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7.2 复数的四则运算（精练）
【题组一 复数的加减运算及集合意义】
1．（2020·全国高一课时练习）已知i为虚数单位，设，，且，则______.
2．（2020·上海高二课时练习）在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________.
3．（2020·上海高二课时练习）在复平面内，复数，分别对应点，的坐标，则________.
【题组二 复数的乘除运算】
1．（2020·江西省奉新县第一中学）已知，则复数_________.
2．（2021·江苏苏州市·高二期末）已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为_________．
3．（2020·全国）已知i为虚数单位，则
4．（2020·山东专题练习）若复数z满足，则
5．（2020·全国高三专题练习）计算：______________.
5．（2020·宝山区·上海交大附中）若复数z满足，则z的虚部是______.
6．（2020·安徽）已知复数z满足：，则_________________.
6．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学））复数，则____________.
7．（2020·河北区·天津二中高二开学考试）已知是虚数单位，复数的共轭复数，求___________.
8.（2020·吉林）若，，则（ ）
A．的实部为1 B．
C．的虚部为1 D．
9．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校）已知复数满足，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．（2020·河南南阳市）已知，为虚数单位，则的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
11．（2021·湖南省平江县第一中学高二月考）已知复数，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2021·四川成都市·高三月考（文））若复数，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·山东威海市）设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·六盘山高级中学）在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·上海徐汇区·位育中学高二期末）“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（2021·安徽蚌埠市）复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））若复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·陕西宝鸡市）已知复数，，则为（ ）
A． B． C． D．
19．（2020·全国高一课时练习）（多选）表示( )
A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离
C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模
20（多选）．（2021·全国高三零模）设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
21（2020·黄梅国际育才高级中学）计算或化简下列式子
（1） （2）
(4)
(5)； (6) .
【题组三 复数范围内解方程】
1．（2020·陕西渭南市·）已知，且，（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2021·上海市大同中学高二期末）已知方程有实根，则实数__________；
3．（2020·上海虹口区·高三一模）方程的根是___________.
4．（2020·上海徐汇区·位育中学高三月考）若虚数是实系数方程的一个根，则的值为_________.
5．（2020·上海高三其他模拟）若是关于的实系数方程的一个虚根，则等于______．
6．（2020·上海松江区·高二期末）若关于x的一元二次方程（其中）有一个根为（i是虚数单位），则q的值为____________.
7．（2020·上海）已知复数（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个虚根，则________.
8．（2020·上海高二课时练习）方程有实数根，求实数的值．
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7.2 复数的四则运算（精练）
【题组一 复数的加减运算及集合意义】
1．（2020·全国高一课时练习）已知i为虚数单位，设，，且，则______.
【答案】
【解析】，，即，
，.故答案为：
2．（2020·上海高二课时练习）在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________.
【答案】
【解析】由于，所以对应的复数为.
故答案为：
3．（2020·上海高二课时练习）在复平面内，复数，分别对应点，的坐标，则________.
【答案】
【解析】由于复数，分别对应点，，所以，则.故答案为：
【题组二 复数的乘除运算】
1．（2020·江西省奉新县第一中学）已知，则复数_________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以故答案为：
2．（2021·江苏苏州市·高二期末）已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为_________．
【答案】
【解析】，，故答案为：.
3．（2020·全国）已知i为虚数单位，则
【答案】
【解析】.
4．（2020·山东专题练习）若复数z满足，则
【答案】
【解析】由得
5．（2020·全国高三专题练习）计算：______________.
【答案】
【解析】．故答案为：．
5．（2020·宝山区·上海交大附中）若复数z满足，则z的虚部是______.
【答案】
【解析】即，
所以，故虚部是.故答案为：
6．（2020·安徽）已知复数z满足：，则_________________.
【答案】
【解析】，故，故答案为：.
6．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学））复数，则____________.
【答案】
【解析】因为，所以.故答案为：
7．（2020·河北区·天津二中高二开学考试）已知是虚数单位，复数的共轭复数，求___________.
【答案】
【解析】因为所以 ，
所以.故答案为：.
8.（2020·吉林）若，，则（ ）
A．的实部为1 B．
C．的虚部为1 D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，所以的实部与虚部分别为5，-1，所以A,C选项错误
因为，所以，所以B正确，故选：B
9．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校）已知复数满足，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】，
，，.
故选：A.
10．（2020·河南南阳市）已知，为虚数单位，则的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】B
【解析】.
故选：B.
11．（2021·湖南省平江县第一中学高二月考）已知复数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因此，.
故选：B.
12．（2021·四川成都市·高三月考（文））若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题得，
所以.故选：C
13．（2021·山东威海市）设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】得即故选：B
14．（2021·六盘山高级中学）在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，所以对应的点的坐标为.故选：B
15．（2021·上海徐汇区·位育中学高二期末）“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】时，方程为，只有实根，无虚根，不充分，
一元二次方程有虚根，则，，是必要的，
因此是必要不充分条件．
故选：B．
16．（2021·安徽蚌埠市）复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】变形得，
所以.
故选：A.
17．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））若复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是纯虚数，
所以，则，．
故选：D.
18．（2021·陕西宝鸡市）已知复数，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，复数，
可得，
则.
故选：C.
19．（2020·全国高一课时练习）（多选）表示( )
A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离
C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模
【答案】ACD
【解析】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误；,可表示点到原点的距离,故C说法正确；,可表示表示点到原点的距离,即坐标为的向量的模,故D说法正确,
故选:ACD
20（多选）．（2021·全国高三零模）设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；
由可得，因为，所以，即，B正确；
因为，，而，所以，所以，C正确；
取，显然满足，但，D错误.
故选：BC
21（2020·黄梅国际育才高级中学）（1）；（2）
；(4)；(5)；
(6) .
【答案】见解析
【解析】（1），，，所以
（2）．
(3)
.
(4)因为，，
所以.
(5)
.
(6)
.
【题组三 复数范围内解方程】
1．（2020·陕西渭南市·）已知，且，（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】由，（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，
可得：
和都为实数，
所以.
故选：A.
2．（2021·上海市大同中学高二期末）已知方程有实根，则实数__________；
【答案】
【解析】设方程的实数根为，
则
所以 ，解得：，.
故答案为：
3．（2020·上海虹口区·高三一模）方程的根是___________.
【答案】
【解析】因为，所以方程有两个虚根，
因为，所以，
所以，
故答案为：.
4．（2020·上海徐汇区·位育中学高三月考）若虚数是实系数方程的一个根，则的值为_________.
【答案】
【解析】因为虚数是实系数方程的一个根，
所以，，，
即，，，
即，，，
则，解得，
所以.
故答案为：.
5．（2020·上海高三其他模拟）若是关于的实系数方程的一个虚根，则等于______．
【答案】
【解析】解：设，则方程的另一个根为，
所以，
由韦达定理得，所以，
所以，
故答案为：
6．（2020·上海松江区·高二期末）若关于x的一元二次方程（其中）有一个根为（i是虚数单位），则q的值为____________.
【答案】2
【解析】关于的一元二次方程（其中，有一个根为是虚数单位），
可得是方程的另一个根，所以．
故答案为：2．
7．（2020·上海）已知复数（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个虚根，则________.
【答案】
【解析】利用求根公式可知，一个根为，另一个根为，
由韦达定理可得 ，整理得：
所以，，
所以
故答案为：
8．（2020·上海高二课时练习）方程有实数根，求实数的值．
【答案】或1
【解析】已知，由．整理，得．
∴．解方程组，得或1.
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