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10.3 频率与概率（精讲）
考法一 频率与概率的概念区分
【例1】（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的有( )
①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0
④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【一隅三反】
1．（2021·辽宁大连市）关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A．②④ B．①④ C．①② D．②③
2．（2020·全国高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．任一事件的概率总在内 B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定
3．（2021·全国高一课时练习）下列关于概率的说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．任何事件的概率都是在(0，1)之间
C．概率是客观存在的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
考法二 概率的计算
【例2】（2021·全国高一课时练习）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如表：
月份性别 一 二 三 总计
男婴 22 19 23 64
女婴 18 20 21 59
总计 40 39 44 123
则今年第一季度该医院男婴的出生频率是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高一）将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
投中次数 7 15 23 30 38 45 53 60 68 75
投中频率
投中次数 8 14 23 32 35 43 52 61 70 80
投中频率
下面有三个推断：
①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；
②随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；
③当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.
其中合理的是（ ）.
A．① B．② C．①③ D．②③
2．（2021·全国高一课时练习）某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表
分数段
人数 2 5 6 8 12 6 4 2
那么分数在中的频率约是（精确到0.01）（ ）
A．0.18 B．0.47 C．0.50 D．0.38
考法三 生活中的概率
【例3】（2020·全国高一课时练习）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（ ）
取球方式 结果
游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜
游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜.
游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜.
A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3
【一隅三反】
1．（2021·全国高一课时练习）(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明 李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
2．（2020·全国高一课时练习）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.
3．（2021·全国高一课时练习）某校为庆祝中华人民共和国建国周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：
分数段 频数 频率
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求上表中的数据、的值；
（2）通过计算，补全频数分布直方图；
（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果比赛成绩在分以上（含分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？
考法四 随机模拟
【例4】（2021·全国高一课时练习）用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现点的概率,则下列步骤中不正确的是( )
A．用计算机的随机函数产生个不同的到之间的取整数值的随机数,如果,我们认为出现点.
B．我们通常用计数器记录做了多少次掷骰子试验,用计数器记录其中有多少次出现点,置,.
C．每做一次试验,若出现点,则的值加,即,否则的值保持不变.
D．程序结束,出现点的频率作为数率的近似值.
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）用随机模拟方法得到的频率( )
A．大于概率 B．小于概率 C．等于概率 D．是概率的近似值
2．（2020·陕西西安市·高一期末）利用计算机产生0~1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为______.
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10.3 频率与概率（精讲）
考法一 频率与概率的概念区分
【例1】（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的有( )
①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴③错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误
∴说法正确的有两个，故选C．
【一隅三反】
1．（2021·辽宁大连市）关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A．②④ B．①④ C．①② D．②③
【答案】A
【解析】
①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误；
②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确；
③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误；
④出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.
故选：A
2．（2020·全国高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．任一事件的概率总在内 B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】D
【解析】任一事件的概率总在内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．故选：D．
3．（2021·全国高一课时练习）下列关于概率的说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．任何事件的概率都是在(0，1)之间
C．概率是客观存在的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
【答案】C
【解析】解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，
一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间的某个常数上，这个常数就是事件A的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验次数无关，
故选：C.
考法二 概率的计算
【例2】（2021·全国高一课时练习）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如表：
月份性别 一 二 三 总计
男婴 22 19 23 64
女婴 18 20 21 59
总计 40 39 44 123
则今年第一季度该医院男婴的出生频率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意：第一季度的男婴数为64，婴儿总数为123，
故该医院生男婴的出生频率为.故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·全国高一）将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
投中次数 7 15 23 30 38 45 53 60 68 75
投中频率
投中次数 8 14 23 32 35 43 52 61 70 80
投中频率
下面有三个推断：
①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；
②随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；
③当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.
其中合理的是（ ）.
A．① B．② C．①③ D．②③
【答案】B
【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；
②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；
③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；
故选：B.
2．（2021·全国高一课时练习）某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表
分数段
人数 2 5 6 8 12 6 4 2
那么分数在中的频率约是（精确到0.01）（ ）
A．0.18 B．0.47 C．0.50 D．0.38
【答案】A
【解析】某班总人数,
成绩在中的有8人,其频率为.
故选:A
考法三 生活中的概率
【例3】（2020·全国高一课时练习）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（ ）
取球方式 结果
游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜
游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜.
游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜.
A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3
【答案】D
【解析】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平；
对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平；
对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大.故选D.
【一隅三反】
1．（2021·全国高一课时练习）(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明 李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
【答案】ACD
【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;
选项B中,张明获胜的概率是,而李华获胜的概率是,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;
选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.
故选：ACD
2．（2020·全国高一课时练习）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.
【答案】0.4
【解析】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，
则韦恩图如下：中有30人，中有10人，又不买猪肉的人有30位，
∴中有20人，∴只买猪肉的人数为：100，
∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为=0.4，
故答案为；0.4
3．（2021·全国高一课时练习）某校为庆祝中华人民共和国建国周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：
分数段 频数 频率
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求上表中的数据、的值；
（2）通过计算，补全频数分布直方图；
（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果比赛成绩在分以上（含分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？
【答案】（1），；（2）图见解析；（3）分；（4）.
【解析】（1）总人数（人），，；
（2）由（1）的计算知至分段的人数为人，
至分段的人数为人，
补全条形图如下图所示：
（3）比赛成绩在的人数为，比赛成绩在的人数为，
因此，比赛成绩的中位数落在分；
（4）恰好抽中获奖选手的概率为：.
考法四 随机模拟
【例4】（2021·全国高一课时练习）用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现点的概率,则下列步骤中不正确的是( )
A．用计算机的随机函数产生个不同的到之间的取整数值的随机数,如果,我们认为出现点.
B．我们通常用计数器记录做了多少次掷骰子试验,用计数器记录其中有多少次出现点,置,.
C．每做一次试验,若出现点,则的值加,即,否则的值保持不变.
D．程序结束,出现点的频率作为数率的近似值.
【答案】A
【解析】计算器随机函数或计算机随机函数产生的是到之间的整数(包括),共个整数.故选: A.
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）用随机模拟方法得到的频率( )
A．大于概率 B．小于概率 C．等于概率 D．是概率的近似值
【答案】D
【解析】当实验数据越多频率就越接近概率
用随机模拟方法得到的频率,数据是有限的,是接近概率.故选:D.
2．（2020·陕西西安市·高一期末）利用计算机产生0~1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为______.
【答案】
【解析】事件“”，即事件“”，
而是之间的随机数，故事件发生的概率为：，故答案为：
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