
C.2011 D.2012
7.来自高一、高二、高三的铅球裁判员各两名，执行一号、二号和三号场地的铅球裁判工作，每个场地由两名来自不同年级的裁判组成，则不同的安排方案共有（ ）种.
A.96 B.48 C.36 D.24
8.函数在处有极值10，则m，n的值是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知函数的图象如图所示，则的大致图象可以是图中的（ ）
10.设，则函数在区间上有零点的概率是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）
11.某地为了了解该地区1000户家庭的用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭月平均用电量画出频率分布直方图（如图所示），则该地区1000户家庭中月平均用电度数在的家庭有______户.
12.展开式中的系数为______.
13.如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围为______.
14.观察下列等式：[
……
由以上等式猜想到一个一般的结论：
对于，_________.
15.设集合，的子集，其中，当满足时，我们称子集A为P的“好子集”，则这种“好子集”的个数为______.（用数字作答）
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）
已知两正数a，b满足，求证：
17. （本小题满分12分）
在数列中，且成等差数列，成等比数列
（1）求及；
（2）猜想的通项公式，并证明你的结论.
18. （本小题满分12分）
如图，用半径为R的圆铁皮，剪一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，问圆心角取什么值时，漏斗容积最大.（圆锥体积公式：，其中圆锥的底面半径为r，高为h）
19. （本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为
.
（1）求函数的解析式；
（2）过点能作几条直线与曲线相切？说明理由.
20. （本小题满分13分）
设a、b、c分别是先后掷一枚质地均匀的正方体骰子三次得到的点数.
（1）求使函数在R上不存在极值点的概率；
（2）设随机变量，求的分布列和数学期望.
21. （本小题满分14分）
设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）若不等式在恒成立，求实数m的取值范围.
（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数m的取值范围.
参考答案
CADBD ABBAC
11.120 12.135 13.
14. 15.10
16.证明：由知
∴

……………………………………………（10分）
当且仅当时取等号，此时………………………………………（12分）
17.解：（1）由条件得
由此可得………………………………（6分）
（2）猜测
用数学归纳法证明：
①当时，由上可得结论成立
②假设当时，结论成立，即
那么当时，
所以当时，结论也成立………………………………………………………（11分）
由①②可知，………………………………………………（12分）
对一切正整数都成立.
18.解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么
，
因此，
=
.…………………………………………………………（3分）
.
令，即，得.…………………………………………（5分）
当时，.
当时，.
所以，时，V取得极大值，并且这个极大值是最大值.……………………（8分）
把代入，得.
由，得
答：圆心角为弧度时，漏斗容积最大.………………………………………（12分）
19.解（1），由题知…………………………………………………（1分）
∴…………………………………………………………………………（5分）
（2）设过点（2,2）的直线与曲线相切于点，则切线方程为：
即……………………………………………………………………（7分）
由切线过点（2,2）得：
过点（2,2）可作曲线的切线条数就是方程的实根个数……（9分）
令，则
由得
当t变化时，、的变化如下表
t
0
(0,2)
2
+
0
-
0
+
↗
极大值2
↘
极小值-2
↗
由知，故有三个不同实根可作三条切线………………（12分）
20.解：（1）………………………………………（1分）
若在R上不存在极值点，则恒成立
∴…………………………………………………………（2分）
∴
又a，b，c
∴a、b、c成等差数列……………………………………………………………………（4分）
按公差分类，a、b、c成等差数列共有种情况
故函数在R上不存在极值点的概率……………………………（6分）
（2）若，则∴
若，则或，
同理：
……………………………………（10分）
的分布列为
0
1
2
3
4
5
P
∴………………………………（13分）
21.解：（1）函数的定义域为………………………………………………（1分）
………………………………………………………（2分）
由得或
故函数的单调增区间为和
（2）∵当时………………………………………………………（4分）
当时
∴在上单调递减，在上单调递减.………………………………（6分）
∴……………………………………………………………………………………（8分）
（3）设
在上单减，在上单增……………………………………（10分）
由（1）知在上单增，∴…………………………（12分）
又
∴ ∴………………………………………………（14分）