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10.2 事件的相互独立性（精讲）
考法一 相互独立事件的判断
【例1】（多选）（2021·全国专题练习）下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )
A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B．甲 乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲 乙两运动员各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标”
D．甲 乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
【一隅三反】
1．（多选）（2020·全国高一单元测试）下列各对事件中,为相互独立事件的是( )
A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白 2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白 2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”
2．（2021·河南）从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．至少有一个是奇数和两个都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个都是偶数
C．至少有一个奇数和至少一个偶数 D．恰有一个偶数和没有偶数
考法二 利用概率判断互斥对立事件
【例2】（2021·山东泰安市）在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B．与是互斥事件，也是对立事件
C．与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
【一隅三反】
1．（2020·陕西省商丹高新学校）在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B．与是互斥事件，也是对立事件
C．与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
2．（2020·江苏淮安市·马坝高中高一期中）已知随机事件和互斥，且，，则（ ）
A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8
考法三 相互独立事件概率计算
【例3】（2021·山东菏泽市）甲 乙 丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·辽宁营口市·高一期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率.
2．（2021·山东威海市·高一期末）习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
3．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.
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10.2 事件的相互独立性（精讲）
考法一 相互独立事件的判断
【例1】（多选）（2021·全国专题练习）下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )
A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B．甲 乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲 乙两运动员各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标”
D．甲 乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲 乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A B不独立,故选：ACD
【一隅三反】
1．（多选）（2020·全国高一单元测试）下列各对事件中,为相互独立事件的是( )
A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白 2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白 2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”
【答案】ABD
【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，
∴，，，
即，故事件M与N相互独立，A正确.
在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；
在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；
在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.
故选：ABD.
2．（2021·河南）从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．至少有一个是奇数和两个都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个都是偶数
C．至少有一个奇数和至少一个偶数 D．恰有一个偶数和没有偶数
【答案】D
【解析】从1,2,3,4,5中任取两个数
对于A,至少有一个是奇数和两个都是奇数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以A错误;
对于B,至少有一个是奇数和两个都是偶数,两个事件互斥,且为对立事件,所以B错误;
对于C,至少有一个奇数和至少一个偶数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以C错误.
对于D,恰有一个偶数和没有偶数,为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数,所以两个事件互斥且不对立,所以D正确.
综上可知,D为正确选项
故选:D
考法二 利用概率判断互斥对立事件
【例2】（2021·山东泰安市）在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B．与是互斥事件，也是对立事件
C．与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【解析】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，
所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；
与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；
与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故C错；
与是互斥事件，且，
所以也是对立事件，故D正确.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2020·陕西省商丹高新学校）在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B．与是互斥事件，也是对立事件
C．与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【解析】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，
所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；
与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；
与是互斥事件，且，
所以与也是对立事件，故C错；
与是互斥事件，且，
所以与也是对立事件，故D正确.
故选：D.
2．（2020·江苏淮安市·马坝高中高一期中）已知随机事件和互斥，且，，则（ ）
A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8
【答案】A
【解析】因为事件和互斥，所以,
则，故.故答案为A.
考法三 相互独立事件概率计算
【例3】（2021·山东菏泽市）甲 乙 丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用事件A,B,C分别表示甲 乙 丙三人能破译出密码,则,,,且.
∴此密码能被译出的概率为.故选：C
【一隅三反】
1．（2021·辽宁营口市·高一期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.
（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；
（2）求恰有一人破译密码的概率.
【答案】（1）0.42；（2）0.46.
【解析】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，
由题意可知，
所以；
（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥
所以
.
2．（2021·山东威海市·高一期末）习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.
【解析】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以，解得.
（2）由（1）知，
所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，
则调查评分在有人，有人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
所以选出的人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.
（3）由频率分布直方图可得，
，
估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，
所以市民心理健康指数平均值为，
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
3．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.
【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.
【解析】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，
由于两个人投篮的结果互不影响，
所以与相互独立，与，与，与都相互独立，
由己知可得，，则，；
（Ⅰ）“两人都投中”，则；
（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，
则
；
（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，
所以
.
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